1、考研数学一-266 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.曲线 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成的面积可表示为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，下面不等式 （分数：3.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)03.由曲线 y=1-(x-1) 2 及直线 y=0 围成图形绕 y 轴旋转而成立体的体积 V 是 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.曲
2、线 r=ae b (a0，b0)从 =0 到 =a(a0)的一段弧长为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.5.旋轮线的一支 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)的质心是 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.6.半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐设水密度与重力加速度乘积g=1若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 p 为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.7. 是 A定积分且值为 B定积分且值为 C反常积分且发散 D反常积分且值为 （分数：3.00）A.B.C.D.8.关于 （分数：3.00）
3、A.取值为零B.取正值C.发散D.取负值9.设 a，b，c 为非零向量，则与 a 不垂直的向量是 A(ac)b-(ab)c B （分数：3.00）A.B.C.D.10.设 a，b 为非零向量，且满足(a+3b)(7a-5b)，(a-4b)(7a-2b)，则 a 与 b 的夹角 = A0 B C D （分数：3.00）A.B.C.D.11.曲线 在 xOy 面上的投影柱面方程是 Ax 2 +20y 2 -24x-116=0 B4y 2 +4z 2 -12z-7=0 C D （分数：3.00）A.B.C.D.12.设平面位于平面 1 :x-2y+z-2=0 和平面 2 :x-2y+z-6=0 之间
4、，且将此二平面的距离分为 1:3，则平面 的方程为（分数：3.00）A.x-2y+z-5=0 或 x-2y+z-3=0B.x-2y+z+8=0C.x+2y+4z=0D.x-2y+5z-3=013.直线 与平面 :x-y+2z+4=0 的夹角为 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.14.直线 L 为 （分数：3.00）A.L 平行于 B.L 在 上C.L 垂直于 D.L 与 斜交15.直线 L 1 : 与直线 L 2 : （分数：3.00）A.L1L2B.L1L2C.L1 与 L2 相交但不垂直D.L1 与 L2 为异面直线16.与直线 L 1 : 及直线 L 2 : （分数：3.
5、00）A.x+y+z=0B.z-y+z=0C.x+y-z=0D.x-y+z+2=017.设 ，则直线 与直线 （分数：3.00）A.相交于一点B.重合C.平行但不重合D.异面直线18.极限 A不存在 B等于 1 C等于 2 D等于 （分数：3.50）A.B.C.D.19.极限 A不存在 B等于 2 C等于 （分数：3.50）A.B.C.D.20.极限 （分数：3.50）A.不存在B.等于 1C.等于 0D.等于 221.设 k 为常数，则极限 A等于 0 B等于 （分数：3.50）A.B.C.D.22.二元函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续是函数 z=f(x，y)在该点处两
6、个偏导数 f x (x 0 ，y 0 )，fy (x 0 ，y 0 )都存在的（分数：3.50）A.必要但非充分条件B.充分但非必要要件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件23.设 f“ x (x 0 ，y 0 )=a，f“ y (x 0 ，y 0 )=b，则下列结论正确的是 A 存在，但 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处不连续 Bf(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续 Cdz (x0，y0) =adx+bdy D 及 （分数：3.50）A.B.C.D.24.设 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处两个偏导数 f x (x 0 ，y 0 )，f y (x 0 ，y 0 )都存
7、在，则 Af(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续 B 存在 C （分数：3.50）A.B.C.D.25.二元函数 （分数：3.50）A.连续、偏导数存在B.连续、偏导数不存在C.不连续、偏导数存在D.不连续、偏导数不存在26.设 （分数：3.50）A.两个偏导数都不存在B.两个偏导数都存在但不可微C.偏导数连续D.可微但偏导数不连续27.已知 （分数：3.50）A.fx(0，0)，fy(0，0)都存在B.fx(0，0)存在但 fy(0，0)不存在C.fx(0，0)不存在但 fy(0，0)存在D.fx(0，0)，fy(0，0)都不存在28.函数 f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是 A
8、 且 B C 和 都存在 D 且 （分数：3.50）A.B.C.D.29.设 （分数：3.50）A.不连续B.连续但两个偏导数不存在C.两个偏导数存在但不可微D.可微30.设 z=f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：3.50）A.f“x(0，0)不存在B.f“y(0，0)不存在C.f(x，y)在(0，0)处取极小值D.f(x，y)在(0，0)点处不可微31.设 （分数：3.50）A.不连续B.连续但两个偏导数不存在C.两个偏导数存在但不可微D.可微考研数学一-266 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.曲线 y=e -
9、x sinx(0x3)与 x 轴所围成的面积可表示为 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 当 0x，或 2x3 时 y0，当 x2 时 y0所以 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成的面积为 2.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，下面不等式 （分数：3.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析 题设不等式的几何意义是 矩形面积曲边梯形面积梯形面积， 要使上面不等式成立，需要过点(a，f(a)平仃于 x 轴的直线在曲线 y=f(x)的下方，连接点
10、(a，f(a)和点(b，f(b)的直线在曲线 y=f(x)上方当曲线 Y=f(x)在a，b是单调上升且是凹时有此性质 于是当 f“(x)0，f“(x)0 成立时，上述条件成立，因此选 C 3.由曲线 y=1-(x-1) 2 及直线 y=0 围成图形绕 y 轴旋转而成立体的体积 V 是 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 按选项，要把曲线表成 x=x(y)，于是要分成两条： (0y1) 看成两个旋转体的体积之差： ， 于是 4.曲线 r=ae b (a0，b0)从 =0 到 =a(a0)的一段弧长为 A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 利用
11、极坐标方程表示曲线的弧长公式， 5.旋轮线的一支 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)的质心是 A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 先求弧微分 于是得弧长 四个选项中，质心的横坐标均相同，所以只须求质心的纵坐标 为此， 再求 因此带入公式得 6.半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐设水密度与重力加速度乘积g=1若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 p 为 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 如图所示，任取x，x+dx 0，R，相应的小横条所受压力微元 于是，闸门所受压力 选 C 7
12、. 是 A定积分且值为 B定积分且值为 C反常积分且发散 D反常积分且值为 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 被积函数 f(x)=x 3 ln 2 x 虽在 x=0 无定义，但 ，若补充定义 f(0)=0，则 f(x)在0，1连续，因而 是定积分 8.关于 （分数：3.00）A.取值为零B.取正值C.发散 D.取负值解析：解析 因 因 不存在，所以 发散， 因此， 9.设 a，b，c 为非零向量，则与 a 不垂直的向量是 A(ac)b-(ab)c B （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由两向量垂直的充要条件：两向量的数量积为零，以及由向量的运算法则有 对于 A，a(
13、ac)b-(ab)c=0 对于 B， 10.设 a，b 为非零向量，且满足(a+3b)(7a-5b)，(a-4b)(7a-2b)，则 a 与 b 的夹角 = A0 B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由两向量垂直的充要条件得 即 (1)8+(2)15 得 由上两式得 |a|=|b| 从而 因此 11.曲线 在 xOy 面上的投影柱面方程是 Ax 2 +20y 2 -24x-116=0 B4y 2 +4z 2 -12z-7=0 C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 1 投影柱面方程是一个三元方程，CD 表示的是曲线而 B 中的方程中含 z，不可能是 L
14、在xOy 面上的投影柱面方程，因此选 A 解析 2 由(2)得 12.设平面位于平面 1 :x-2y+z-2=0 和平面 2 :x-2y+z-6=0 之间，且将此二平面的距离分为 1:3，则平面 的方程为（分数：3.00）A.x-2y+z-5=0 或 x-2y+z-3=0 B.x-2y+z+8=0C.x+2y+4z=0D.x-2y+5z-3=0解析：解析 首先注意到 1 2 ，显然 C，D 中的平面都不平行于 1 (或 2 )，所以 CD 不正确，B 中的平面虽平行于 1 (或 2 )，但它不在 1 与 2 ，因此只能选 A 事实上， 1 和 2 在 z 轴上的截距分别是 2 和 6，而 A
15、中两个平面在 z 轴上的截距分别是 5 和 3，显然，A 中两个平面把平面 1 和平面 2 的距离分为 1:313.直线 与平面 :x-y+2z+4=0 的夹角为 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设直线 L 的方向向量 s=(2，1，1)，平面 的法向量，n=(1，-1，2)，设直线 L 与平面 的夹角为 ，则 所以 14.直线 L 为 （分数：3.00）A.L 平行于 B.L 在 上C.L 垂直于 D.L 与 斜交解析：解析 求出直线 L 的方向向量 s 15.直线 L 1 : 与直线 L 2 : （分数：3.00）A.L1L2B.L1L2C.L1 与 L
16、2 相交但不垂直 D.L1 与 L2 为异面直线解析：解析 设 L 1 与 L 2 的方向向量分别是 s 1 ，s 2 ，则 s 1 =(2，3，4)，s 2 =(1，1，2)显然 s 1 与 s 2 ，不平行，也不垂直直线 L 1 ，L 2 分别过点 M 1 (0，-3，0)与 M 2 (1，-2，2)，现考察混合乘积 L 1 与 L 2 是共面的， 16.与直线 L 1 : 及直线 L 2 : （分数：3.00）A.x+y+z=0B.z-y+z=0 C.x+y-z=0D.x-y+z+2=0解析：解析 1 设 L 1 的方向向量为 s 1 ，L 2 的方向向量为 s 2 ，平面 的法向量为
17、n，则 ns 1 ，ns 2 ，所以， 又因平面 过原点，显然选 B 解析 2 过定点 O(0，0，0)与 L 1 的方向向量 s 1 =(0，1，1)及 L 2 的方向向量 s 2 =(1，2，1)平行的平面 的方程是 17.设 ，则直线 与直线 （分数：3.00）A.相交于一点 B.重合C.平行但不重合D.异面直线解析：解析 设 M 1 (a 1 ，b 1 ，c 1 )，M 3 (a 3 ，b 3 ，c 3 )，显然，M 1 ，M 3 分别在两已知的直线上， =(a 3 -a 1 ，b 3 -b 1 ，c 3 -c 1 ) 又 所以 与两直线共面，因此，两已知直线共面 由 18.极限 A不
18、存在 B等于 1 C等于 2 D等于 （分数：3.50）A. B.C.D.解析：解析 由于 与 k 的取值有关，则极限 19.极限 A不存在 B等于 2 C等于 （分数：3.50）A. B.C.D.解析：解析 由于 而 则极限 20.极限 （分数：3.50）A.不存在B.等于 1C.等于 0 D.等于 2解析：解析 由于 (当 0x 2 +y 2 1 时) 令 x 2 +y 2 =r，则 (洛必达法则) =0 则 故 21.设 k 为常数，则极限 A等于 0 B等于 （分数：3.50）A. B.C.D.解析：解析 由于 (当(x，y)(0，0)时) 则 22.二元函数 z=f(x，y)在点(x
19、 0 ，y 0 )处连续是函数 z=f(x，y)在该点处两个偏导数 f x (x 0 ，y 0 )，fy (x 0 ，y 0 )都存在的（分数：3.50）A.必要但非充分条件B.充分但非必要要件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件 解析：解析 由多元函数的连续、偏导数存在和可微之间的关系知，多元函数的连续既非两个偏导数存在的必要条件，也非充分条件 例如 f(x，y)=|x|+|y|在(0，0)点连续，但(0，0)点两个偏导数 f x (0，0)和 f y (0，0)都不存在而 在(0，0)点的两个偏导数 f x (0，0)和 f y (0，0)都存在(可用定义验证)，但在(0，0)点不连续
20、，事实上极限 23.设 f“ x (x 0 ，y 0 )=a，f“ y (x 0 ，y 0 )=b，则下列结论正确的是 A 存在，但 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处不连续 Bf(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续 Cdz (x0，y0) =adx+bdy D 及 （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 由于 f“ x (x 0 ，y 0 )就是一元函数 f(x，y 0 )在 x=x 0 处的导数，则 f(x，y 0 )在 x=x 0 处连续，从而有 同理由 f“ y (x 0 ，y 0 )=b 可知 则 及 24.设 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处两个偏导数 f
21、x (x 0 ，y 0 )，f y (x 0 ，y 0 )都存在，则 Af(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续 B 存在 C （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 由于偏导数 f x (x 0 ，y 0 )就是一元函数 f(x，y 0 )在 x=x 0 处的导数，则由 f x (x 0 ，y 0 )存在可知，一元函数 f(x，y 0 )在 x=x 0 处连续，从而 ，同理 25.二元函数 （分数：3.50）A.连续、偏导数存在B.连续、偏导数不存在C.不连续、偏导数存在 D.不连续、偏导数不存在解析：解析 由于 与 k 取值有关，则 不存在，从而 f(x，y)在(0，0)点不连续
22、，而 26.设 （分数：3.50）A.两个偏导数都不存在B.两个偏导数都存在但不可微 C.偏导数连续D.可微但偏导数不连续解析：解析 由对称性知，f“ y (0，0)=0 而 不存在 事实上 27.已知 （分数：3.50）A.fx(0，0)，fy(0，0)都存在B.fx(0，0)存在但 fy(0，0)不存在C.fx(0，0)不存在但 fy(0，0)存在 D.fx(0，0)，fy(0，0)都不存在解析：解析 由于 f(x，0)= =sin|x|在 x=0 处不可导，则 f x (0，0)不存在 事实上 而 28.函数 f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是 A 且 B C 和 都存在 D 且
23、 （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 由 和 29.设 （分数：3.50）A.不连续B.连续但两个偏导数不存在C.两个偏导数存在但不可微D.可微 解析：解析 由 30.设 z=f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：3.50）A.f“x(0，0)不存在B.f“y(0，0)不存在C.f(x，y)在(0，0)处取极小值 D.f(x，y)在(0，0)点处不可微解析：解析 由 及 知 ，又 f(x，y)在点(0，0)处连续，则 f(0，0)=0 由 及极限的保号性知，在(0，0)点的某去心邻域内 从而有 f(x，y)0，又 f(0，0)=0，由极值定义知 f(x，y)在点(0，0)处取极大值故 C 是不正确的，应选 C 事实上，由 知， f(0，0)=0，且 而 31.设 （分数：3.50）A.不连续B.连续但两个偏导数不存在 C.两个偏导数存在但不可微D.可微解析：解析 1 直接法 由 且 知 则 ，f(x，y)在(0，0)点连续，又 即 从而有 则 不存在，即 f x (0，0)不存在，同理可得 f y (0，0)不存在，故应选 B 解析 2 排除法 令 显然 f(x，y)满足原题设的条件，且 f(x，y)在(0，0)点连续，而
