1、考研数学一-265 及答案解析(总分：155.50，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 A，B 特征值相同，则 ABB.矩阵 A 的秩与其非零特征值个数相等C.若 A，B 特征值相同，则 A，B 等价D.A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，则 AB3.直线 的夹角为( )（分数：4.00）_4.设（分数：4.00）A.B.C.D.5.设向量组 1， 2， 3线性无关， 1不可由 1， 2， 3线性表示，而 2可由 1， 2， 3线性表示，则下列结论
2、正确的是( )（分数：4.00）A. 1， 2， 2线性相关B. 1， 2， 2线性无关C. 1， 2， 3， 1+ 2线性相关D. 1， 2， 3， 1+ 2线性无关6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设连续型随机变量 X 的概率密度 f(x)为偶函数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)连续可导，且 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）12.y“-2y-3y=e-x的通解为_。（分数：4.00）13.设 A 为三阶实对称
3、矩阵， 1=(m，-m，1) T是方程组 AX=0 的解， 2=(m，1，1-m) T是方程组(A+E)X=0的解，则 m=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 为来自总体 X 的简单随机样本，则统计量 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.50)15.设 f(x)连续 （分数：9.00）_16.计算 （分数：9.00）_17.设 （分数：10.00）_18.计算曲面积分 (1x3)绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面，上任一点的法向量与 x 轴正向夹角大于 （分数：11.00）_19.求 x2y“-2xy+2y=x+1 的通解（分数：11.00）_设 A
4、为 mn 矩阵，且 r(A)=r( )=rn，其中 =(A （分数：12.00）(1).证明方程组 AX=b 有且仅有 n-r+1 个线性无关解；（分数：6.00）_(2).若 （分数：6.00）_设二次型 （分数：10.00）(1).求常数 a；（分数：5.00）_(2).用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)为标准形（分数：5.00）_已知商品的周需求量 X 服从参数为 2 的指数分布，设各周商品需求量是相互独立的（分数：16.50）(1).设 yk表示第 k 周商品的需求量，求 Y2的密度函数并求 （分数：8.25）_设总体 X 的密度函数为 （分数：11.00）(1).求 的
5、矩估计量；（分数：5.50）_(2).求 的最大似然估计量（分数：5.50）_考研数学一-265 答案解析(总分：155.50，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：若*收敛，则a n)有界，即存在 M0，使得|a n|M，于是有 0|a nbn|M|b n|，由*绝对收敛得*收敛，于是*收敛，即*绝对收敛，选(C)2.下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 A，B 特征值相同，则 ABB.矩阵 A 的秩与其非零特征值个数相等C.若 A，B 特征值相同，则 A，B 等价D.A，B 的特征值相同
6、且 A，B 都可对角化，则 AB 解析：详解 令*因为|E-A|=|E-B|= 2(-1)，所以 A，B 特征值相同，但 r(A)=2r(B)=1，故A，B 不相似，(A)不正确；对*显然 1= 2=0， 3=1，而 r(A)=2，所以(B)不正确；由(A)，A，B 特征值相同，A，B 的秩不一定相等，故(C)不正确；设 A，B 的特征值相同且 A，B 都可对角化，令其特征值为 1， 2， n，因为 A，B 都可对角化，所以存在可逆阵 P1，P 2，*于是*3.直线 的夹角为( )（分数：4.00）_解析：*为直线 1的方向向量， 2的方向向量为*=1，-1，04.设（分数：4.00）A.B.
7、C. D.解析：详解*5.设向量组 1， 2， 3线性无关， 1不可由 1， 2， 3线性表示，而 2可由 1， 2， 3线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A. 1， 2， 2线性相关B. 1， 2， 2线性无关C. 1， 2， 3， 1+ 2线性相关D. 1， 2， 3， 1+ 2线性无关 解析：详解 因为 1不可由 1， 2， 3线性表示，而 2可由 1， 2， 3线性表示，所以 1+ 2不可由 1， 2， 3线性表示，从而 1， 2， 3， 1+ 2线性无关，故选(D)6.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为*所以正确答案为(B)7.设连续型随机变量
8、 X 的概率密度 f(x)为偶函数，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解*8.设 f(x)连续可导，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 因为 f(x)连续可导，所以由*得 f(0)+f(0)=0当 f(0)0 时，因为 f(0)0，所以 f(0)不是极值，(C)，(D)不对；当 f(0)=0 时，f“(0)=10，故 f(0)为f(x)的极小值，选(A)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：详解*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-100!）解析：详解*11. （分数：4.00）
9、解析：详解*12.y“-2y-3y=e-x的通解为_。（分数：4.00）解析：详解 特征方程为 2-2-3=0，特征值为 1=-1， 2-3，则方程 y“-2y-3y=0 的通解为y=C1ex+C2e3x令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程得*于是原方程的通解为*13.设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(m，-m，1) T是方程组 AX=0 的解， 2=(m，1，1-m) T是方程组(A+E)X=0的解，则 m=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：详解 由 AX=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A 的特征值， 1=(m，-m，1) T为其对应的特征
10、向量；由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，|A+E|=0，=-1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为 2=(m，1，1-m) T，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=114.设总体 为来自总体 X 的简单随机样本，则统计量 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：t(5)）解析：详解*三、解答题(总题数：9，分数：99.50)15.设 f(x)连续 （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：16.计算 （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：17.设 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：18.计算曲面积分 (1x3)
11、绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面，上任一点的法向量与 x 轴正向夹角大于 （分数：11.00）_正确答案：(曲面：x=y 2+z2+1(1x3)补充曲面 0：x=3(y 2+z22)，*)解析：19.求 x2y“-2xy+2y=x+1 的通解（分数：11.00）_正确答案：(*)解析：设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=r( )=rn，其中 =(A （分数：12.00）(1).证明方程组 AX=b 有且仅有 n-r+1 个线性无关解；（分数：6.00）_正确答案：(令 1， 2， n-1为 AX=0 的基础解系， 0为 AX=b 的特解，显然 0= 0， 1= 1+ 0， n-r= n-r+
12、 0为 AX=b 的一组解，令 k0 0+k1 1+kn-r n-r=0，即k1 1+k2 2+kn-r+ n-r+(k0+k1+kn-r) 0=0上式左乘 A 得(k 0+k1+kn-r)b=0，因为 b0 时，k 0+k1+kn-r=0，于是 k1 1+k2 2+kn-r n-r=0，因为 1， 2， n，为 AX=0 的基础解系，所以 k1=k2=kn-r=0，于是 k0=0，故 0， 1， n-r，线性无关若 0， 1， n-r+1为 AX=b 的线性无关解，则 1= 1- 0， n-r+1- 0为 AX=0 的解，令k1 1+k2 2+kn-r+1 n-r+1=0，则k1 1+k2
13、2 2+kn-r+1 n-r+1-(k1+k2+kn-r+1) 0=0因为 0， 1， n-r+1，线性无关，所以 k1=k2=kn-r+1=0，即 1， 2， n-r+1为 AX=0 的线性无关解，矛盾，故方程组 AX=b 恰有 n-r+1 个线性无关解)解析：(2).若 （分数：6.00）_正确答案：(令*AX=因为 AX= 有三个非零解，所以 AX=0 有两个非零解，故 4-r(A)2，r(A)2，又因为 r(A)2，所以 r(A)一 r(*)=2*)解析：设二次型 （分数：10.00）(1).求常数 a；（分数：5.00）_正确答案：(令*)解析：(2).用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)为标准形（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：已知商品的周需求量 X 服从参数为 2 的指数分布，设各周商品需求量是相互独立的（分数：16.50）(1).设 yk表示第 k 周商品的需求量，求 Y2的密度函数并求 （分数：8.25）_正确答案：(令 Xi表示第 i 周的需求量，则 Y2=X1+X2*)解析：_解析：设总体 X 的密度函数为 （分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：(*得参数的矩估计量为*)解析：(2).求 的最大似然估计量（分数：5.50）_正确答案：(记样本观察值为 x1，x 2，x n，似然函数为*)解析：
