1、考研数学一-264 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.函数 f(x)在1，2有二阶导数，f(2)=0，F(x)=(x-1) 2 f(x)，则 F“(x)在(1，2)上（分数：3.00）A.没有零点B.必有零点C.若有零点，必不止一个D.若有零点必唯一2.设 f(x)=ax 3 -6ax 2 +b 在区间-1，2上的最大值是 3，最小值是-29，且 a0，则（分数：3.00）A.a=2，b=-29B.a=3，b=2C.a=2，b=3D.以上都不对3.原点 O(0，0)与曲线 之间的最短距离为 A B C D （分数：3.00）
2、A.B.C.D.4.（分数：3.00）A.B.C.D.5.考察下列叙述： 设 f 2 (x)在 x=x 0 连续，则 f(x)在 x=x 0 连续 设 f(x)在 x=x 0 连续，则|f(x)|在 x=x 0 连续 设|f(x)|在a，b可积，则 f(x)在a，b可积 设 f(x)在a，b有界，只有有限个间断点，则|f(x)|在a，b可积，即在a，b存在定积分 我们可知（分数：3.00）A.只有，正确B.只有，正确C.只有，正确D.只有，正确6.设 （分数：3.00）A.f(x)与 g(x)都存在原函数B.f(x)与 g(x)都不存在原函数C.f(x)存在原函数，g(x)不存在原函数D.f(
3、x)不存在原函数，g(x)存在原函数7.在下列定积分中，积分值等于零的是 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.8.设 （分数：3.00）A.I11I2B.1I1I2C.I21I1D.I1I219.数列极限 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.10. A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.11.设 ，则 （分数：3.00）A.F(x)在 x=0 点不连续B.F(x)在 x=0 点不可导C.F(x)在 x=0 点可导，F“(0)=f(0)D.F(x)在 x=0 点可导，但 F“(0)f(0)12.设 f(x)可导，f(0)=0，f“(0)=2， ， （分数：
4、3.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小13.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导且 f“(x)0(x(0，1)，则 A当 0x1 时 B当 0x1 时 C当 0x1 时 （分数：3.00）A.B.C.D.14.若连续函数满足关系式 ，则 f(x)= A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.15.设 f(x)在a，b连续，则 f(x)在a，b非负且在a，b的 子区间上不恒为零是 （分数：3.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.函数 f(x)=cosx+xsinx 在(-2,2)内的零点个数为（分数
5、：3.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个17.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0 （分数：3.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 “(x)在 x=0 不连续D.可导且 “(x)在 x=0 连续18.设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.19.设 f(x)二阶可导，f(0)0， （分数：3.50）A.F(0)是极大值B.F(0)是极小值C.F(0)不是极值，但(0，F(0)是曲线 F(x)的拐点坐标D.F(0)不是极值，(0，F(0)也不是曲线 F(x)
6、的拐点坐标20.下列叙述错误的是 A.设 f(x)在-a，a连续为奇函数，则 f(x)在-a，a的全体原函数为偶函数 B.设 f(x)在-a，a连续为偶函数，则 f(x)在-a，a的全体原函数为奇函数 C.设 f(x)在(-，+)连续，以 T 为周期且为奇函数，则 0xf(x)dt 也是以 T 为周期的函数 D.设 f(x)在(-，+)连续，以 T 为周期，又 0f(x)dx 收敛，则 x0f(t)dt 也是以 T 为周期的函数（分数：3.50）A.B.C.D.21. A0 B不存在 C D （分数：3.50）A.B.C.D.22.设 f(x)在a，b连续，则下列结论中正确的有_个 f(x)在
7、a，b的任意子区间a，上 ，则 f(x)=0( xa，b) f(x)0(xa，b)，又 ，则 f(x)=0(xa，b) ， a，b，则 （分数：3.50）A.0B.1C.2D.323.设 ，则 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.24.设 0，在区间(-，)内 f“(x)0，又 f(0)=0，f“(0)=0，记 （分数：3.50）A.I=0B.I0C.I0D.不确定25.设 sinxln|x|是 f(x)的一个原函数，则不定积分xf“(x)dx= A Bxcosxln|x|+sinx-sinxln|x|+C C （分数：3.50）A.B.C.D.26. A B C （分数：3.5
8、0）A.B.C.D.27.是 （分数：3.50）A.大于 0B.小于 0C.等于 0D.不能确定28.函数 （分数：3.50）A.为正数B.为负数C.恒为零D.不是常数29.设 （分数：3.50）A.f(x)=f(x+2)B.f(x)f(x+2)C.f(x)f(x+2)D.当 x0 时，f(x)f(x+2)，当 x0 时，f(x)f(x+2)30.积分 I= =_ A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.31.数列极限 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.考研数学一-264 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00
9、)1.函数 f(x)在1，2有二阶导数，f(2)=0，F(x)=(x-1) 2 f(x)，则 F“(x)在(1，2)上（分数：3.00）A.没有零点B.必有零点 C.若有零点，必不止一个D.若有零点必唯一解析：解析 F(x)在1，2上连续，(1，2)内可导且 F(1)=F(2)，由罗尔定理，至少存在一点 x 0 (1，2使 F“(x 0 )=0，又 F“(x)=2(x-1)f(x)+(x-1) 2 f“(x) F“(x 0 )=F“(1) F“(x)在1，x 0 上满足罗尔定理条件，所以，至少存在 (1，x 0 ) 2.设 f(x)=ax 3 -6ax 2 +b 在区间-1，2上的最大值是 3
10、，最小值是-29，且 a0，则（分数：3.00）A.a=2，b=-29B.a=3，b=2C.a=2，b=3 D.以上都不对解析：解析 令 f“(x)=3ax 2 -12ax=3ax(x-4)=0 得 x 1 =0，x 2 =4(不合题意舍去) f(0)=b，f(-1)=-7a+b，f(2)=-16a+b，由于 a0；所以，f(0)是最大值，f(2)是最小值 3.原点 O(0，0)与曲线 之间的最短距离为 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 1 点 O(0，0)与曲线 上 点 的距离平方为 因此 选 C 解析 2 点 O(0，0)与 点(x，y)的距离平方 f(x，y
11、)=x 2 +y 2 求 f(x，y)在条件 下的最小值，即 d 2 令 F(x，y，)= ，求驻点，即解方程组 由，得 ，代入得 即 相应地得 ，于是 选 C 解析 3 原点 O(0，0)与曲线 ： 上 点间距离的最小值点为 M 0 ，则 连线是 在 M 0 点的法线 在 点 的切线斜率是 ，在该点处的法线方程是 令 x=0，y=0，得 即 曲线 在点 处的法线过原点因此 选 C 4.（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 1 因 F(x)是 f(x)在(a，b)上的一个原函数，所以 F“(x)=f(x)，因此 F(x)在(a，b)上连续，于是 F(x)在(a，b)上存在原函数，从而
12、 f(x)+F(x)在(a，b)上存在原函数因此选 C 解析 2 函数 f(x)在(a，b)上存在原函数，f(x)在(a，b)上可不连续，例如 显然 f(x)在 x=0 处不连续函数 f(x)在(a，b)上存在原函数，又因 F(x)在(a，b)上连续，因此 F(x)+f(x)在(a，b)不连续，所以不选 B 从而也不选 A f(x)+F(x)不一定是初等函数，例如 f(x)=e x2 在(-，+)上存在一个原函数，它不是初等函数 5.考察下列叙述： 设 f 2 (x)在 x=x 0 连续，则 f(x)在 x=x 0 连续 设 f(x)在 x=x 0 连续，则|f(x)|在 x=x 0 连续 设
13、|f(x)|在a，b可积，则 f(x)在a，b可积 设 f(x)在a，b有界，只有有限个间断点，则|f(x)|在a，b可积，即在a，b存在定积分 我们可知（分数：3.00）A.只有，正确B.只有，正确C.只有，正确 D.只有，正确解析：解析 由题目的设置可知，这四个命题中有两个是正确的，两个是错误的 解析 1 由“若 则 ”可得“若 ，则 ”，因此，若 f(x)在 x=x 0 连续，则|f(x)|在 x=x 0 连续，即正确 由 f(x)在a，b有界，只有有限个间断点，则|f(x)|在a，b也有界，也只有有限个间断点(因 f(x)的连续点必是|f(x)|的连续点)，因而|f(x)|在a，b可积
14、即正确选 C 解析 2 是不正确的，例如， 在 x=0 间断，但 f 2 (x)=1 在 x=0 连续也是错的，例如 ，则 6.设 （分数：3.00）A.f(x)与 g(x)都存在原函数B.f(x)与 g(x)都不存在原函数C.f(x)存在原函数，g(x)不存在原函数D.f(x)不存在原函数，g(x)存在原函数 解析：解析 这是讨论原函数的存在性问题我们知道，若 F(x)在(a，b)连续，则 F(x)在(a，b)一定存在原函数，这里 g(x)在(-1，1)连续，所以 g(x)在(-1，1)存在原函数 余下的是 f(x)在(-1，1)是否存在原函数(x=0 是 f(x)的间断点) 方法 1 f(
15、x)在0，1)的原函数为 ，在(-1，0)的原函数为 sinx+C 2 ，在 x=0 处该原函数必连续： C 1 =C 2 若 f(x)在(-1，1)存在原函数则应是 但此 F(x)在 x=0 不可导，因为 F“+(0)F“ - (0) 因此 f(x)在(-1，1)不存在原函数选 D 方法 2 因 x=0 是 f(x)的第一类间断点，所以 f(x)在(-1，1)有第一类间断点， 7.在下列定积分中，积分值等于零的是 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 1 A 中 x 7 sin 9 x 是偶函数 B 中 为奇函数 为偶函数 D 中 选 C 解析 2 分析 C 8.设
16、 （分数：3.00）A.I11I2B.1I1I2 C.I21I1D.I1I21解析：解析 1 已知 时，sinxx， 现再考察 的单调性 令 g(x)=xcosx-sinx g“(x)=-xsinx0 又 g(0)=0 g(x)0 在 单调下降 因此 I 2 I 1 1选 B 解析 2 同前已证 I 1 I 2 由于 y=sinx 在 是凸函数由凸函数的性质知，O 与 的连线在曲线 y=sinx 的下方 因此选 B 9.数列极限 A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 直接求出定积分办不到我们用适当放大缩小法 注意 由夹逼定理 10. A B C D （分数：3.00）
17、A.B.C. D.解析：解析 11.设 ，则 （分数：3.00）A.F(x)在 x=0 点不连续B.F(x)在 x=0 点不可导 C.F(x)在 x=0 点可导，F“(0)=f(0)D.F(x)在 x=0 点可导，但 F“(0)f(0)解析：解析 1 先求出 F(x)，再判断 当 x0 时 当 x=0 时 当 x0 时 当 x0 时 所以 (这里 F(x)在 x=0 处自然连续拼接) F“ + (0)F“ - (0)，F(x)在 x=0 不可导选 B 解析 2 不必求出 F(x)利用已知结论来判断：设 f(x)在a，b连续，则 在a，b可导且 F“(x)=f(x)(xa，b)，x 0 是a，b
18、某定点(这里端点 a，b 当然是单侧导数，即 F“ + (a)=f(a)，F“ - (b)=f(b) (x0)， 在0，+)连续 (x0)， 在(-，0连续 12.设 f(x)可导，f(0)=0，f“(0)=2， ， （分数：3.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小 解析：解析 先改写 其中 13.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导且 f“(x)0(x(0，1)，则 A当 0x1 时 B当 0x1 时 C当 0x1 时 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 考察 在0，1连续且 F“(x)=f“(x)0(x(0，1) F“(x)在0，1单调下
19、降 又 F(0)=F(1)=0，由罗尔定理 (0，1)，F“()=0 F(x)F(0)=0(x(0，) F(x)F(1)=0(x，1) 14.若连续函数满足关系式 ，则 f(x)= A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由题意 f(1)= 1 1 f(t 2 )dt+e， 所以，f(1)=e 又 解此方程有： 因 f(1)=e 所以 C=1 于是 15.设 f(x)在a，b连续，则 f(x)在a，b非负且在a，b的 子区间上不恒为零是 （分数：3.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析 已知：g(x)在a，b连续，在
20、(a，b)可导，则 g(x)在a，b单调增加 g“(x)0(x(a，b)，在(a，b)的 子区间内 g“(x)0因此 F(x)= 0 x f(t)dt(它在a，b可导)在a，b单调增加 F“(x)=f(x)0(x(a，b)且在(a，b)的 16.函数 f(x)=cosx+xsinx 在(-2,2)内的零点个数为（分数：3.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析：解析 f(x)为连续的偶函数，f(0)=1，故只需讨论(0，2)内零点的个数用单调性分析方法先考察 f(x)在 ，在 ，在 又 f(0)=1， ，f(2)=1，由此可知，f(x)在 无零点，在 和 17.设 f(x)在 x
21、=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0 （分数：3.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 “(x)在 x=0 不连续D.可导且 “(x)在 x=0 连续 解析：解析 先求 (x)在 x=0 连续 x0 时 18.设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是 A B C D （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 1 已知若 g(x)在-a，a连续为奇函数，则 一定是偶函数在这四个选项中，函数g(x)=xf(x)+f(-x)满足 g(-x)=-xf(-x)+f(x)=-g(x) 为奇函数因此选 B 解析 2 取 f(x)=x，则相应的 A
22、 C D 19.设 f(x)二阶可导，f(0)0， （分数：3.50）A.F(0)是极大值B.F(0)是极小值C.F(0)不是极值，但(0，F(0)是曲线 F(x)的拐点坐标 D.F(0)不是极值，(0，F(0)也不是曲线 F(x)的拐点坐标解析：解析 20.下列叙述错误的是 A.设 f(x)在-a，a连续为奇函数，则 f(x)在-a，a的全体原函数为偶函数 B.设 f(x)在-a，a连续为偶函数，则 f(x)在-a，a的全体原函数为奇函数 C.设 f(x)在(-，+)连续，以 T 为周期且为奇函数，则 0xf(x)dt 也是以 T 为周期的函数 D.设 f(x)在(-，+)连续，以 T 为周
23、期，又 0f(x)dx 收敛，则 x0f(t)dt 也是以 T 为周期的函数（分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 1 因 ，C 为 常数， 当 f(x)为偶函数时 为奇函数，仅当 C=0 时 才是奇函数因此，f(x)为偶函数时 f(x)在-a，a只有唯一的一个原函数为奇函数即 B 是错误的，选 B 解析 2 因 ，C 为 常数，当 f(x)为奇函数时 为偶函数 对 常数 C， 也是偶函数 f(x)在-a，a的全体原函数均是偶函数 A 正确 当 f(x)在(-，+)连续，以 T 为周期时 以 T 为周期 当 f(x)又是奇函数时 以 T 为周期C 是正确的 现考察 D 收敛 数列极限
24、21. A0 B不存在 C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 |sinx|以 为周期，它在每个周期上的积分相等，等于 ，因此当 nx(n+1) 所以有 注意，x+ n在上式中，令 n，得 22.设 f(x)在a，b连续，则下列结论中正确的有_个 f(x)在a，b的任意子区间a，上 ，则 f(x)=0( xa，b) f(x)0(xa，b)，又 ，则 f(x)=0(xa，b) ， a，b，则 （分数：3.50）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 我们要逐一分析 结论正确由条件 结论正确由条件 结论错误如图所示，由定积分几何意义知， 其中， 23.设 ，则 A B C D （分数
25、：3.50）A.B. C.D.解析：解析 因 ，所以 24.设 0，在区间(-，)内 f“(x)0，又 f(0)=0，f“(0)=0，记 （分数：3.50）A.I=0B.I0 C.I0D.不确定解析：解析 1 本题的关键是判断 f(x)在(-，)上的符号 由 f“(0)=0 又因 f“(x)0，所以 f“(x)单调增加，因此在(-，0)和(0，)上分别有 f“(x)0 和 f“(x)0，从而 f(x)在(-，0)上单调减少，在(0，)上单调增加，由于 f(0)=0，于是有在(-，)上除f(0)=0 外，其他点 x 有 f(x)0，从而 ，因此选 B 解析 2 由条件知，f(x)在(-，)是凹的
26、 f(x)f(0)+f“(0)x=0，x(-，)，x0 25.设 sinxln|x|是 f(x)的一个原函数，则不定积分xf“(x)dx= A Bxcosxln|x|+sinx-sinxln|x|+C C （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)-f(x)dx =z(sinxln|x|)“-sinxln|x|+C =xcosxln|x|+sinx-sinxln|x|+C 其中 26. A B C （分数：3.50）A. B.C.D.解析：解析 ，被积函数以 为周期，由周期函数的积分性质 27.是 （分数：3.50）A.大于 0 B.小于 0C.等
27、于 0D.不能确定解析：解析 令 x 2 =u，则 在第二个积分中，令 u=-t，则 因此， 28.函数 （分数：3.50）A.为正数 B.为负数C.恒为零D.不是常数解析：解析 因被积函数是以 为周期的函数，它在每个周期上的积分值相等，因此， 29.设 （分数：3.50）A.f(x)=f(x+2) B.f(x)f(x+2)C.f(x)f(x+2)D.当 x0 时，f(x)f(x+2)，当 x0 时，f(x)f(x+2)解析：解析 考察 被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得 30.积分 I= =_ A B C D （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 1 用分部积分法 解析 2 用三角函数替换令 x=sin 2 t， 31.数列极限 A B C D （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 这是函数 在0，1上的一个积分和： 其中积分区间0，1n 等分，n 等分后每个小区间是 (i=1，2，n)， i 是区间的右端点因此 原式
