1、考研数学一-264 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:31,分数:100.00)1.函数 f(x)在1,2有二阶导数,f(2)=0,F(x)=(x-1) 2 f(x),则 F“(x)在(1,2)上(分数:3.00)A.没有零点B.必有零点C.若有零点,必不止一个D.若有零点必唯一2.设 f(x)=ax 3 -6ax 2 +b 在区间-1,2上的最大值是 3,最小值是-29,且 a0,则(分数:3.00)A.a=2,b=-29B.a=3,b=2C.a=2,b=3D.以上都不对3.原点 O(0,0)与曲线 之间的最短距离为 A B C D (分数:3.00)
2、A.B.C.D.4.(分数:3.00)A.B.C.D.5.考察下列叙述: 设 f 2 (x)在 x=x 0 连续,则 f(x)在 x=x 0 连续 设 f(x)在 x=x 0 连续,则|f(x)|在 x=x 0 连续 设|f(x)|在a,b可积,则 f(x)在a,b可积 设 f(x)在a,b有界,只有有限个间断点,则|f(x)|在a,b可积,即在a,b存在定积分 我们可知(分数:3.00)A.只有,正确B.只有,正确C.只有,正确D.只有,正确6.设 (分数:3.00)A.f(x)与 g(x)都存在原函数B.f(x)与 g(x)都不存在原函数C.f(x)存在原函数,g(x)不存在原函数D.f(
3、x)不存在原函数,g(x)存在原函数7.在下列定积分中,积分值等于零的是 A B C D (分数:3.00)A.B.C.D.8.设 (分数:3.00)A.I11I2B.1I1I2C.I21I1D.I1I219.数列极限 A B C D (分数:3.00)A.B.C.D.10. A B C D (分数:3.00)A.B.C.D.11.设 ,则 (分数:3.00)A.F(x)在 x=0 点不连续B.F(x)在 x=0 点不可导C.F(x)在 x=0 点可导,F“(0)=f(0)D.F(x)在 x=0 点可导,但 F“(0)f(0)12.设 f(x)可导,f(0)=0,f“(0)=2, , (分数:
4、3.00)A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小13.设 f(x)在0,1连续,在(0,1)可导且 f“(x)0(x(0,1),则 A当 0x1 时 B当 0x1 时 C当 0x1 时 (分数:3.00)A.B.C.D.14.若连续函数满足关系式 ,则 f(x)= A B C D (分数:3.00)A.B.C.D.15.设 f(x)在a,b连续,则 f(x)在a,b非负且在a,b的 子区间上不恒为零是 (分数:3.00)A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.函数 f(x)=cosx+xsinx 在(-2,2)内的零点个数为(分数
5、:3.00)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个17.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续,在 x=0 处可导,且 f(0)=0 (分数:3.00)A.不连续B.连续但不可导C.可导但 “(x)在 x=0 不连续D.可导且 “(x)在 x=0 连续18.设函数 f(x)连续,则在下列变上限积分定义的函数中,必为偶函数的是 A B C D (分数:3.50)A.B.C.D.19.设 f(x)二阶可导,f(0)0, (分数:3.50)A.F(0)是极大值B.F(0)是极小值C.F(0)不是极值,但(0,F(0)是曲线 F(x)的拐点坐标D.F(0)不是极值,(0,F(0)也不是曲线 F(x)
6、的拐点坐标20.下列叙述错误的是 A.设 f(x)在-a,a连续为奇函数,则 f(x)在-a,a的全体原函数为偶函数 B.设 f(x)在-a,a连续为偶函数,则 f(x)在-a,a的全体原函数为奇函数 C.设 f(x)在(-,+)连续,以 T 为周期且为奇函数,则 0xf(x)dt 也是以 T 为周期的函数 D.设 f(x)在(-,+)连续,以 T 为周期,又 0f(x)dx 收敛,则 x0f(t)dt 也是以 T 为周期的函数(分数:3.50)A.B.C.D.21. A0 B不存在 C D (分数:3.50)A.B.C.D.22.设 f(x)在a,b连续,则下列结论中正确的有_个 f(x)在
7、a,b的任意子区间a,上 ,则 f(x)=0( xa,b) f(x)0(xa,b),又 ,则 f(x)=0(xa,b) , a,b,则 (分数:3.50)A.0B.1C.2D.323.设 ,则 A B C D (分数:3.50)A.B.C.D.24.设 0,在区间(-,)内 f“(x)0,又 f(0)=0,f“(0)=0,记 (分数:3.50)A.I=0B.I0C.I0D.不确定25.设 sinxln|x|是 f(x)的一个原函数,则不定积分xf“(x)dx= A Bxcosxln|x|+sinx-sinxln|x|+C C (分数:3.50)A.B.C.D.26. A B C (分数:3.5
8、0)A.B.C.D.27.是 (分数:3.50)A.大于 0B.小于 0C.等于 0D.不能确定28.函数 (分数:3.50)A.为正数B.为负数C.恒为零D.不是常数29.设 (分数:3.50)A.f(x)=f(x+2)B.f(x)f(x+2)C.f(x)f(x+2)D.当 x0 时,f(x)f(x+2),当 x0 时,f(x)f(x+2)30.积分 I= =_ A B C D (分数:3.50)A.B.C.D.31.数列极限 A B C D (分数:3.50)A.B.C.D.考研数学一-264 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:31,分数:100.00
9、)1.函数 f(x)在1,2有二阶导数,f(2)=0,F(x)=(x-1) 2 f(x),则 F“(x)在(1,2)上(分数:3.00)A.没有零点B.必有零点 C.若有零点,必不止一个D.若有零点必唯一解析:解析 F(x)在1,2上连续,(1,2)内可导且 F(1)=F(2),由罗尔定理,至少存在一点 x 0 (1,2使 F“(x 0 )=0,又 F“(x)=2(x-1)f(x)+(x-1) 2 f“(x) F“(x 0 )=F“(1) F“(x)在1,x 0 上满足罗尔定理条件,所以,至少存在 (1,x 0 ) 2.设 f(x)=ax 3 -6ax 2 +b 在区间-1,2上的最大值是 3
10、,最小值是-29,且 a0,则(分数:3.00)A.a=2,b=-29B.a=3,b=2C.a=2,b=3 D.以上都不对解析:解析 令 f“(x)=3ax 2 -12ax=3ax(x-4)=0 得 x 1 =0,x 2 =4(不合题意舍去) f(0)=b,f(-1)=-7a+b,f(2)=-16a+b,由于 a0;所以,f(0)是最大值,f(2)是最小值 3.原点 O(0,0)与曲线 之间的最短距离为 A B C D (分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 1 点 O(0,0)与曲线 上 点 的距离平方为 因此 选 C 解析 2 点 O(0,0)与 点(x,y)的距离平方 f(x,y
11、)=x 2 +y 2 求 f(x,y)在条件 下的最小值,即 d 2 令 F(x,y,)= ,求驻点,即解方程组 由,得 ,代入得 即 相应地得 ,于是 选 C 解析 3 原点 O(0,0)与曲线 : 上 点间距离的最小值点为 M 0 ,则 连线是 在 M 0 点的法线 在 点 的切线斜率是 ,在该点处的法线方程是 令 x=0,y=0,得 即 曲线 在点 处的法线过原点因此 选 C 4.(分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 1 因 F(x)是 f(x)在(a,b)上的一个原函数,所以 F“(x)=f(x),因此 F(x)在(a,b)上连续,于是 F(x)在(a,b)上存在原函数,从而
12、 f(x)+F(x)在(a,b)上存在原函数因此选 C 解析 2 函数 f(x)在(a,b)上存在原函数,f(x)在(a,b)上可不连续,例如 显然 f(x)在 x=0 处不连续函数 f(x)在(a,b)上存在原函数,又因 F(x)在(a,b)上连续,因此 F(x)+f(x)在(a,b)不连续,所以不选 B 从而也不选 A f(x)+F(x)不一定是初等函数,例如 f(x)=e x2 在(-,+)上存在一个原函数,它不是初等函数 5.考察下列叙述: 设 f 2 (x)在 x=x 0 连续,则 f(x)在 x=x 0 连续 设 f(x)在 x=x 0 连续,则|f(x)|在 x=x 0 连续 设
13、|f(x)|在a,b可积,则 f(x)在a,b可积 设 f(x)在a,b有界,只有有限个间断点,则|f(x)|在a,b可积,即在a,b存在定积分 我们可知(分数:3.00)A.只有,正确B.只有,正确C.只有,正确 D.只有,正确解析:解析 由题目的设置可知,这四个命题中有两个是正确的,两个是错误的 解析 1 由“若 则 ”可得“若 ,则 ”,因此,若 f(x)在 x=x 0 连续,则|f(x)|在 x=x 0 连续,即正确 由 f(x)在a,b有界,只有有限个间断点,则|f(x)|在a,b也有界,也只有有限个间断点(因 f(x)的连续点必是|f(x)|的连续点),因而|f(x)|在a,b可积
14、即正确选 C 解析 2 是不正确的,例如, 在 x=0 间断,但 f 2 (x)=1 在 x=0 连续也是错的,例如 ,则 6.设 (分数:3.00)A.f(x)与 g(x)都存在原函数B.f(x)与 g(x)都不存在原函数C.f(x)存在原函数,g(x)不存在原函数D.f(x)不存在原函数,g(x)存在原函数 解析:解析 这是讨论原函数的存在性问题我们知道,若 F(x)在(a,b)连续,则 F(x)在(a,b)一定存在原函数,这里 g(x)在(-1,1)连续,所以 g(x)在(-1,1)存在原函数 余下的是 f(x)在(-1,1)是否存在原函数(x=0 是 f(x)的间断点) 方法 1 f(
15、x)在0,1)的原函数为 ,在(-1,0)的原函数为 sinx+C 2 ,在 x=0 处该原函数必连续: C 1 =C 2 若 f(x)在(-1,1)存在原函数则应是 但此 F(x)在 x=0 不可导,因为 F“+(0)F“ - (0) 因此 f(x)在(-1,1)不存在原函数选 D 方法 2 因 x=0 是 f(x)的第一类间断点,所以 f(x)在(-1,1)有第一类间断点, 7.在下列定积分中,积分值等于零的是 A B C D (分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 1 A 中 x 7 sin 9 x 是偶函数 B 中 为奇函数 为偶函数 D 中 选 C 解析 2 分析 C 8.设
16、 (分数:3.00)A.I11I2B.1I1I2 C.I21I1D.I1I21解析:解析 1 已知 时,sinxx, 现再考察 的单调性 令 g(x)=xcosx-sinx g“(x)=-xsinx0 又 g(0)=0 g(x)0 在 单调下降 因此 I 2 I 1 1选 B 解析 2 同前已证 I 1 I 2 由于 y=sinx 在 是凸函数由凸函数的性质知,O 与 的连线在曲线 y=sinx 的下方 因此选 B 9.数列极限 A B C D (分数:3.00)A.B. C.D.解析:解析 直接求出定积分办不到我们用适当放大缩小法 注意 由夹逼定理 10. A B C D (分数:3.00)
17、A.B.C. D.解析:解析 11.设 ,则 (分数:3.00)A.F(x)在 x=0 点不连续B.F(x)在 x=0 点不可导 C.F(x)在 x=0 点可导,F“(0)=f(0)D.F(x)在 x=0 点可导,但 F“(0)f(0)解析:解析 1 先求出 F(x),再判断 当 x0 时 当 x=0 时 当 x0 时 当 x0 时 所以 (这里 F(x)在 x=0 处自然连续拼接) F“ + (0)F“ - (0),F(x)在 x=0 不可导选 B 解析 2 不必求出 F(x)利用已知结论来判断:设 f(x)在a,b连续,则 在a,b可导且 F“(x)=f(x)(xa,b),x 0 是a,b
18、某定点(这里端点 a,b 当然是单侧导数,即 F“ + (a)=f(a),F“ - (b)=f(b) (x0), 在0,+)连续 (x0), 在(-,0连续 12.设 f(x)可导,f(0)=0,f“(0)=2, , (分数:3.00)A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小 解析:解析 先改写 其中 13.设 f(x)在0,1连续,在(0,1)可导且 f“(x)0(x(0,1),则 A当 0x1 时 B当 0x1 时 C当 0x1 时 (分数:3.00)A. B.C.D.解析:解析 考察 在0,1连续且 F“(x)=f“(x)0(x(0,1) F“(x)在0,1单调下
19、降 又 F(0)=F(1)=0,由罗尔定理 (0,1),F“()=0 F(x)F(0)=0(x(0,) F(x)F(1)=0(x,1) 14.若连续函数满足关系式 ,则 f(x)= A B C D (分数:3.00)A.B.C. D.解析:解析 由题意 f(1)= 1 1 f(t 2 )dt+e, 所以,f(1)=e 又 解此方程有: 因 f(1)=e 所以 C=1 于是 15.设 f(x)在a,b连续,则 f(x)在a,b非负且在a,b的 子区间上不恒为零是 (分数:3.00)A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解析:解析 已知:g(x)在a,b连续,在
20、(a,b)可导,则 g(x)在a,b单调增加 g“(x)0(x(a,b),在(a,b)的 子区间内 g“(x)0因此 F(x)= 0 x f(t)dt(它在a,b可导)在a,b单调增加 F“(x)=f(x)0(x(a,b)且在(a,b)的 16.函数 f(x)=cosx+xsinx 在(-2,2)内的零点个数为(分数:3.00)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析:解析 f(x)为连续的偶函数,f(0)=1,故只需讨论(0,2)内零点的个数用单调性分析方法先考察 f(x)在 ,在 ,在 又 f(0)=1, ,f(2)=1,由此可知,f(x)在 无零点,在 和 17.设 f(x)在 x
21、=0 的某邻域内连续,在 x=0 处可导,且 f(0)=0 (分数:3.00)A.不连续B.连续但不可导C.可导但 “(x)在 x=0 不连续D.可导且 “(x)在 x=0 连续 解析:解析 先求 (x)在 x=0 连续 x0 时 18.设函数 f(x)连续,则在下列变上限积分定义的函数中,必为偶函数的是 A B C D (分数:3.50)A.B. C.D.解析:解析 1 已知若 g(x)在-a,a连续为奇函数,则 一定是偶函数在这四个选项中,函数g(x)=xf(x)+f(-x)满足 g(-x)=-xf(-x)+f(x)=-g(x) 为奇函数因此选 B 解析 2 取 f(x)=x,则相应的 A
22、 C D 19.设 f(x)二阶可导,f(0)0, (分数:3.50)A.F(0)是极大值B.F(0)是极小值C.F(0)不是极值,但(0,F(0)是曲线 F(x)的拐点坐标 D.F(0)不是极值,(0,F(0)也不是曲线 F(x)的拐点坐标解析:解析 20.下列叙述错误的是 A.设 f(x)在-a,a连续为奇函数,则 f(x)在-a,a的全体原函数为偶函数 B.设 f(x)在-a,a连续为偶函数,则 f(x)在-a,a的全体原函数为奇函数 C.设 f(x)在(-,+)连续,以 T 为周期且为奇函数,则 0xf(x)dt 也是以 T 为周期的函数 D.设 f(x)在(-,+)连续,以 T 为周
23、期,又 0f(x)dx 收敛,则 x0f(t)dt 也是以 T 为周期的函数(分数:3.50)A.B. C.D.解析:解析 1 因 ,C 为 常数, 当 f(x)为偶函数时 为奇函数,仅当 C=0 时 才是奇函数因此,f(x)为偶函数时 f(x)在-a,a只有唯一的一个原函数为奇函数即 B 是错误的,选 B 解析 2 因 ,C 为 常数,当 f(x)为奇函数时 为偶函数 对 常数 C, 也是偶函数 f(x)在-a,a的全体原函数均是偶函数 A 正确 当 f(x)在(-,+)连续,以 T 为周期时 以 T 为周期 当 f(x)又是奇函数时 以 T 为周期C 是正确的 现考察 D 收敛 数列极限
24、21. A0 B不存在 C D (分数:3.50)A.B.C. D.解析:解析 |sinx|以 为周期,它在每个周期上的积分相等,等于 ,因此当 nx(n+1) 所以有 注意,x+ n在上式中,令 n,得 22.设 f(x)在a,b连续,则下列结论中正确的有_个 f(x)在a,b的任意子区间a,上 ,则 f(x)=0( xa,b) f(x)0(xa,b),又 ,则 f(x)=0(xa,b) , a,b,则 (分数:3.50)A.0B.1C.2 D.3解析:解析 我们要逐一分析 结论正确由条件 结论正确由条件 结论错误如图所示,由定积分几何意义知, 其中, 23.设 ,则 A B C D (分数
25、:3.50)A.B. C.D.解析:解析 因 ,所以 24.设 0,在区间(-,)内 f“(x)0,又 f(0)=0,f“(0)=0,记 (分数:3.50)A.I=0B.I0 C.I0D.不确定解析:解析 1 本题的关键是判断 f(x)在(-,)上的符号 由 f“(0)=0 又因 f“(x)0,所以 f“(x)单调增加,因此在(-,0)和(0,)上分别有 f“(x)0 和 f“(x)0,从而 f(x)在(-,0)上单调减少,在(0,)上单调增加,由于 f(0)=0,于是有在(-,)上除f(0)=0 外,其他点 x 有 f(x)0,从而 ,因此选 B 解析 2 由条件知,f(x)在(-,)是凹的
26、 f(x)f(0)+f“(0)x=0,x(-,),x0 25.设 sinxln|x|是 f(x)的一个原函数,则不定积分xf“(x)dx= A Bxcosxln|x|+sinx-sinxln|x|+C C (分数:3.50)A.B. C.D.解析:解析 xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)-f(x)dx =z(sinxln|x|)“-sinxln|x|+C =xcosxln|x|+sinx-sinxln|x|+C 其中 26. A B C (分数:3.50)A. B.C.D.解析:解析 ,被积函数以 为周期,由周期函数的积分性质 27.是 (分数:3.50)A.大于 0 B.小于 0C.等
27、于 0D.不能确定解析:解析 令 x 2 =u,则 在第二个积分中,令 u=-t,则 因此, 28.函数 (分数:3.50)A.为正数 B.为负数C.恒为零D.不是常数解析:解析 因被积函数是以 为周期的函数,它在每个周期上的积分值相等,因此, 29.设 (分数:3.50)A.f(x)=f(x+2) B.f(x)f(x+2)C.f(x)f(x+2)D.当 x0 时,f(x)f(x+2),当 x0 时,f(x)f(x+2)解析:解析 考察 被积函数以 2 为周期且为偶函数,由周期函数的积分性质得 30.积分 I= =_ A B C D (分数:3.50)A.B. C.D.解析:解析 1 用分部积分法 解析 2 用三角函数替换令 x=sin 2 t, 31.数列极限 A B C D (分数:3.50)A.B. C.D.解析:解析 这是函数 在0,1上的一个积分和: 其中积分区间0,1n 等分,n 等分后每个小区间是 (i=1,2,n), i 是区间的右端点因此 原式