1、考研数学一-255 及答案解析(总分：148.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=|x|，g(x)=x 2 -x，则等式 fg(x)=gf(x)成立时，x 的变化范围是_（分数：4.00）A.(-，1)0B.(-，0C.0，+)D.1，+)0)2.设非负函数 f(x)满足条件 f“(x)0， 收敛，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=y(x)是初值问题 的解，则_ Ax=1 是 y(x)的极大点，且极限 Bx=1 是 y(x)的极大点，且极限 Cx=1 是 y(x)的极小点，且极限 Dx=1 是否为 y(x)的
2、极值点与参数 a有关，且极限 （分数：4.00）A.B.C.D.4.如下四个论断中正确的是_ A若级数 收敛，且 u n v n ，则 也收敛 B若 收敛，则 都收敛 C若正项级数 发散，则 D若 都收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 A，B 均是 n阶正交矩阵，A * ，B * 是 A，B 的伴随矩阵，且|A|=-|B|，则 |A+B|=0， |A-B|=0， |A * +B * |=0， |A * -B * |=0 中，正确的结果有_（分数：4.00）A.1项B.2项C.3项D.4项6.设 A是 4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是_（分数：4.00）A.AX=0和
3、 A2X=0B.A2X=0和 A3X=0C.A3X=0和 A4X=0D.A4X=0和 A5X=07.设随机变量 XN(0，1)，对给定的 (01)，数 u 满足 PXu )=a若 P(|X|x=，则x等于_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.8.若(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0，1，1，)，令 U=X+Y，V=X-Y，则 cov(U，V)=_（分数：4.00）A.2+2B.2-2C.2+2+2D.2-2+2二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设有曲线 L： （分数：4.00）10.设 z=f(x，y)在全平面 R 2 上有连续的二阶偏导数，并且满足方程 （分数：4
4、.00）11.二重积分 （分数：4.00）12.设曲线 L：4x 2 +y 2 =8x，取逆时针方向，则 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是来自正态总体 x的简单随机样本， ， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：92.00)15.已知 f“(x)为连续的偶函数，满足条件 f“(e -x )=xe -x ，f(-1)=0求 f(x)的表达式 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.若 u 0 =0，u 1 =1， ，n=1，2，其中 ， 是正实数，求 （分数：10.00）_设函数集合 ，其中每一函数 f(x)，
5、满足下列条件： (i)f(x)是定义在0，1上的非负函数，且 f(1)=1； (ii) （分数：10.00）(1).证明 中每一函数 f(x)都是单调增加的；（分数：5.00）_(2).对所有这一类函数 ，求积分 （分数：5.00）_18.已知曲线 C： （分数：10.00）_设向量组(i) 1 =1，2，-1 T ， 2 =1，3，-1 T ， 3 =-1，0，a-2 T ； (ii) 1 =-1，-2，3 T ， 2 =-2，-4，5 T ， 3 =1，b，-1 T ； 记 A= 1 ， 2 ， 3 ，B= 1 ， 2 ， 3 （分数：11.00）(1).问 a，b 为何值时，A，B 等价
6、；a，b 为何值时，A，B 不等价（分数：5.50）_(2).问 a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)等价；a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)不等价（分数：5.50）_设 A，B 是 n阶矩阵，证明：（分数：11.00）(1).当 A可逆时，AB 和 BA有相同的特征值；（分数：5.50）_(2).证明 AB和 BA有相同的特征值（分数：5.50）_已知随机变量 X与 Y的联合概率分布如下表所列 （分数：10.00）(1).证明 X与 Y不相关的充分必要条件是事件Y=1与X+Y=1相互独立；（分数：5.00）_(2).若 X与 Y不相关，求 X与 Y的边缘分布（分数：5.00）_设总
7、体 X的分布如下： X 1 2 3 p 2 2(1-) (1-) 2 其中 01，X 1 ，X 2 ，X 3 为来自总体的简单随机样本（分数：10.00）(1).求参数 的最大似然估计量 （分数：5.00）_(2).判断 （分数：5.00）_考研数学一-255 答案解析(总分：148.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=|x|，g(x)=x 2 -x，则等式 fg(x)=gf(x)成立时，x 的变化范围是_（分数：4.00）A.(-，1)0B.(-，0C.0，+)D.1，+)0) 解析：解析 fg(x)=|g(x)|=|x 2 -x|，gf(
8、x)=f 2 (x)-f(x)=|x| 2 -|x|=x 2 -|x| 由 fg(x)=gf(x)，得|x 2 -x|=x 2 -|x| 当 x 2 x，即 x0 或者 x1 时，有 x 2 -x=x 2 -|x|，即 x=|x|，解得 x0 综合得 x1 或 x=0 当 x 2 x，即 1x0 时，x-x 2 =x 2 -x，即 2x=2x 2 ，解得 x=1或 x=0 综上所述，当 x1 或 x=0时，fg(x)=gf(x)2.设非负函数 f(x)满足条件 f“(x)0， 收敛，则_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 f“(x)0，所以 f(x)为单调递
9、减函数 由于 收敛，则 又当 x0 时， ， 故 由夹逼定理可知 由上式极限存在且为零，易知 3.设 y=y(x)是初值问题 的解，则_ Ax=1 是 y(x)的极大点，且极限 Bx=1 是 y(x)的极大点，且极限 Cx=1 是 y(x)的极小点，且极限 Dx=1 是否为 y(x)的极值点与参数 a有关，且极限 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 y(x)是方程 的解 由 y“(1)=0，知 x=1是 y(x)的一个驻点 又 y“(1)=(e x-1 -2y“-ay)| x=1 =0，所以 x=1是 y(x)的极小点 4.如下四个论断中正确的是_ A若级数 收敛，且 u n
10、 v n ，则 也收敛 B若 收敛，则 都收敛 C若正项级数 发散，则 D若 都收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 选项 A，此论断只对正项级数成立，所以不对 选项 B，由反例 u n =1， ，否定了此论断 选项 C，由反例 ，否定了此论断 选项 D正确因为 及 都收敛，所以 收敛 再由级数的运算性质，得 5.已知 A，B 均是 n阶正交矩阵，A * ，B * 是 A，B 的伴随矩阵，且|A|=-|B|，则 |A+B|=0， |A-B|=0， |A * +B * |=0， |A * -B * |=0 中，正确的结果有_（分数：4.00）A.1项B.2项C.3项D.4项
11、解析：解析 A，B 是正交阵，则有 AA T =E=A T A，BB T =E=B T B，故 6.设 A是 4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是_（分数：4.00）A.AX=0和 A2X=0B.A2X=0和 A3X=0C.A3X=0和 A4X=0D.A4X=0和 A5X=0 解析：解析 显然，由 A i X=0，两边左乘 A，得 A i+1 X=0，i=1，2，3，4 反之，若 A i+1 X=0，是否有 A i X=0 对选项 A，取 ，A 2 =0，取 X=0，0，0，1 T ，则 A 2 X=0X=0，但 ，故选项 A不是同解方程组 对选项 B，取 ，A 3 =0，取 X=0，0
12、，0，1 T ，则 A 3 X=0，但 ，故选项 B不是同解方程组 对选项 C，取 ，A 4 =0，取 X=0，0，0，1 T ，则 A 4 X=0，但 ，故选项 C不是同解方程组 由排除法知，应选择 D 对于选项 D：易知 ，要证 ，用反证法，设 A 5 X=0，而 A 4 X0，因 5个四维向量 X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X必线性相关，存在不全为零的数 k 0 ，k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 使得 k 0 X+k 1 AX+k 2 A 2 X+k 3 A 3 X+k 4 A 4 X=0 (*) 对式(*)两边左乘 A 4 ，得 k 0 A 4 X+k 1 A 5 X
13、+k 2 A 6 X+k 3 A 7 X+k 4 A 8 X=0 k 0 A 4 X=0， 又 A 4 X0 得 k 0 =0，将 k 0 =0代入式(*)，类似地再两边左乘 A 3 ，可得 k 1 =0，同理可得 k 2 =k 3 =k 4 =0，这和 X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X线性相关矛盾，故 A 5 X=0 A 4 X=0(一般地，当 A为 n阶方阵时，有 A n+1 X=0 7.设随机变量 XN(0，1)，对给定的 (01)，数 u 满足 PXu )=a若 P(|X|x=，则x等于_ A B C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 XN(0，1)，(-x)
14、=1-(x) 由正态分布图，可知 8.若(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0，1，1，)，令 U=X+Y，V=X-Y，则 cov(U，V)=_（分数：4.00）A.2+2B.2-2 C.2+2+2D.2-2+2解析：解析 由(X，Y)N(0，0，1，1，)，得 XN(0，1)，YN(0，1) 则 E(X)=0， 1=D(X)=E(X 2 )-(EX) 2 =E(X 2 )， E(Y)=0， 1=D(Y)=E(Y 2 )-(EY) 2 =E(Y 2 ) cov(U，V)=E(UV)-E(U)E(V)=E(UV) =E(X+Y)(X-Y) =E( 2 X 2 - 2 Y 2 )= 2 - 2 二
15、、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设有曲线 L： （分数：4.00）解析： 解析 由已知得 由切线与直线平行可知 得解 ，且 由此得切点为 所求切线方程为 ， 即 10.设 z=f(x，y)在全平面 R 2 上有连续的二阶偏导数，并且满足方程 （分数：4.00）解析：1 解析 f(-x，x)=-x 2 -f“ 1 (-x，x)+f“ 2 (-x，x)=-2x 11.二重积分 （分数：4.00）解析： 解析 思路一：在极坐标系下，x=cos，y=sin，则 其中 思路二： 其中 所以 思路三：选 v轴垂直于直线 3x+4y=0，令 3x+4y=u 则 12.设曲线 L：4x 2 +y
16、2 =8x，取逆时针方向，则 （分数：4.00）解析：2 解析 由于 ，L 是半轴分别为 1和 2的椭圆 由格林公式得 其中 D是由 围成的椭圆域由于该椭圆域关于 x轴对称，ye y2 是 y的奇函数，所以 ，从而 13.设 （分数：4.00）解析： 解析 由已知得 A可逆，A * =|A|A -1 =-2A -1 故 (A-2E) -1 (A * +E)=(A-2E) -1 (-2A -1 +E) =(A-2E) -1 (A-2E)A -1 =A -1 ， 利用初等变换法求逆 则 14.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是来自正态总体 x的简单随机样本， ， （分数：4.00）解析：t(2)
17、解析 设 XN(，)，由题设得 故 ，又 ，Y 1 -Y 2 与 S 2 独立，则 三、解答题(总题数：9，分数：92.00)15.已知 f“(x)为连续的偶函数，满足条件 f“(e -x )=xe -x ，f(-1)=0求 f(x)的表达式 （分数：10.00）_正确答案：()解析：f“(e -x )=xe -x ，令 e -x =|t|，则 x=-ln|t|，于是有 积分得 当 x0 时， 当 x0 时， 综上，得 16.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 得到 ，代入方程得 17.若 u 0 =0，u 1 =1， ，n=1，2，其中 ， 是正实数，求 （分数：10.00）_正
18、确答案：()解析：由 ，得 则 设函数集合 ，其中每一函数 f(x)，满足下列条件： (i)f(x)是定义在0，1上的非负函数，且 f(1)=1； (ii) （分数：10.00）(1).证明 中每一函数 f(x)都是单调增加的；（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 f(x)是单调增函数，因为 ，x+x0，1，f(x+x)f(x)+f(x) (2).对所有这一类函数 ，求积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：对 ，有 1-fx+(1-x)f(x)+f(1-x)， 从而 而令函数 f 0 (x)x，x0，1，显然 f 0 (x)又 所以有 对所有这一类函数中，积分 的最大取值为 1
19、8.已知曲线 C： （分数：10.00）_正确答案：()解析：点(x，y，z)到 xOy面的距离为 d=|z|，故求 C上距离 xOy面的最远点和最近点的坐标，等价于条件极值问题： 构造拉格朗日函数 L(x，y，z，)=z 2 +(x 2 +y 2 -2z 2 )+(x+y+3z-5)， 则 由式()和式(2)得 x=y，代入式(4)和式(5)有 解得 设向量组(i) 1 =1，2，-1 T ， 2 =1，3，-1 T ， 3 =-1，0，a-2 T ； (ii) 1 =-1，-2，3 T ， 2 =-2，-4，5 T ， 3 =1，b，-1 T ； 记 A= 1 ， 2 ， 3 ，B= 1
20、， 2 ， 3 （分数：11.00）(1).问 a，b 为何值时，A，B 等价；a，b 为何值时，A，B 不等价（分数：5.50）_正确答案：()解析：A，B 等价 r(A)=r(B)，将 A，B 合并成 ，一起作初等行变换，得 (2).问 a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)等价；a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)不等价（分数：5.50）_正确答案：()解析：向量组(i)，(ii)等价 设 A，B 是 n阶矩阵，证明：（分数：11.00）(1).当 A可逆时，AB 和 BA有相同的特征值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：当 A可逆时，因 A -1 (AB)A=(A -1 A
21、)BA=BA，故 ABBA相似矩阵有相同的特征值，故 AB和 BA有相同的特征值(2).证明 AB和 BA有相同的特征值（分数：5.50）_正确答案：()解析：思路一：若 AB有特征值 =0，则|AB|=|A|B|=|BA|=0，故 BA也有特征 值 =0；若 AB有特征值 0，并设相应的特征向量为 (0)，即 (AB)=，0 (*) 式(*)左乘 B，得 B(AB)=B (BA)(B)=B，其中 B0，(若 B=0，则由式(*)(AB)=A(B)=0，这和 0 且 0 矛盾)，故 BA也有特征值 0，对应的特征向量为 B，得证 AB和BA有相同的特征值 思路二：AB 有特征值 =0，则|AB
22、|=|A|B|=|BA|=0，故 BA也有特征值 =0；若 0，则 已知随机变量 X与 Y的联合概率分布如下表所列 （分数：10.00）(1).证明 X与 Y不相关的充分必要条件是事件Y=1与X+Y=1相互独立；（分数：5.00）_正确答案：()解析：由概率分布的性质知 ， X与 Y不相关 cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 X的概率分布为 Y的概率分布为 XY的概率分布为 则 ， 故 X与 Y不相关 ，即 另一方面，事件Y=1与X+Y=1相互独立的充分必要条件是 PY=1，X+Y=1=PY=1)PX+Y=1 而今已知 ，及 ， 故事件Y=1)与X+Y=1相互独立的充分必要条件
23、也是 (2).若 X与 Y不相关，求 X与 Y的边缘分布（分数：5.00）_正确答案：()解析：若 X与 Y不相关，则 ，故 X的概率分布为 ，Y 的概率分布为设总体 X的分布如下： X 1 2 3 p 2 2(1-) (1-) 2 其中 01，X 1 ，X 2 ，X 3 为来自总体的简单随机样本（分数：10.00）(1).求参数 的最大似然估计量 （分数：5.00）_正确答案：()解析：求参数 的最大似然估计 ，总体分布可表示为 P(X=k)=C(k)(1-) k-1 3-k ， k=1，2，3 其中 C(1)=1，C(2)=2，C(3)=1 似然函数 ， 即 ，其中 解方程 ，得 的最大似然估计 (2).判断 （分数：5.00）_正确答案：()解析：判断 的无偏性和一致性 的无偏性： 又 E(X)=1 2 +22(1-)+3(1-) 2 =3-2， 则 是 的无偏估计 的一致性：因为 ，则 D(X)=E(X 2 )-(EX) 2 =1 2 +42(1-)+9(1-) 2 -(3-2) 2 =3-2 =1 2 +42(1-)+9(1-) 2 -(3-2) 2 =2(1-)， 由切比雪夫不等式， 对有 则 ，即
