1、考研数学一-254 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 3a 2 -5b0，则方程 x 5 +2ax 3 +3bx+4c=0_（分数：4.00）A.有唯一实根B.有两个不同实根C.有三个不同实根D.有五个不同实根2.设 （分数：4.00）A.2e(1-e)B.-2e2C.1-eD.03.设曲线 L： 方向为从 z 轴正向看取逆时针，向量场 F(x，y，z)=xz 2 i+yx 2 j+zy 2 k， 则第二类曲线积分 （分数：4.00）AB.-C.0D.14.若幂级数 在 x=1 处收敛，则级数 （分数：4.00）A.发散B.
2、条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与 b 的取值有关5.设 是三阶可逆矩阵，B 是三阶矩阵，且 ，则 B 相似于 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.A1y=0B.A2y=0C.A3y=0D.A4y=07.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：4.00）A.1- 和 5-(+1)2B.1- 和 5-(-1)2C. 和 5-(+1)2D. 和 5-(-1)28.设随机向量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，则 P(-Xa，Yy)=_（分数：4.00）A.1-F(-a，y)B.1-F(-a，y-0)C.F(，y)-F(-a，y-0)D.F(，y)-F(-a
3、，y)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设二元函数 f(x，y)二阶连续可导，且 若 u(x，y，z)=f(x+y+z，x 2 +y 2 +z 2 )，则 （分数：4.00）10.若二阶常系数线性齐次微分方程 2y“+ay“=0 和 y“-by=0 有同一解 y=e 2x ，则非齐次方程 y“+ay“+by=e 2x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）11.设曲面 S 由方程 （分数：4.00）12.设 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 1，则 （分数：4.00）13.设 为可逆矩阵，且 ，若 C= （分数：4.00）14.已知 P(A)=0.5，P(B)=0.6，
4、P(B|A)=0.4，则 P(A-B)|AB= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=z(x，y)是由 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值 （分数：10.00）_设函数 （分数：10.00）(1).求 f(t)的初等函数表达式；（分数：5.00）_(2).证明存在 t 0 (0，1)，使得 f(t 0 )是 f(t)在0，1内的唯一最小值点（分数：5.00）_设 y=y(x)在(-，+)内二阶可导，且 y“(x)0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：10.00）(1).试将
5、 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：5.00）_(2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0， （分数：5.00）_若有数列x n 由如下条件确定，x 1 =1，x n+1 =sin(arctanx n )，n=1，2，（分数：10.00）(1).证明数列x n 收敛，并求极限 （分数：5.00）_(2).求极限 （分数：5.00）_16.计算第二类曲面积分 其中 S 为 介于 z=0 和 z=1 之间的部分，S 的正法向与 z 轴正向夹角小于 （分数：10.00）_设 n 阶矩阵 A 的元素 a ij ，i，j=1，2，n，A ij 是 a ij 的代数余子式（分数：11.00）
6、(1).若 ，求 （分数：5.50）_(2).已知|A|=3，a 11 =2， （分数：5.50）_设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，且|A|0（分数：11.00）(1).证明存在 3 维向量 0 ，使得 （分数：5.50）_(2).设 ，求 0 ，使得 （分数：5.50）_17.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：11.00）_在计算机上做大型科学计算，需对经运算后的十进制数 x j ，在其小数点后第 6 位作四舍五入，得到 x j 的近似值 y j ，则误差 j =x j -y j 在区间(-0.510 -5 ，0.510 -5 )内随机取值设随机变量 j 服从该区间
7、上的均匀分布记经 n 次运算的累积误差为 （分数：11.01）(1).试求 1 + 2 的分布；（分数：3.67）_(2).利用切比雪夫不等式估计，当 n=10000 时给出| n |不超过 0.0005 的概率的下界；（分数：3.67）_(3).利用中心极限定理，当 n=10000 时以 99.7%以上的把握给出| n |的近似估计(估计上界) 注：(x)为标准正态分布，已知 (3)=0.99874（分数：3.67）_考研数学一-254 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 3a 2 -5b0，则方程 x 5 +2ax 3 +3
8、bx+4c=0_（分数：4.00）A.有唯一实根 B.有两个不同实根C.有三个不同实根D.有五个不同实根解析：解析 设 f(x)=x 5 +2ax 3 +3bx+4c，f“(x)=5x 4 +6ax 2 +3b 因为 =(6a) 2 -45(3b)=12(3a 2 -5b)0， 所以 f“(x)=5x 4 +6ax 2 +3b0，因此 f(x)=0 至多有一个根 又 f(x)是五次多项式，它至少有一个零点，所以 f(x)=0 有唯一实根2.设 （分数：4.00）A.2e(1-e) B.-2e2C.1-eD.0解析：解析 区域 D：0xt 2 ，xyt 2 ，交换次序为 D：0yt 2 ，0xy
9、，则 3.设曲线 L： 方向为从 z 轴正向看取逆时针，向量场 F(x，y，z)=xz 2 i+yx 2 j+zy 2 k， 则第二类曲线积分 （分数：4.00）AB.-C.0 D.1解析：解析 ， 思路一：由已知得，曲线 L 的参数方程为 ，则 思路二：在平面区域：z=1，x 2 +y 2 1上利用 Green 公式，即 思路三：在平面区域：z=1，x 2 +y 2 1上利用 Stokes 公式，即 4.若幂级数 在 x=1 处收敛，则级数 （分数：4.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性与 b 的取值有关解析：解析 在 x=1 处收敛 在(-1-2，-1+2)=(-3，1)内
10、绝对收敛 绝对收敛 又 ，所以 5.设 是三阶可逆矩阵，B 是三阶矩阵，且 ，则 B 相似于 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 观察 ，可由 作初等行变换得到，将 A 的 1、2 行互换，(左乘 E 12 )，再将 E 12 A 的第 2 行乘以 2，第 3 行乘以-1，(左乘 E 2 (2)，再左乘 E 3 (-1)，即得 AB，即 A 是可逆矩阵，上式两边右乘 A -1 ，得 ， 即 6.设 （分数：4.00）A.A1y=0B.A2y=0C.A3y=0 D.A4y=0解析：解析 由 AX=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )X=0 有通解 k2，-3，0，1 T
11、 知，r(A)=3，且 2 1 -3 2 +0 3 + 4 =2 1 -3 2 + 4 =0， 即 有非零解2，-3，1 T ，故应选 C选项 A、B、D 均不成立若 A 1 y=0 有非零解，设为(y 2 ，y 3 ，y 4 ) T (0)，则 y 2 2 +y 3 3 +y 4 4 =0不失一般性，设 y 2 0，则 ，又AX=0 有解(2，-3，0，1) T ，得 2 1 -3 2 + 4 =0， 7.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：4.00）A.1- 和 5-(+1)2 B.1- 和 5-(-1)2C. 和 5-(+1)2D. 和 5-(-1)2解析：解析 由已知得 记 ，则 f
12、 X (x)=f 1 (x)+(1-)f 2 (x)， 故 E(X 1 )=0，D(X 1 )=1，E(X 2 )=1，D(X 2 )=4 8.设随机向量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，则 P(-Xa，Yy)=_（分数：4.00）A.1-F(-a，y)B.1-F(-a，y-0)C.F(，y)-F(-a，y-0)D.F(，y)-F(-a，y) 解析：解析 P(-Xa，Yy)=P(X-a，Yy) =P(-X+，Yy)-P(X-a，Yy) =P(Yy)-P(X-a，Yy) =F(，y)-F(-a，y)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设二元函数 f(x，y)二阶连续可导，且 若 u
13、(x，y，z)=f(x+y+z，x 2 +y 2 +z 2 )，则 （分数：4.00）解析：-12 解析 利用函数结构的对称性，可得 则 10.若二阶常系数线性齐次微分方程 2y“+ay“=0 和 y“-by=0 有同一解 y=e 2x ，则非齐次方程 y“+ay“+by=e 2x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）解析： ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 解析 由题设条件可知二次方程 2 2 +a=0 与 2 -b=0有共同的一个解 =2，所以 b=4，a=-4齐次微分方程为 y“-4y“+4y=0，其通解是 y=(c 1 +c 2 x)e 2x 求非齐次微分方程 y“-4y“+4y
14、=e 2x 的一个特解： 由非齐次项设特解 Y=Ax 2 e 2x ，代入微分方程为 y“-4y“+4y=e 2x ，得 A(2e 2x +8xe 2x +4x 2 e 2x )-4A(2xe 2x +2x 2 e 2x )+4Ax 2 e 2x =e 2x 比较系数，得 ，故其特解为 ，通解为 11.设曲面 S 由方程 （分数：4.00）解析： 解析 因点 M 0 (1，1，1)满足方程 z=y+lnx-lnz，即点 M 0 在曲面 S 上又 因此在曲面 S 上点(x，y，z)处的法向量为 ，在点 M 0 (1，1，1)处的法向量为 n M0 =i+j-2k 故 S 在点 M 0 (1，1，
15、1)处的法线的直线的参数式方程为 12.设 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 1，则 （分数：4.00）解析： 解析 由积分区域的对称性 思路一：由轮换对称性，得 ，则 思路二： 13.设 为可逆矩阵，且 ，若 C= （分数：4.00）解析： 解析 观察 C 和 A 的关系，C 可由 A 的 1、2 行互换后，再将第 3 列加到第 1 列得到，即C=E 12 AE 13 (1)，故 C -1 =E 12 AE 13 (1) -1 =E 13 (1) -1 A -1 (E 12 ) -1 ，其中(E 12 ) -1 =E 12 ，E 13 (1) -1 =E 13 (-1)，故 14
16、.已知 P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.4，则 P(A-B)|AB= 1 （分数：4.00）解析： 解析 由题设可知，P(AB)=P(A)P(B|A)=0.50.4=0.2，于是 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=z(x，y)是由 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：方程 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 两边对 x 和 y 求导，得 令 ，得 故得驻点坐标关系 将上式代入 x 2 -6xy+10y 2 -2yz
17、-z 2 +18=0，可得两个驻点 由于式对 x 求导得 式对 x 求导得 式对 y 求导得 联立式、，解得 ，故 ，又 ，从而点(9，3)是 z(x，y)的极小值点，极小值为 z(9，3)=3 类似地，由 可知 ，又 设函数 （分数：10.00）(1).求 f(t)的初等函数表达式；（分数：5.00）_正确答案：()解析：如下图所示将积分区域划分如下： D + =D(x，y)|xy-t0， D - =D(x，y)|xy-t0 (2).证明存在 t 0 (0，1)，使得 f(t 0 )是 f(t)在0，1内的唯一最小值点（分数：5.00）_正确答案：()解析： 由驻点方程 f“(t)=0，难以
18、求出驻点的值，但可以通过分析函数 f(t)在区间(0，1内的性质，断言：f(t)在区间(0，1)内有唯一驻点，这一点就是 f(t)在区间0，1上的最小点因为 f“(t)=-2lnt0，t(0，1)，函数在区间(0，1)内是下凸的 又 且 ，f“(1)-10 补充定义 设 y=y(x)在(-，+)内二阶可导，且 y“(x)0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：10.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 ，所以 ，等式两边对 x 求导，得 故 (2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0， （分数：5.00）_正确答案：(
19、)解析：现在变为初值问题 对应的齐次方程 y“-y=0 的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e -x 设方程 y“-y=sinx 的特解为 Y=Acosx+Bsinx， 代入得 A=0， ，故 ，从而 y“-y=sinx 的通解为 由 y(0)=0， ，得 C 1 =1，C 2 =-1，故所求初值问题的解为 若有数列x n 由如下条件确定，x 1 =1，x n+1 =sin(arctanx n )，n=1，2，（分数：10.00）(1).证明数列x n 收敛，并求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：首先证明，x n 单调递减趋于零 由 x 1 =1，及 0x n+1 =sin(a
20、rctanx n )arctanx n x n ，得x n 是单调递减，且 x n 0，1，则x n 单调递减有下界 从而其极限存在，设 ，则由 ，得方程 a=sin(arctana)， a0，1， 显然 a=0，即 (2).求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：思路一： 当 t0 时， ， 思路二：令 u n =arctanx n ，则 x n =tanu n ，因此 16.计算第二类曲面积分 其中 S 为 介于 z=0 和 z=1 之间的部分，S 的正法向与 z 轴正向夹角小于 （分数：10.00）_正确答案：()解析：要利用高斯公式，先补平面 ，其正法线向量为-k 其中 所以
21、设 n 阶矩阵 A 的元素 a ij ，i，j=1，2，n，A ij 是 a ij 的代数余子式（分数：11.00）(1).若 ，求 （分数：5.50）_正确答案：()解析：思路一： ，求得 A * 即可求得 A 的全部代数余子式之和，由 ，得|A|=1，则 故 思路二： 故 (2).已知|A|=3，a 11 =2， （分数：5.50）_正确答案：()解析： 则有 设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，且|A|0（分数：11.00）(1).证明存在 3 维向量 0 ，使得 （分数：5.50）_正确答案：()解析： ，故 A 有奇数个特征值小于零，设 0 0，其对应的特征向量设为
22、 0 ，则有 A 0 = 0 0 ，两边左乘 ，则 ，其中 0 0， ，故得证存在 0 ，使得 (2).设 ，求 0 ，使得 （分数：5.50）_正确答案：()解析：思路一：先求 A 的特征值 得 0 =-40 当 0 =-4 时，由 ，且 解得 0 =(1，0，-1) T ，故存在 0 =(1，0，-1) T ，使得 思路二：由已知可得二次型为 观察可知，若取 x 2 =0，且 x 1 ，x 3 异号时，如取 0 =1，0，-1 T ，则必有 17.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：由 y=x 2 +1 及-1x1，得 0|x|1，0x 2 1，1x 2
23、 +12 所以 Y 的密度函数 f Y (y)取非零值的范围为1，2) 当 1y2 时，有 Y=X 2 +1 的分布函数为 则 Y 的密度函数为 在计算机上做大型科学计算，需对经运算后的十进制数 x j ，在其小数点后第 6 位作四舍五入，得到 x j 的近似值 y j ，则误差 j =x j -y j 在区间(-0.510 -5 ，0.510 -5 )内随机取值设随机变量 j 服从该区间上的均匀分布记经 n 次运算的累积误差为 （分数：11.01）(1).试求 1 + 2 的分布；（分数：3.67）_正确答案：()解析：依题知( 1 ， 2 )的分布密度函数为 则 利用几何概型来解： 设 D
24、=(x，y)|x|a，|y|a，其中 a=0.510 -5 当-2az0 时，所求概率为(x，y)点落在下图中有竖条阴影三角形区域上的概率为 当 0z2a 时，则所求概率为(x，y)点落在上图中五边形上的概率，故 (2).利用切比雪夫不等式估计，当 n=10000 时给出| n |不超过 0.0005 的概率的下界；（分数：3.67）_正确答案：()解析：注意 E( n )=0，由切比雪夫不等式，得 则 (3).利用中心极限定理，当 n=10000 时以 99.7%以上的把握给出| n |的近似估计(估计上界) 注：(x)为标准正态分布，已知 (3)=0.99874（分数：3.67）_正确答案：()解析： j (j=1，2，)独立同分布于 U(-0.510 -5 ，0.510 -5 )，故 由中心极限定理(林德伯格-勒维定理)，当 n 足够大时 若取 k=3则此概率近似为 (3)=0.9987，有 ， 当 n=10000 时，即有 99.74%以上的把握断言
