1、考研数学一-253 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)连续，在 x 0 可导，且 （分数：4.00）A.函数 f(x)-x2 在(x0，x0+)内单调增加B.函数 f(x)-x2 在(x0-，x0)内单调减少C.对任意的 x(x0，x0+)有 f(x)x2D.对任意的 x(x0-，x0)有 f(x)x22.假设区域 D 由曲线 y=px 3 (x0，p0)及其过点(1，p)的切线与 x 轴围成，设此区域的形心为 ，则 的值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.方程 e -x -x 2 +2x
2、-1=0_（分数：4.00）A.恰有一个根B.恰有两个根C.恰有三个根D.多于三个根4.将函数 分别展成余弦级数 和正弦级数 ，则当 n时， Aa n 是 的高阶无穷小，b n 是无穷小 Ba n 是 的高阶无穷小，b n 是 的高阶无穷小 Cb n 是 的高阶无穷小，a n 是无穷小 Db n 是 的高阶无穷小，a n 是 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 （分数：4.00）A.a=-1 时，必有 r(B)=1B.a=-1 时，必有 r(B)=2C.a=1 时，必有 r(B)=1D.a=1 时，必有 r(B)=26.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，其中 i 是 n 维列
3、向量(i=1，2，3，4)已知齐次线性方程组Ax=0 的基础解系为 1 =(-2，0，1，0) T ， 2 =(1，0，0，1) T ，则_（分数：4.00）A.1，2 线性无关B.1，3 线性无关C.1，4 线性无关D.3，4 线性无关7.设 P(A)0，P(B)0，且 A 与 B 二事件互斥，则_ AP(B)=P(B|A) B C （分数：4.00）A.B.C.D.8.连续随机变量 X 服从参数 =1 的指数分布，离散随机变量 Y 的取值为 y 1 =-1，y 2 =0，y 3 =1，其分布为 ，i=1，2，3若 Z=maxX，Y，则 PZ=1=_ A B C （分数：4.00）A.B.C
4、.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.P 是曲面 S：z=2x 2 +y 2 上的一点S 过 P 点的切平面与平面 ：4x+2y+z=0 平行，则该切平面与平面 之间的距离 d= 1 （分数：4.00）10.设 z=z(x，y)由方程 xf(z)+yg(z)=xy 所确定，且 xf“(z)+yg“(z)0，则 （分数：4.00）11.设区域 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且 f(0)=A0， ，若当 n+， 是比 （分数：4.00）12.定积分 （分数：4.00）13.若二次型 （分数：4.00）14.设总
5、体 X 二阶矩存在，X 1 ，X 2 ，X n 是其简单样本，样本均值和方差分别为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 （分数：10.00）_16.计算二重积分 ，区域 D 由曲线 （分数：10.00）_17.求幂级数 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)具有一阶连续导数，且 f(1)=2，f(0)=0，计算曲线积分 I= L f(y)e x -eydx+f“(y)e x -edy， 其中 L 是从 A(0，0)到 B(1，1)的一条光滑曲线，它与线段 AB 不相交，且 L 与线段 AB 所围区域 D 面积的代数和为 （分数：10.00）_设 f(
6、x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在 (a，b)，使得 f“()0证明：（分数：10.00）(1).若 f“()=0，则存在 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，使得 f(x 1 )=f(x 2 )；（分数：5.00）_(2).若 f“()0，则存在 1 2 ，其中 1 ， 2 (a，b)，使得 （分数：5.00）_已知 A 是 24 阶矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系是 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，3) T ， 又知齐次线性方程组 Bx=0 的基础解系是 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，a) T ，（分
7、数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：5.50）_设 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 是线性方程组(A-E)X=0 的两个解（分数：11.00）(1).求 A 的特征值与特征向量；（分数：5.50）_(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A（分数：5.50）_19.有两个独立的同类设备，它们的寿命 X 和 Y 都服从参数为 0 的指数分布今用这两个设备分别组成串联、并联及备用(即当一个
8、运行的设备不能工作时系统立即自动启动另一备用设备)三个系统试求各种系统的寿命分布 （分数：11.00）_设总体 X 的分布函数为 （分数：11.00）(1).求 和 的最大似然估计量 （分数：5.50）_(2).若 已知，上述 （分数：5.50）_考研数学一-253 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)连续，在 x 0 可导，且 （分数：4.00）A.函数 f(x)-x2 在(x0，x0+)内单调增加B.函数 f(x)-x2 在(x0-，x0)内单调减少C.对任意的 x(x0，x0+)有 f(x)x2 D.对任意的
9、x(x0-，x0)有 f(x)x2解析：解析 令 g(x)=f(x)-x 2 ，由已知得 g(x 0 )=0，g“(x 0 )0， 由极限的保号性，知存在 0，对 2.假设区域 D 由曲线 y=px 3 (x0，p0)及其过点(1，p)的切线与 x 轴围成，设此区域的形心为 ，则 的值为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 y“| x=1 =3px 2 | x=1 =3p，切线为 y=p+3p(x-1) 切线与 x 轴交点为 ，切线与 y 轴交点为(0，-2p)； 切线与曲线交点为(1，p)，如下图因为 由形心坐标公式得 3.方程 e -x -x 2 +2x-1=
10、0_（分数：4.00）A.恰有一个根B.恰有两个根C.恰有三个根 D.多于三个根解析：解析 令 y(x)=e -x +x 2 +2x-1 因为 y“(x)=-e -x 0，因此最多有三个根 由于 y(0)=1-1=0，所以 x=0 是其一根 由于 y“(x)=-e -x -2x+2，y“(0)=-1+2=10，且 y(0)=0，所以存在 0，使 得 y(-)0，y()0 又由 ，所以 y(x)在区间(-，-)内至少有一根 由 4.将函数 分别展成余弦级数 和正弦级数 ，则当 n时， Aa n 是 的高阶无穷小，b n 是无穷小 Ba n 是 的高阶无穷小，b n 是 的高阶无穷小 Cb n 是
11、 的高阶无穷小，a n 是无穷小 Db n 是 的高阶无穷小，a n 是 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 5.已知 （分数：4.00）A.a=-1 时，必有 r(B)=1B.a=-1 时，必有 r(B)=2C.a=1 时，必有 r(B)=1 D.a=1 时，必有 r(B)=2解析：解析 当 a=-1 时，r(A)=1，再由 AB=0，得 r(A)+r(B)3可见当 a=-1 时，秩 r(B)有可能为 1也可能为 2，故选项 A、B 不正确 当 a=1 时，r(A)=2，由 AB=0，得 r(A)+r(B)3 6.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，其中 i 是 n 维列
12、向量(i=1，2，3，4)已知齐次线性方程组Ax=0 的基础解系为 1 =(-2，0，1，0) T ， 2 =(1，0，0，1) T ，则_（分数：4.00）A.1，2 线性无关 B.1，3 线性无关C.1，4 线性无关D.3，4 线性无关解析：解析 因为 Ax=0 的基础解系为 1 =(-2，0，1，0) T ， 2 =(1，0，0，1) T ，可知 r(A)=2，则 A 有两个线性无关的列向量，将 1 ， 2 分别代入方程 Ax=0 得 -2 1 + 3 =0， 1 + 4 =0 则 7.设 P(A)0，P(B)0，且 A 与 B 二事件互斥，则_ AP(B)=P(B|A) B C （分数
13、：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 P(B)=P(B|A)得 因为 A 与 B 事件互斥，故 P(AB)=0，又 P(AB)=0，又 P(A)0，P(B)0，故上式不成立，选项 A 错误； 由上面分析知 A 与 B 不独立，故 A， 也不独立，即 ，选项 B 错误；由 得 8.连续随机变量 X 服从参数 =1 的指数分布，离散随机变量 Y 的取值为 y 1 =-1，y 2 =0，y 3 =1，其分布为 ，i=1，2，3若 Z=maxX，Y，则 PZ=1=_ A B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 思路一：先求 Z=maxX，Y)的分布函数 由题设知 设 Z=max
14、X，Y)的分布函数为 F Z (z)，则 由于 所以 思路二：直接求 PZ=1=PZ1-PZ1 所以， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.P 是曲面 S：z=2x 2 +y 2 上的一点S 过 P 点的切平面与平面 ：4x+2y+z=0 平行，则该切平面与平面 之间的距离 d= 1 （分数：4.00）解析： 解析 利用点到平面的距离公式盲接求 d 曲面 S：z=2x 2 +y 2 在点 P(x，y，z)的法向量为 n=(4x，2y，-1)，而平面 的法向量是 n 1 =(4，2，1)若在 P 点 S 的切平面与平面 平行，则有 n1n，即 ，得切点 P 的坐标(-1，-1，3)，得
15、切平面与平面 之间的距离 10.设 z=z(x，y)由方程 xf(z)+yg(z)=xy 所确定，且 xf“(z)+yg“(z)0，则 （分数：4.00）解析：0 解析 设 F(x，y，z)=xf(z)+yg(z)-xy，则 故 11.设区域 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且 f(0)=A0， ，若当 n+， 是比 （分数：4.00）解析：1 解析 因为 ，函数 f( 2 )在 0 的某邻域内连续，所以根据变限定积分函数的性质，可知 F(t)在 t=0 的某邻域内可导F“(t)=2tf(t 2 )，所以 因为 所以 又
16、从而 12.定积分 （分数：4.00）解析： 解析 思路一：令 x=tant，则 思路二： 13.若二次型 （分数：4.00）解析：-1t1 解析 二次型 f 的矩阵 因为 f 正定 A 的顺序主子式全大于零 又 14.设总体 X 二阶矩存在，X 1 ，X 2 ，X n 是其简单样本，样本均值和方差分别为 （分数：4.00）解析： 解析 ，期望为零，与 无关，因此考虑方差 由矩估计方程 D(X)=S 2 ，得 ，解得 的矩估计量为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：显然有 f(0)=0 当 x0 时， 综上，得 f(x)=xsin
17、x，x(-，+)，则 16.计算二重积分 ，区域 D 由曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：区域 D 的图形如下图所示，单位圆 x 2 +y 2 =1 将区域 D 分成两部分，单位圆 x 2 +y 2 =1 内的部分记作 D 1 ，单位圆外的部分记作 D 2 则 其中 故 17.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 ，因为 可知幂级数的收敛半径 R=1 又当 x=1 时， ，由莱布尼茨判别准则知此级数收敛，故幂级数 的收敛域为-1，1 设 ，则转化为求 逐项求导得 又 S 1 (0)=0，则 故 S(x)=xS 1 (x)=xarctanx，即 18.设函数 f(
18、x)具有一阶连续导数，且 f(1)=2，f(0)=0，计算曲线积分 I= L f(y)e x -eydx+f“(y)e x -edy， 其中 L 是从 A(0，0)到 B(1，1)的一条光滑曲线，它与线段 AB 不相交，且 L 与线段 AB 所围区域 D 面积的代数和为 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 由于不能确定 L 是在线段 的上方还是下方，所以区域 D 的边界线的方向不能确定，利用格林公式将上式第一个积分化为 ，则 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在 (a，b)，使得 f“()0证明：（分数：10.00）(1).若 f“()=0，则存在 x 1 ，x
19、2 (a，b)且 x 1 x 2 ，使得 f(x 1 )=f(x 2 )；（分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 f“()0，f“()=0，故 是 f 的极小值点 f 在a，上有最大值 f(t 1 )同样 f 在，b上也存在最大值 f(t 2 ) 不妨设 f(t 1 )f(t 2 )，由连续函数的介值定理可得，存在 x 0 ，b，使得 f(x 0 )=f(t 1 ) 即有 x 1 =t 1 ，x 2 =x 0 使得 f(x 1 )=f(x 2 )(2).若 f“()0，则存在 1 2 ，其中 1 ， 2 (a，b)，使得 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由 f“()0，令 g(x
20、)=f(x)-f“()x，则 g“()=f“()-f“()=0 于是 g(x)符合()的条件，则存在 1 ， 2 (a，b)满足 1 2 ，使得 g( 1 )=g( 2 )，即 将 g(x)=f(x)-f“()x 代入上式后得到 即 已知 A 是 24 阶矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系是 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，3) T ， 又知齐次线性方程组 Bx=0 的基础解系是 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，a) T ，（分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：()解析：记 C=( 1 ， 2 )，由 AC
21、=A( 1 ， 2 )=0 知 C T A T =0，那么矩阵 A T 的列向量(即矩阵 A的行向量)是齐次方程组 C T x=0 的解，对 C T 作初等变换，有 得到 C T x=0 的基础解系为 1 =(3，-1，1，0) T ， 2 =(-5，1，0，1) T ，所以矩阵 (2).如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：5.50）_正确答案：()解析：设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为 ，则 既可由 1 ， 2 线性表出，也可由 1 ， 2 线性表出，故可设 =x 1 1 +x 2 2 =-x 3 1 -x 4 2
22、， 于是 x 1 1 +x 2 2 +x 3 1 +x 4 2 =0， 对( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )作初等行变换，有 0 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 不全为 0 r( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )设 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 是线性方程组(A-E)X=0 的两个解（分数：11.00）(1).求 A 的特征值与特征向量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：依题 (A-E)X=0 (2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A（分数：5.50）_正确答案：()解析：因为 1 ，
23、 2 不正交，故需正交化， 1 = 1 =(-1，2，-1) T ， 单位化，得 那么令 得 19.有两个独立的同类设备，它们的寿命 X 和 Y 都服从参数为 0 的指数分布今用这两个设备分别组成串联、并联及备用(即当一个运行的设备不能工作时系统立即自动启动另一备用设备)三个系统试求各种系统的寿命分布 （分数：11.00）_正确答案：()解析：两个设备的寿命 X，Y 都服从参数为 0 的指数分布，即 设系统寿命为 U，则 串联系统 U=minX，Y F(u)=Pmin(X，Y)u=1-Pmin(X，Y)u =1-PXu，Yu=1-P(Xu) 2 =1-1-P(Xu) 2 =1-1-F u (u
24、) 2 =1-e -2u ， u0 故 f U (u)=F“(u)=2e -2u ，u0 并联系统 U=maxX，Y F(u)=Pmax(X，Y)u)=P(Xu，Yu) =P(Xu) 2 =F u (u) 2 =(1-e -u ) 2 ， u0， 故 f U (u)=F“(u)=2e -u (1-e -u )，u0 备用系统 U=X+Y 设总体 X 的分布函数为 （分数：11.00）(1).求 和 的最大似然估计量 （分数：5.50）_正确答案：()解析：X 的概率密度函数为 记 x=(x 1 ，x 2 ，x n )，则似然函数为 因为 ，所以对每个固定的 0，lnL(x，)是 (0)的增函数，因此，当 =x (1) =minx 1 ，x 2 ，x n 时，函数 lnL(x，)为最大则 的最大似然估计量为 又由 ，即 ，解得 的最大似然估计量为 (2).若 已知，上述 （分数：5.50）_正确答案：()解析：由最小值的密度公式 则 注：0，上述 不是 的无偏估计，而
