1、考研数学一-251 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 _ A等于 B等于 （分数：4.00）A.B.C.D.2.方程 x 2 =xsinx+cosx 的实根个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.43.定积分 的值为_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.4.若常数 p，q，r，满足 pqr，且使得广义积分 （分数：4.00）A.p+q1B.q+r1C.p+q1，q+r1D.p1，r15.设向量组 1 =1，0，2，1， 2 =1，2，0，1， 3 =2，5，-1，4， 4 =2，1，3，2，则向量组的极
2、大无关组的个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.46.设 A 是三阶不可逆矩阵，已知 Ax= 有通解 ，Ax= 有通解 ，则 A 相似于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 的概率密度函数为 ，则 a=_ A1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 XN(0，3 2 )，YN(1，2 2 )，若 P(Xa)=P(Y3)，则 a=_（分数：4.00）A.-3B.-2C.2D.0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)是由参数方程 所确定的函数，则 （分数：4.00）10.己知 f(1)=1， （分数：4.00）1
3、1.若 f(x)=(x+1) 2 sinx，则 f (100) (0)= 1 （分数：4.00）12.设 max(a，b，c)表示 a，b，c 中最大的数，则积分 （分数：4.00）13.设 n 阶行列式 ，则 （分数：4.00）14.设随机变量 X 服从区间(0，1)上的均匀分布，随机变量 Y=X 2 ，则随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY = 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 y(x)是由方程 x+y=xy+1 确定的隐函数，函数 g(x)在 x=0 点二阶可导，且 g“(0)=g“(0)=1若 （分数：10.00）_16.设 x 1 0， ，n
4、=1，2，分别就 a0，a=0 和 a0 三种情况讨论 （分数：10.00）_设 （分数：10.00）(1).收敛，并求其值； （分数：5.00）_(2).级数 （分数：5.00）_17.设函数 f(x)在0，1上连续、在(0，1)内可导，f(0)=0，当 x(0，1)时，f(x)0证明：对任意的正整数 m，n，存在 (0，1)，使得 （分数：10.00）_18.计算曲面积分 （分数：10.00）_19.设 A 是 n 阶矩阵，r(A)=n-r又 Ax=b 有 1 ， 2 ， r ， r+1 共 r+1 个线性无关解证明 Ax=b 的任一解均可由 1 ， 2 ， r ， r+1 线性表出 （分
5、数：11.00）_20.设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 经正交变换可化为 （分数：11.00）_设随机向量(X，Y)服从如下形式的离散分布 （分数：11.00）(1).问 a，b 取哪些值可使 X，Y 独立?（分数：5.50）_(2).问 a，b 取哪些值可使 X，Y 不相关（分数：5.50）_设总体 X 的概率密度函数为 ，x1，其中 (0)是未知参数设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自该总体的简单随机样本， （分数：11.00）(1).求 的矩估计量，并判断它是否为 的无偏估计，说明理由；（分数：5.50）_(2).求 E(S 2 )及 n 足够大时 X 的近似分布
6、（分数：5.50）_考研数学一-251 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 _ A等于 B等于 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 n=2m 时(m 为自然数)， 当 n=2m+1 时， 所以极限 2.方程 x 2 =xsinx+cosx 的实根个数是_（分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 设 f(x)=x 2 -xsinx-cosx，是偶函数，且有 ，f(0)=-10 又 f“(x)=2x-sinx-xcosx+sinx=x(2-cosx) 当 x(-，0)时， 3.定积分 的值为_ A B
7、 C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 t=x-1，则 注：上式计算中用到了定积分的几何意义， 为半径为 1 的半圆的面积，等于 4.若常数 p，q，r，满足 pqr，且使得广义积分 （分数：4.00）A.p+q1B.q+r1C.p+q1，q+r1D.p1，r1 解析：解析 设 ， minp，q，r=p，当 x0 + 时，由于 所以，当 minp，q，r=p1 时， 收敛 maxp，q，r=r，当 x+时，由于 所以，当 maxp，q，r=r1 时， 收敛 综上，当 minp，q，r)=p1，且 maxp，q，r)=r1 时， 5.设向量组 1 =1，0，2，1， 2 =1，
8、2，0，1， 3 =2，5，-1，4， 4 =2，1，3，2，则向量组的极大无关组的个数是_（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 将 1 ， 2 ， 3 ， 4 处理成列向量，设 ，并作初等行变换，化 A 为阶梯型矩阵 显然 线性相关而 均线性无关，故 均是 6.设 A 是三阶不可逆矩阵，已知 Ax= 有通解 ，Ax= 有通解 ，则 A 相似于_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 A 是三阶不可逆矩阵，则 Ax=0 有非零解，故 A 有特征值 1 =0 Ax= 有解 ，即 A=；Ax= 有解 ，即 A=，故 A(+)=+=+ A 有 2 =1(对
9、应的特征向量为 +)， A(-)=-=-(-) A 有 3 =-1(对应的特征向量为 -) 三阶矩阵有三个不同的特征值，故 7.设随机变量 X 的概率密度函数为 ，则 a=_ A1 B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 密度函数必须满足 ，即 所以 8.设 XN(0，3 2 )，YN(1，2 2 )，若 P(Xa)=P(Y3)，则 a=_（分数：4.00）A.-3 B.-2C.2D.0解析：解析 为了便于概率比较，将 X 与 Y 统一转换为标准正态分布，即 ， N(0，1)，则 ， 所以 a=-3其中 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)是由参数
10、方程 所确定的函数，则 （分数：4.00）解析：- 2 解析 由参数方程 得 10.己知 f(1)=1， （分数：4.00）解析： 解析 由 y=f(e x2 )得 所以 则 11.若 f(x)=(x+1) 2 sinx，则 f (100) (0)= 1 （分数：4.00）解析：-200 解析 记 u(x)=(x+1) 2 ，v(x)=sinx，则当 n2 时，由乘积函数的高阶导数公式得 12.设 max(a，b，c)表示 a，b，c 中最大的数，则积分 （分数：4.00）解析：解析 13.设 n 阶行列式 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 将 D n 按第 1 行展开 D n -D n-
11、1 =D n-1 -D n-2 ， n=3，4，n 故 D 1 ，D 2 ，D n 是等差数列 又 D 1 =2， ，则公差为 D 2 -D 1 =1，第 n 项 D n =n+1，则 14.设随机变量 X 服从区间(0，1)上的均匀分布，随机变量 Y=X 2 ，则随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY = 1 （分数：4.00）解析： 解析 下面分别计算上式中的期望和方差 随机变量 X 密度函数为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 y(x)是由方程 x+y=xy+1 确定的隐函数，函数 g(x)在 x=0 点二阶可导，且 g“(0)=g“(0)=1若 （分数：10.00）_
12、正确答案：()解析：首先，x+y=xy+1 1+y“=xy“+y y“=xy“+2y“所以 ， 从而有 y(0)=1，y“(0)=0，y“(0)=0 因 f(x)在 x=0 点连续，所以 16.设 x 1 0， ，n=1，2，分别就 a0，a=0 和 a0 三种情况讨论 （分数：10.00）_正确答案：()解析：如果 存在，设 则 ，得方程 ，即 A 2 =a可见，必须 a0， 此时，数列x n 必是正数列 设函数 则当 x0 时， 1+|1-a|可见，f(x)是有界的，所以数列x n 是有界的 下面仅需讨论其单调性，若是单调数列则其必收敛 再由微分中值定理得 首先考虑，当 0a1 时， ，相
13、邻两项之差是同号的 因此，当 x 2 x 1 时，x n 单调递增；当 x 2 x 1 时，x n 单调递减所以x n 都收敛 当 a=1 时，x n+1 -x n =0，这是常数数列，当然收敛 当 a1 时， ，相邻两项之差是异号的此时，可再运用一次中值定理 这说明数列x 2n-1 和x 2n 是单调的，因此它们都收敛 若设 和 ，它们分别由方程 确定，并且两个方程有相同的正根 由此可知 综上，当 a0 时， 不存在，当 a0 时， 设 （分数：10.00）(1).收敛，并求其值； （分数：5.00）_正确答案：()解析：首先，显然有 a n 0，n=1，2，由归纳法可证 a n 2，n=1
14、，2， 因为 假设 a k 2，则 ，故 a n 2 上面证明了有界性，下面再证明单调性 可见，a n+1 -a n 与 同号，所以a n 是单调递增的 由于a n 单调递增有上界，所以其极限存在设 ，则由 ，得 ，解之，得 A=2，即 (2).级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 ，由()知其为正项级数，又 或者 由比值判别法知， 17.设函数 f(x)在0，1上连续、在(0，1)内可导，f(0)=0，当 x(0，1)时，f(x)0证明：对任意的正整数 m，n，存在 (0，1)，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 要证 设函数 g(x)=lnf n (x)f m
15、 (1-x)，由于 f(0)=0，g(x)在 x=0，x=1 处无定义，不满足罗尔定理条件可转而考虑函数 F(x)=f n (x)f m (1-x)由于 F(0)=F(1)=0，它满足罗尔定理条件 所以， ，使得 ，即 nf n-1 ()f“()f m (1-)-mf m-1 (1-)f“(1-)f n ()=0， 18.计算曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 解法一：利用高斯公式补两个平面区域 取上则； 取下侧 这样，S，S 1 ，S 2 围成了一个外法向为正的封闭区域 ，易知 I 在平面 S 1 ，S 2 上值为零，则 解法二：直接计算曲面积分S：x 2 +y 2 -R
16、2 =0，下侧，n=(x，y，0)，-RzR 解法三：直接计算曲面积分S：x 2 +y 2 -R 2 =0，下侧，n=(x，y，0)，-RzR 对第一型曲面积分，考虑到 S 与被积函数相应的对称性，则有 19.设 A 是 n 阶矩阵，r(A)=n-r又 Ax=b 有 1 ， 2 ， r ， r+1 共 r+1 个线性无关解证明 Ax=b 的任一解均可由 1 ， 2 ， r ， r+1 线性表出 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 由解的性质知， r+1 - 1 ， r+1 - 2 ， r+1 - r 是对应齐次方程 Ax=0 的r 个解 令 k 1 ( r+1 - 1 )+k 2
17、( r+1 - 2 )+k r ( r+1 - r )=0，即 (k 1 +k 2 +k r ) r+1 -(k 1 1 +k 2 2 +k r r )=0 因 1 ， 2 ， r ， r+1 线性无关，得 k 1 =k 2 =k r =0，故知 r+1 - 1 ， r+1 - 2 ， r+1 - r ，是 Ax=0 的 r 个线性无关解，又因 r(A)=n-r，故知是 Ax=0 的基础解系，从而Ax=b 的通解是 l 1 ( r+1 - 1 )+l 2 ( r+1 - 2 )+l r ( r+1 - r )+ r+1 =-l 1 1 -l 2 2 -l r r +(l 1 +l 2 +l r
18、 ) r+1 即 Ax=b 的任一解均可由 1 ， 2 ， r ， r+1 线性表出20.设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 经正交变换可化为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：f 在正交变换下的标准形的系数是 f 对应矩阵的特征值，即 A 有特征值 1 =2， 2 = 3 =-1，从而知 A * 有特征值 ： 1 =1， 2 - 3 =-2， 是 A * 的对应于 1 =1 的特征向量A 是对称阵A * 也是对称阵故 2 = 3 =-2 对应的特征向量与 正交， 也是 A 对应于 1 =2 的特征向量A 对应于 2 = 3 =-1 的特征向量正交，设 X=(x 1
19、，x 2 ，x 3 ) T ，则有 T X=x 1 +x 2 -x 3 =0，解得 A 对应于 2 = 3 =-1 的特征向量为 X 1 =1，-1，0 T ，X 2 =1，0，1 T ， 令 ，则 设随机向量(X，Y)服从如下形式的离散分布 （分数：11.00）(1).问 a，b 取哪些值可使 X，Y 独立?（分数：5.50）_正确答案：()解析：首先 因此，X，Y 独立当且仅当如下概率关系成立 P(X=1，Y=1)=P(X=1)P(Y=1)，P(X=1，Y=2)=P(X=1)P(Y=2)，即 当且仅当 (2).问 a，b 取哪些值可使 X，Y 不相关（分数：5.50）_正确答案：()解析：
20、 X，Y 不相关等价为 E(XY)=E(X)E(Y)，即 当且仅当 设总体 X 的概率密度函数为 ，x1，其中 (0)是未知参数设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自该总体的简单随机样本， （分数：11.00）(1).求 的矩估计量，并判断它是否为 的无偏估计，说明理由；（分数：5.50）_正确答案：()解析：先计算 X 的期望 (其中积分的第一步进行了变量代换 t=x-1) 令 ，解得 的矩估计量为 因为 ，所以 (2).求 E(S 2 )及 n 足够大时 X 的近似分布（分数：5.50）_正确答案：()解析：由 X 的概率密度函数易知，X-1 服从参数为 的指数分布，所以总体方差 D(X)=D(X-1)= 2 ，S 2 是总体方差的无偏估计，从而 E(S 2 )=D(X)= 2 ， 由中心极限定理，当 n 充分大时， 近似服从如下正态分布
