1、考研数学一-250 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是 3 阶矩阵，则对任何 （分数：4.00）A.B.C.D.2.在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次设事件 A=“中靶两次”，B=“最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p，0p1，则（分数：4.00）A.AB 与 C 独立B.BC 与 A 独立C.AC 与 B 独立D.A，B，C 相互独立3.设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题 若 r（分数：4.00）A.=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解； 若 r
2、(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解； 若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解； 若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是(A) B.C.D.4.下列反常积分（分数：4.00）A.B.C.D.5.定积分 的值等于（分数：4.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X 取任何实数 a 的概率都是 0，F(x)是 x 的分布函数，则（分数：4.00）_7.设 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)(x0，+)为非负连续函数，且满足 （分数：4.00）填空项
3、1:_10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，且 f(x)的傅里叶级数为 （分数：4.00）填空项 1:_11.曲线 在点 P （分数：4.00）填空项 1:_12.设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面 S，都有（分数：4.00）填空项 1:_13.设向量组 1=(1，-1，0) T， 2=(4，2，a+2) T， 3=(2，4，3) T， 4=(1，a，1) T中任何两个向量都可由向量组中另外两个向量线性表出，则 a=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设(X,Y)N(0，1；4，9；0)，则 PXY-1=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94
4、.00)15.求数列极限 （分数：11.00）_16.设 xOy 平面第一象限中有曲线 :y=y(x)，过点 又 M(x，y)为 上任意一点，满足：弧段的长度与点 M 处 的切线在 x 轴上的截距之差为()导出 y=y(x)满足的微分方程和初始条件；()求曲线 （分数：11.00）_17.求空间曲线积分 （分数：11.00）_18.设 :x=x(t)，y=y(t)(t)是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)y(t)在,有连续的导数且 x2(t)+y2(t)0， 的端点为 A，Bf(x，y)在 D 内有连续的偏导数，且 f(A)=f(B)求证：()存在 t0(，)，相应地有 P0(x0，y 0)
5、， ,x0=x(t0)y 0=y(t0)，使得()f(x，y)在点 P0处沿 （分数：11.00）_19.设 1ab，函数 f(x)=xln2x，求证：以 f(x)满足不等式()0f“(x)2(x1)；() （分数：11.00）_20.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1=- 1-3 2-3 3，A 2=4 1+4 2+ 3， A 3=-2 1+3 3()求矩阵 A 的特征值；()求矩阵 A 的特征向量；()求矩阵 A*-6E 的秩（分数：11.00）_21.设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A2=E，且秩 r(A+E)=kn()求二次型 xTAx
6、的规范形；()证明 B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列式|B|的值（分数：11.00）_22.设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i，y i)(i，j=1,2)，且 试求：()二维随机变量(X，Y)的联合概率分布；()X 与 Y 的相关系数 XY；()条件概率 PY=yj|X=x1，j=1，2（分数：11.00）_23.设二维随机变量(X，Y)的密度函数为（分数：6.00）_考研数学一-250 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是 3 阶矩阵，则对任何 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析
7、设 A=(aij)，因为*是 11 矩阵(记为 f(x1，x 2，x 3)，所以f(x1，x 2，x 3)=xTAx=(xTAx)T=xTATx如果 AT=-A，则有 xTAx=-xTAx，即 2xTAx=0，从而 xTAx=0，充分性成立当 e1=(1，0，0) T时，由*得到 f(1，0，0)=a 11=0类似可知 a 22=0， a 33=0当 e12=(1，1，0) T时，由*得到f(1，1，0)=a 12+a21=0， 即 a 12=-a21类似有 a13=-a31， a 23=-a32所以 a ii=0， a ij=-aij,即 AT=-A，必要性成立所以选(B)关于条件(C)，它
8、是充分条件，并非必要条件由 AT=-A 得|A|=|A T|=|-A|=(-1)3|A|，知|A|=0，所以(A)是必要条件，但不是充分条件条件(D)既不充分也不必要评注 *2.在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次设事件 A=“中靶两次”，B=“最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p，0p1，则（分数：4.00）A.AB 与 C 独立 B.BC 与 A 独立C.AC 与 B 独立D.A，B，C 相互独立解析：分析 依题意 A 与 B 为对立事件，因此*而不可能事件与任何事件都独立，应选(A)若进一步分析，P(ABC)=0，而 P(BC)，P
9、(A)，P(AC)，P(B)，P(C)均不为 0，因此选项(B)、(C)、(D)均不成立3.设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题 若 r（分数：4.00）A.=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解； 若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解； 若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解； 若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是(A) B. C.D.解析：分析 因为 A 是 mn 矩阵，若 r(A)=m，说明 A 的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关所以必有*从而*，故线性方程组 Ax=b 必有解，正确下面只需判断或正确即可若 r(
10、A)=n，说明 A 的列向量组线性无关，亦即 Ax=0 只有零解，所以正确，故应选(B)当 r(A)=m 时，必有 nm如果 m=n，则 Ax=0 只有零解，而 mn 时，Ax=0 必有非零解，所以不正确当 r(A)=n 时，*有可能是 n+1，方程组 Ax=b 可以无解所以不正确，你能举例说明吗?4.下列反常积分（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 这 4 个反常积分中有两个收敛，两个发散方法 1 找出其中两个收敛的*因此选(B)方法 2 找出其中两个发散的*因为，发散，余下，收敛，故选(B)5.定积分 的值等于（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析一 令*于是*故应选(D
11、)分析二 *故应选(D)评注 *6.设随机变量 X 取任何实数 a 的概率都是 0，F(x)是 x 的分布函数，则（分数：4.00）_解析：分析 任何随机变量 X 的分布函数 F(x)都是右连续的，且对任何实数 a，一定有 PX=a=F(a)-F(a-0)如果 PX=a7.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 求导数分析其单调性由于*即*又*的增减性如图，*因此 f(x)在0，+)有最大值*，无最小值故应选(C)8.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析一 本题主要考查分段函数在分界点处具有高阶导数时应满足的条件为了处理更一般的问题，我们考虑分段函数*其中 f1(x)
12、和 f2(x)分别在较大的区间(x 0-，+)和(-，x 0+)(0 是一个常数)中具有任意阶导数，则 f(x)在分界点 x=x0具有 k 阶导数的充分必要条件是 f1(x)和 f2(x)有相同的泰勒公式：f1(x)=f2(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ak(x-x0)k+o(x-x0)k)注意，在 f(x)的定义中，分界点 x0也可以属于 f1(x)所在区间，结论是完全一样的把上述一般结论用于本题，取x0=0，k=2，f 1(x)=ax2+bx+c，f 2(x)=cos2x+2sinx，因*所以 a，b，c 应分别是 a=-2，b=2，c=1，这表明结论(A)正确分析二
13、首先要求 f(x)在 x=0 连续，即要求*得 c=1这表明(C)，(D)不正确当 c=1 时，f(x)可写成*其次要求 f(0)*，即 f-(0)=f+(0)，当 c=1 时即*即 b=2于是(B)不正确因此只能是(A)正确*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)(x0，+)为非负连续函数，且满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 注意*于是原方程改写成*先求*由*积分得*再由 (0)=0 得*最后得*10.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，且 f(x)的傅里叶级数为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 这是求傅
14、里叶系数的问题若 f(x)以 21 为周期，按公式*取 1=1，得*11.曲线 在点 P （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*或*）解析：分析一 易写出题设*的参数方程x=cost， y=sint， z=2-cost+sint点 P 在*上，对应*在 P 点的切向量*在 P 点切线方程是*分析二 曲线*作为两曲面的交线，在 P 点的切向量=grad(x 2+y2-1)grad(x-y+z-2)|P*其余同前分析三 若用交面式表示切线，由 x2+y2=1 在 P 点的法向量*求得该柱面在 P 点的切平面方程为*即*在 P 点的切线方程是*12.设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭
15、曲面 S，都有（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 由于所给曲面积分的被积函数具有连续偏导数，由高斯公式可得*其中 为 S 所围成的空间区域，当 S 取外侧面时，上述三重积分前取“+”号；当 S 取内侧面时，上述三重积分前取“-”号由于曲面 S 任意，因此空间区域 也为任意，根据“若 f(x，y，z)为连续函数，且对任意的空间区域 都有*则 f(x，y，z)=0”可知*因 x0，则 f(x)=113.设向量组 1=(1，-1，0) T， 2=(4，2，a+2) T， 3=(2，4，3) T， 4=(1，a，1) T中任何两个向量都可由向量组中另外两个向量线性表出，则 a
16、=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 任何两个向量都可以由另两个向量线性表出，说明任两个向量都是这个向量组的极大线性无关组由于*可见 a=1 时，秩 r( 1， 2， 3， 4)=2，且 1， 2， 3， 4中任何两个向量的坐标均不成比例，故任何两个向量都是向量组的极大线性无关组14.设(X,Y)N(0，1；4，9；0)，则 PXY-1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 依题设 X-Y-N(-1，13)，X-1+1N(0，13)，故*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求数列极限 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求
17、解 直接计算不易实现，先作恒等变形即分部积分，有*现不必求出*只需对它用适当放大缩小法，利用*即知*又*于是*因此*)解析：16.设 xOy 平面第一象限中有曲线 :y=y(x)，过点 又 M(x，y)为 上任意一点，满足：弧段的长度与点 M 处 的切线在 x 轴上的截距之差为()导出 y=y(x)满足的微分方程和初始条件；()求曲线 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()先求出*在点 M(x，y)处的切线方程Y-y(x)=y(x)(X-x)，其中(X，Y)是切线上点的坐标在切线方程中令 Y=0，得 x 轴上的截距*又弧段*的长度为*按题意得*这是积分、微分方程，两边对 x 求导，
18、就可转化为二阶微分方程：*又由条件及式中令 x=0 得*因此得初值问题*问题与是等价的()下面求解这是不显含 x 的二阶方程，作变换 p=y，并以 y 为自变量得*分离变量得*由*将上面两式相减*再积分得*其中*则就是所求曲线*的表达式*)解析：17.求空间曲线积分 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解一 L 的方程是*L 的参数方程是x=cost， y=1+sint， z=2+sint按 L 的定向 t 从 0 到 2，于是代公式得*其中*分析与求解二 L 是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分圆柱面所截平面 y=z-1 部分记为，按右手法则取上侧，用斯托克斯公
19、式，将曲线积分 J，化为上的第二类曲面积分，有*在 xy 平面的投影区域易求，即 D xy:x2+(y-1)21将此曲面积分 J 投影到 xy 平面化为二重积分，则*的方程为*分析与求解三 L 是母线平行于 z 轴的柱面与平面的交线，可投影到 xy 平面上，然后用格林公式由 L 的方程*L 在 xy 平面上的投影曲线记为*：x 2+(y-1)2=1，z=0，相应地也取逆时针方向，于是代入积分表达式得*其中 Dxy是*所围的圆域)解析：评注 *本题的分析与求解三就是用的这种方法.18.设 :x=x(t)，y=y(t)(t)是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)y(t)在,有连续的导数且 x2(t
20、)+y2(t)0， 的端点为 A，Bf(x，y)在 D 内有连续的偏导数，且 f(A)=f(B)求证：()存在 t0(，)，相应地有 P0(x0，y 0)， ,x0=x(t0)y 0=y(t0)，使得()f(x，y)在点 P0处沿 （分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 ()当(x，y)*时，f(x，y)变成 t 的一元函数 f(x(t)，y(t)，记为(t)由条件知，(t)在，有连续导数，不妨设 A，B 分别对应参数 t=，t=，于是 ()=f(A)，()=f(B)*()=()由罗尔定理*使得(t 0)=0 记 P0点对应的参数为 t0，即 P0为(x(t 0)，y(t 0)=(x0，
21、y 0)*(t)是二元函数 f(x，y)与一元函数 x=x(t)，y=y(t)的复合，由复合函数求导法得*其中 x=x(t)，y=y(t)于是，令 t=t0，由得*()注意曲线*在点 P0处的切向量是(x(t 0)，y(t 0)，单位切向量*因此，由式得*由*及方向导数的计算公式得*)解析：19.设 1ab，函数 f(x)=xln2x，求证：以 f(x)满足不等式()0f“(x)2(x1)；() （分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 ()由 f(x)=xln2x 求出*()方法 1 用泰勒公式在*处展开，有*分别取被展开点 x=a，b，得*其中*+得*因为*又因*方法 2 引进辅助函数
22、利用单调性证明不等式将 b 改为 x，分别考察辅助函数*与*其中 1axb由*特别有*由于*其中*又当 1ax 时 f“(x)2，于是，当 1ax 时*即 G(x)单调增加，从而 G(x)G(a)=0特别有 G(b)0，即*)解析：20.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1=- 1-3 2-3 3，A 2=4 1+4 2+ 3， A 3=-2 1+3 3()求矩阵 A 的特征值；()求矩阵 A 的特征向量；()求矩阵 A*-6E 的秩（分数：11.00）_正确答案：(解()据已知条件，有A( 1， 2， 3)=(- 1-3 2-3 3，4 1+4
23、2+ 3，-2 1+3 3)*记*及 P1=( 1， 2， 3)，那么由 1， 2， 3线性无关知矩阵 P1可逆，且*即 A 与 B 相似由矩阵 B 的特征多项式*得矩阵 B 的特征值是 1，2，3从而知矩阵 A 的特征值是 1，2，3()由(E-B)x=0 得基础解系 1=(1，1，1) T，即矩阵 B 属于特征值 =1 的特征向量，由(2E-B)x=0 得基础解系 2=(2，3，3) T，即矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，由(3E-B)x=0 得基础解系 3=(1，3，4) T，即矩阵 B 属于特征值 =3 的特征向量，那么令 P2=( 1， 2， 3)，则有*于是令*=( 1+
24、2+ 3，2 1+3 2+3 3， 1+3 2+4 3)，则有*所以矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的线性无关的特征向量依次为k1( 1+ 2+ 3)，k 2(2 1+3 2+3 3)，k3( 1+3 2+4 3)，k i0(i=1，2，3)() 由*知，*从而*所以秩*)解析：评注 本题综合强，知识点与方法多，考生需很好地思考与总结.例如在特征值的求法上既有用特征多项多，又有用相似矩阵有相同的特征值，还有相关联矩阵特征值之间的联系等方法；在求特征向量时既有齐次方程组( iE-A)x=0 的解，又有 P-1AP=*中，P 是 A 的特征向量.本题还涉及相似时可逆矩阵 P的求法以及相关联矩阵间
25、相似问题等等.21.设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A2=E，且秩 r(A+E)=kn()求二次型 xTAx 的规范形；()证明 B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列式|B|的值（分数：11.00）_正确答案：(解 ()设 为矩阵 A 的特征值，对应的特征向量为 ，即 A=，0，则A2= 2由于 A2=E，从而( 2-1)=0又因 0，故有 2-1=0，解得 =1 或 =-1因为 A 是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩 r(A+E)=k，于是*那么矩阵 A 的特征值为：1(k 个)，-1(n-k 个)故二次型*()因为 A2=E，故B=E+A+A2+A3+A4=3E+2A所以矩阵
26、B 的特征值是：5(k 个)，1(n-k 个)由于 B 的特征值全大于 0 且 B 是对称矩阵，因此 B 是正定矩阵，且|B|=5 k1n-k=5k)解析：22.设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i，y i)(i，j=1,2)，且 试求：()二维随机变量(X，Y)的联合概率分布；()X 与 Y 的相关系数 XY；()条件概率 PY=yj|X=x1，j=1，2（分数：11.00）_解析：23.设二维随机变量(X，Y)的密度函数为（分数：6.00）_正确答案：(*由于 f(x，y)=f X(x)fY(y)，(x，y)R 2，故 X，Y 相互独立()*所以*同理*由于 X，Y 相互独立，所以 U=X2和 V=Y2也相互独立，从而(U，V)的密度函数为*由此表明，(U，V)服从区域 Duv=(u，v)|0u1，0v1上的均匀分布()由()可知(设 D=(u，v)|u 2+v21，M0，v0)*)解析：
