1、考研数学一-248 及答案解析(总分：67.50，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1. （分数：1.00）2. （分数：1.00）3. （分数：1.00）4. （分数：1.00）5. （分数：4.00）6. （分数：4.00）二、选择题(总题数：8，分数：10.50)7. （分数：1.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)处处有定义，在 x=0 处可导，且 f“(0)=1，并对任何实数 x 和 h，恒有 f(x+h)=f(x)+f(h)+2hx，则 f“(x)等于（分数：1.00）A.2x+1B.x+1CxD.ex9. （分数：1.00）A.B.C.D.10
2、. （分数：1.00）A.B.C.D.11. （分数：1.00）A.B.C.D.12. （分数：1.00）A.B.C.D.13. （分数：4.00）A.B.C.D.14.积分上限函数 (axb)是一种由积分定义的新的函数，它的特征是自变量 x 为积分上限，F(x)与x 的对应法则由定积分给出下列对 F(x)的理解不正确的是 (A) 若函数 f(x)在a，b上连续，则 F(x)可导，且 F“(x)=f(x) (B) 若函数 f(x)存a，b上连续，则 F(x)就是 f(x)在a，b上的一个原函数 (C) 若函数 f(x)存a，b上(有界，且只有有限个第一类间断点)可积，则 F(x)在a，b上连续
3、，且可微 (D) 若积分上限是 x 的可微函数 g(x)，则 是 F(u)与 u=g(x)的复合函数，求导时必须使用复合函数求导法则，即 （分数：0.50）_三、解答题(总题数：9，分数：45.00)15. （分数：10.00）_16. （分数：1.00）_17._18. （分数：11.00）_19._20. （分数：1.00）_21.已知随机变量 X 的概率密度为 在 X=(x0)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求： ()随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y 是否独立，为什么? ()计算条件概率 与 （分数：11.00）_22.设某地区一年内
4、发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1 )和 P( 2 )，( 1 ， 2 0)，且 X 与 Y 相互独立 ()求在一年内共发生，n(n0)次地震的概率； ()已知一年内发生了 n 次地震的条件下，求有感次数 X 的条件概率分布 （分数：11.00）_23.若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即 A=kE，E 是 n 阶单位矩阵) _考研数学一-248 答案解析(总分：67.50，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1. （分数：1.00）解析：2. （分数：1.00）解析：3. （分数：1
5、.00）解析：14. （分数：1.00）解析：25. （分数：4.00）解析：6. （分数：4.00）解析： 二、选择题(总题数：8，分数：10.50)7. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：8.设函数 f(x)处处有定义，在 x=0 处可导，且 f“(0)=1，并对任何实数 x 和 h，恒有 f(x+h)=f(x)+f(h)+2hx，则 f“(x)等于（分数：1.00）A.2x+1 B.x+1CxD.ex解析：解析 取 x=0，则有 f(h)=f(0)+f(h)，故 f(0)=0又 9. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：10. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：11
6、. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析： 12. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：13. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：14.积分上限函数 (axb)是一种由积分定义的新的函数，它的特征是自变量 x 为积分上限，F(x)与x 的对应法则由定积分给出下列对 F(x)的理解不正确的是 (A) 若函数 f(x)在a，b上连续，则 F(x)可导，且 F“(x)=f(x) (B) 若函数 f(x)存a，b上连续，则 F(x)就是 f(x)在a，b上的一个原函数 (C) 若函数 f(x)存a，b上(有界，且只有有限个第一类间断点)可积，则 F(x)在a，b上连续，且可微 (D)
7、 若积分上限是 x 的可微函数 g(x)，则 是 F(u)与 u=g(x)的复合函数，求导时必须使用复合函数求导法则，即 （分数：0.50）_解析：三、解答题(总题数：9，分数：45.00)15. （分数：10.00）_正确答案：()解析：16. （分数：1.00）_正确答案：()解析： 17._正确答案：()解析： 18. （分数：11.00）_正确答案：()解析： 19._正确答案：()解析： 20. （分数：1.00）_正确答案：()解析：21.已知随机变量 X 的概率密度为 在 X=(x0)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求： ()随机变量 X 与 Y 的联合概
8、率密度 f(x，y)，X 与 Y 是否独立，为什么? ()计算条件概率 与 （分数：11.00）_正确答案：()解析：由题设知：在 X=x(x0)的条件下，Y 的条件密度为 根据乘法公式得 由于 ，故 X 与 Y 不独立 () 其中 所以 ()通过计算 Z=X-Y 的分布给出证明其方去有： 方法一(分布函数法)Z=X-Y 分布函数 当 z0 时，F z (z)=0， 当 z0 时， 综上得 由此可知 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布 方法二(公式法)已知(X，Y)f(x，y)，则 Z=X-Y 的概率密度 f z (z)= f(x+y+z).其中 由此可知：当 z0 时，f z (z)=0
9、； 当 z0 时， ，综上得 所以 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布 注 仿照上述方法可以求得 ZX+Y 的概率密度 f z (z) 方法一(分布函数法) Z=X+Y 的分布函数 由 f(x，y)非零定义域知：当 z0 时，F z (x)=0；当 z0 时， 综上得 方法二(公式法)已知(X，Y)f(x，y)，则 Z=X+Y 的概率密度 f z (z)= 其中 由此可知：当 z0 时，f z (z)=0； 当 z0 时， 综上得 22.设某地区一年内发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1 )和 P( 2 )，( 1 ， 2 0)，且 X 与 Y 相互独立
10、()求在一年内共发生，n(n0)次地震的概率； ()已知一年内发生了 n 次地震的条件下，求有感次数 X 的条件概率分布 （分数：11.00）_正确答案：()解析：题给 XP( 1 )，YP( 2 )，且 X，Y 相互独立 现要求 PX+Y=n的值 n=0，1，2， 实际上 XP( 1 )，YP( 2 )，且 X，Y 相互独立 则 X+YP( 1 + 2 ) ()当 0kn 时， 如果记 23.若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即 A=kE，E 是 n 阶单位矩阵) _正确答案：()解析：证明 因为任一个 n 维非零列向量均是 A 的特征向量，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，从而 A必与对角矩阵相似 现取 n 个单位向量 i =(0，0，1，0，0) T ，(i=1，2，n) 为 A 的特征向量，其特征值分别为 1 ， 2 ， n ，那么令 P=( 1 ， 2 ， n )=E，有 如果 1 2 ，则 A( 1 + 2 )= 1 1 + 2 2 因为每个 n 维向量都是 A 的特征向量，又应有 A( 1 + 2 )=( 1 + 2 )，于是 ( 1 -) 1 +( 2 -) 2 =0 由于 1 -， 2 - 不全为 0，与 1 ， 2 线性无关相矛盾，所以必有 1 = 2 同理可知 1 = 2 = n =k，故 A=kE
