1、考研数学一-247 及答案解析(总分：135.08，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：21.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3. （分数：4.00）填空项 1:_4. （分数：4.00）填空项 1:_5. （分数：4.00）填空项 1:_6.函数 （分数：1.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)7. （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：4.00）A.B.C.D.11. （分数：4.00）A.B.C
2、.D.12. （分数：4.00）A.B.C.D.13.设 n(3)维向量 1=(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，a，1)T， n=(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a= A. 1 B. -1 C. 1-n D. n-1（分数：4.00）A.B.C.D.14. （分数：4.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：1，分数：82.00)求下列不定积分：（分数：82.08）(1). （分数：4.56）_(2). （分数：4.56）_(3). （分数：4.56）_(4). （分数：4.56）_(5). （分数：4.56）_
3、(6). （分数：4.56）_(7). （分数：4.56）_(8). （分数：4.56）_(9). （分数：4.56）_(10). （分数：4.56）_(11).已知函数 f(x)在 x=0的某个邻域内有连续导数，且 （分数：4.56）_(12).证明函数 f(x)=xe2x-2x-cos x有且仅有两个实零点，且一正一负（分数：4.56）_(13).设 ，为几何体 的外侧边界，计算曲面积分 （分数：4.56）_(14). （分数：4.56）_(15).设 （分数：4.56）_(16). （分数：4.56）_(17). （分数：4.56）_(18).设 Y1，Y 2，Y 3独立，且都服从参数数
4、为 p的 0-1分布令 （分数：4.56）_考研数学一-247 答案解析(总分：135.08，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：21.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*3. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*4. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：*5. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*6.函数 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1，+)）解析：分析 由 f(x)的分段表示知：f(x)
5、分别在(-1，0)和0，+)上连续，又所以 f(x)在(-1，+)上连续又 * 所以 f(0)不存在 从而定义域内导数为零和导数不存在的点只有 x=0(因为若设 g(x)=x-(1+x)ln(1+x)，则 g(0)=0，g(x)=-ln(1+x)，当-1x0 时，g(x)0，所以当-1x0 时，g(x)0，故没有导数为零的点) 由于当-1x0 时，f(x)0，因此函数在区间(-1，0上单调递减；当x0 时，f(x)0，所以函数在区间0，+)内单调递减故函数单渊减少区间为(-1，+)二、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)7. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*8. （分数：4
6、.00）A. B.C.D.解析：*9. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*10. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*11. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*12. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*13.设 n(3)维向量 1=(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，a，1)T， n=(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a= A. 1 B. -1 C. 1-n D. n-1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 令* 对 A作初等行变换，把第 1行的-1 倍依次加至第 2，3，n
7、各行，又因 r(A)=n-1，显然有 a1把 2，3，n 行约去 1-a后再加至第 1行就有 * 注 由于矩阵 A是实对称矩阵，必有 A如果你能快捷地求出矩阵 A的特征值，那么通过 r(A)=r(A)=n-1可以很快地求出 a14. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*三、B解答题/B(总题数：1，分数：82.00)求下列不定积分：（分数：82.08）(1). （分数：4.56）_正确答案：(对于sinn mxcosnxdx，或 m，n 至少有一个奇数(不管是正奇数还是负奇数)可采用“凑微分”解决 *)解析：(2). （分数：4.56）_正确答案：(对于sin mxcosnxdx，若
8、m，n 都是小于零的偶数，一般设法化成R(tan kx)dtankx或R(cot kx)dcotkx形式求解；若 m，n 都是大于零的偶数，可先利用倍角公式降幂，再积分 *)解析：(3). （分数：4.56）_正确答案：(*)解析：(4). （分数：4.56）_正确答案：(* *)解析：(5). （分数：4.56）_正确答案：(*)解析：(6). （分数：4.56）_正确答案：(由于被积函数的分子、分母为 sinx，cosx 的线性组合，故可用“待定系数法”计算 令12sinx+cosx=A(5sinx-2cosx)+B(5sinx-2cosx)，则 *)解析：(7). （分数：4.56）_正
9、确答案：(*)解析：(8). （分数：4.56）_正确答案：(*)解析：(9). （分数：4.56）_正确答案：(*)解析：(10). （分数：4.56）_正确答案：(由*，比较等式两端分子尉类项的系数，得 * 于是*)解析：分析 求三角有理函数不定积分的一般方法：利用万能代换“*”化为有理函数，此方法很麻烦当被积函数为*且 ab 需选用万能代换外，一般应尽量选择其他方法去做题(11).已知函数 f(x)在 x=0的某个邻域内有连续导数，且 （分数：4.56）_正确答案：(分析与解法一 未给出函数 f(x)的表达式是本题难点，为克服这个困难，可利用极限与无穷小量的关系来给出 f(x)的表达式，
10、即设*故 f(0)=-1，f(0)=2分析与解法二 利用连续与可导的定义以及极限的四则运算法则等求解本题由于*由 f(x)的连续性即得 f(0)=-1。进而*故 f(0)=-1，f(0)=2分析与解法三 题巾函数 f(x)是未知的，要通过所给条件确定 f(0)及 f(0)，因此利用 f(x)在 x=0处的一阶泰勒展开式就比较自然了在 x=0的某个小邻域内，f(x)和 sinx的一阶泰勒展开式为f(x)=f(0)+f(0)x+o(x)，sinx=x+o(x 2)，将其代入*这表明当 x0 时1+f(0)应是 X的 1阶无穷小，所以有1+f(0)=0，f(0)=2，即 f(0)=-1，f(0)=2
11、)解析：评注 在解题时如果一开始就用洛必达法则： * 似乎也可得到 f(0)=-1，但这样做是错误的其原因是对洛必达法则的条件理解不透，即我们并不知道*(12).证明函数 f(x)=xe2x-2x-cos x有且仅有两个实零点，且一正一负（分数：4.56）_正确答案：(本题考查导数应用，讨论函数的形态并进一步研究函数的零点问题先证明有两个实零点且一正一负由 f(x)连续，且*在(-1，0)与(0，1)内各至少有一个实零点，即 f(x)至少有两个实零点，且一正一负再证明仅有f(x)=(2x+1)e2x-2+sinx，f“(x)=4(x+1)e 2x+cos x，显然(a)当 x-1 时，f(x)
12、0*f(x)单调递减*f(x)f(-1)0*(-，-1上无实零点；(b)当 x-1 时，f“(x)0*f“(x)在(-1，+)内无实零点，由罗尔定理的逆否命题*f(x)在(-1，+)内最多只有一个实零点*f(x)在(-1，+)内最多只有两个实零点)解析：(13).设 ，为几何体 的外侧边界，计算曲面积分 （分数：4.56）_正确答案：(* *)解析：(14). （分数：4.56）_正确答案：(*)解析：(15).设 （分数：4.56）_正确答案：()因为方程组 Ax=b有 2个不同的解，故 r(A)=r(A)3 * ()当 =-1，a=-2 时 * 所以方程组 Ax=b的通解为 *)解析：(1
13、6). （分数：4.56）_正确答案：(*)解析：(17). （分数：4.56）_正确答案：(*)解析：(18).设 Y1，Y 2，Y 3独立，且都服从参数数为 p的 0-1分布令 （分数：4.56）_正确答案：(详解 令 Y=Y1+Y2+Y3，则 YB(3，P)(1)PX1=-1，X 2=-1=PY1，Y2=PY=0+PY=3=(1-p)3+p3，PX1=-1，X 2=1=PY1，Y=2=PY=2=3p 2(1-p)，PX1=1，X 2=-1=PY=1，Y2=PY=1=3p(1-p) 2，PX1=1，X 2=1=PY=1，Y=2=0所以，(X 1，X 2)的联合分布律为*(2)E(X1X2)=(1-p)3+p3-3p2(1-p)-3p(1-p)2=1-6p+6p2，所以，当*时，E(X 1X2)取最小值*)解析：分析 如令 Y=Y1+Y2+Y3，则由已知 YB(3，p)求有关(X 1，X 2)的概率问题转化为与随机变量 Y有关的概率评注 本题属于由已知分布的随机变量定义新的随机变量，讨论新随机变量的分布问题
