1、考研数学一-246 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.a=1是齐次方程 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X服从正态分布 N(0， )，Y 服从正态分布 N(0， （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)和 g(x)在 x=0处连续，若 则（分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)在(-，+)内二阶可导，y=f(x)的图形如图所示，则二阶导函数 y=f“(x)的图形为（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)=earcsinx且 fg(x)=x-1，g(x)
2、的定义域为（分数：4.00）A.-1x1B.C.D.6.设 y1=xex+e2x，y 2=xex+e-x，y 3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，则该微分方程为（分数：4.00）A.y“-y=2y=xexB.y“-y-2y=exC.y“-y-2y=(1-2x)exD.y“-y-2y=xe2x7.设事件 A，B，C 同时发生时，事件 D一定发生，则（分数：4.00）A.P()P()+P()-1B.P()P()+P()-1C.P()P()+P()+P()-1D.P()P()+P()+P()-28.设 B为 nm实矩阵，且秩 r(B) =n，则下列命题中：BB T的行
3、列式的值为零BB T必与单位阵等价BB T必与对角阵相似BB T必与单位阵合同正确的个数有（分数：4.00）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=k(x2-3)2拐点处的法线能够通过原点，则 k=_（分数：4.00）填空项 1:_10.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_11.设质点在力 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 y+xsin2y=x3cos2y的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 A、B 为 n阶方阵，其中 A为可对角化矩阵且满足 A2+A=O，B 2+B=E，r(AB)=2，则行列式|A+2E|=_（分
4、数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X 3，X 4与 Y1，Y 2，Y 3，Y 4。分别是来自服从标准正态分布总体 x和 y的一组相互独立的简单随机样本， 和 分别为其样本均值，随机变量 ，则数学期望=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 ，g(x)的一个原函数为 ln(x+1)，计算定积分 （分数：10.00）_16.(1)将函数 f(x)=x-1(0x2)展开成周期为 4的余弦级数；(2)求 （分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻
5、力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)，汽锤第一次击打将桩打进地下 a(m)根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1)问：(1)汽锤打桩 3次后，可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注：m 表示长度单位米)（分数：10.00）_19.设 f(x)在(-，+)上有定义，对于任意两个 x1，x 2(x1x 1)，恒有|f(x 1)-f(x2)|(x 2-x1)2证明：(1)f(x)在(-，+)可微；(2)在(-，+)上 f(x)恒为常数（分数：10.00）_20.设 A为三阶
6、实对称矩阵，且存在可逆矩阵 ，使得 又 A的伴随矩阵 A*有特征值 0， 0所对应的特征向量为 （分数：11.00）_21.假设 aij(i，j=1，2，3)均为整数，求方程组（分数：11.00）_22.设 A、B 为随机事件，且 ， ， 令 X= （分数：11.00）_23.某系统 Q由两个子系统 q1与 q2联接组成，联接的方式有三种：1)q 1，q 2串联；2)q 1，q 2并联；3)q 1与q2一个工作一个备用已知子系统 q1，q 2的寿命 X，Y 均服从指数分布，其概率密度分别为（分数：11.00）_考研数学一-246 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(
7、总题数：8，分数：32.00)1.a=1是齐次方程 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 Ax=0 有非零解*r(A)n，n 为未知数的个数详解 *方程组有非零解*a=1，a=2当 a=1或 a=2时，方程组有非零解，但是|A|=0 有可能 a=1，或 a=2，所以 a=1是方程组有非零解的充分而非必要条件，(B)为答案评注 若由|A|=0，得出唯一的 a=a0，则 a=a0是方程组有唯一解的充要条件2.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X服从正态分布 N(0， )，Y 服从正态分布 N(0， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 X-Y 仍服从正态分布，再通过标准化去求相
8、应的概率详解 由题设知，X-YN(0，*)，于是*其中 (x)为标准正态分布的分布函数，可见正确选项为(D)评注 与正态分布有关的概率计算，一般都是先通过标准化再利用标准正态分布进行计算3.设函数 f(x)和 g(x)在 x=0处连续，若 则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 本题已知 f(x)在点 x=0处连续，相当于条件：*详解 由题设，知*，即有*于是*故选(D)评注 本题考查了极限、连续和导数的概念一般地，若 g(x)在点 x=x0处连续，当 xx 0时，h(x)x-x0，则由*，g(x 0)=A4.设函数 f(x)在(-，+)内二阶可导，y=f(x)的图形如图所示，则二阶
9、导函数 y=f“(x)的图形为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 根据曲线的凹凸性及零点个数进行判断即可详解 y=f(x)与 x轴有 5个交点，由罗尔定理知 y=f(x)与 x轴有 4个交点，进而知 y=f“(x)与 x轴有 3个交点，排除(C)、(D)又曲线 y=f(x)在左端是上凹曲线弧，可见在左端有 f“(x)0，排除(B)故应选(A)评注 对于此类图形判断问题，一般应根据单调性、极值、凹凸性与拐点及零点个数进行分析讨论5.设 f(x)=earcsinx且 fg(x)=x-1，g(x)的定义域为（分数：4.00）A.-1x1B.C.D. 解析：分析 fg(x)=e arcsi
10、ng(x)=x-1，解出 g(x)详解 fg(x)=e arcsing(x)=x-1，arcsing(x)=ln(x-1)， (*)g(x)=sinln(x-1)，定义域：*定义域为*，(D)为答案评注 由(*)知*6.设 y1=xex+e2x，y 2=xex+e-x，y 3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，则该微分方程为（分数：4.00）A.y“-y=2y=xexB.y“-y-2y=exC.y“-y-2y=(1-2x)ex D.y“-y-2y=xe2x解析：分析 y 1-y3，(y 1-y3)+(y1-y2)都是对应齐次方程的解详解 y 1-y3=e-x，(y
11、 1-y3)+(y1-y2)=e2x都是对应齐次方程的解，所以特征方程为 r2-r-2=0，所以对应的齐次方程为 y“-y-2y=0将特解 y 1=xex+e2x代入上述方程，得 y“-Y-2y=(1-2x)e x所以(C)为答案评注 该题考查二阶线性常微分方程解的结构定理应注意：一阶线性微分方程也有类似定理7.设事件 A，B，C 同时发生时，事件 D一定发生，则（分数：4.00）A.P()P()+P()-1B.P()P()+P()-1C.P()P()+P()+P()-1D.P()P()+P()+P()-2 解析：详解 由于 ABC*D，于是有P(D)P(ABC)=P(AB)+P(C)-P(A
12、B)CP(AB)+P(C)-1=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-1P(A)+P(B)+P(C)-2故选(D)8.设 B为 nm实矩阵，且秩 r(B) =n，则下列命题中：BB T的行列式的值为零BB T必与单位阵等价BB T必与对角阵相似BB T必与单位阵合同正确的个数有（分数：4.00）A.1个B.2个C.3个 D.4个解析：分析 由 BTx=0与 BBTx=0同解，知秩 r(B)=r(BBT)=n，从而可推导出相应命题是否正确详解 因为 r(B)=r(BBT)=n由此知行列式|BB T|0，命题不成立；由于两个同阶矩阵等价的充要条件是秩相等，因此 BBT与单位阵等价，命题成立；由
13、于 BBT是实对称矩阵，所以必与对角矩阵相似，命题成立；对于*x0，由 r(Bnm)=n，知 BTx0，于是(B Tx)TBTx=xT(BBT)x0，可见 BBT为正定矩阵，因此必与单位矩阵合同，命题成立故应选(C)评注 线性代数的前后内容是紧密相连的，比如：对于 n阶矩阵 A，有|A|=0*r(A)n*A 不可逆*Ax=0有非零解*=0 为 A的特征值类似地，可分析|A|0 的情形二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=k(x2-3)2拐点处的法线能够通过原点，则 k=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 f“(x)=0 解出 x0，若在 x0的两侧
14、f“(x)变号，则(x 0，f(x 0)为拐点详解 y=4xk(x 2-3)，y“=4k(x2-3)+8kx2=12k(x-1)(x+1)=0，x 2=1，x=1在 x=1的两侧，f“(x)都变号，(1，4k)，(-1，4k)都是拐点对于拐点(1，4k)，法线方程为*法线过原点(0，0)，*对于拐点(-1，4k)法线方程为*法线过原点(0，0)*评注 曲线上点(x 0，y 0)处的切线方程：y-y 0=f(x0)(x-x0)；法线方程：y-y 0*10.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0，2）解析：分析 幂级数*在点 x=2处条件收敛，根据幂级数的性质知，x=2 是收敛区
15、间的端点，从而收敛半径 R=|2-1|=1详解 根据题设，x=2 是收敛区间的端点，所以收敛半径为 1，收敛区间为|x-1|1，即(0，2)又*在点 x=2处条件收敛，即*条件收敛，可知幂级数*在点 x=0处也条件收敛，故收敛域为0，2评注 收敛区间指开区间，而收敛域则应包含区间端点的敛散性11.设质点在力 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：分析 变力 F=P(x，y)i+Q(x，y)J 沿着曲线 L所作的功可表示为W= LP(x，y)dx+Q(x，y)dy因此，问题可转化第二类曲线积分的计算详解 设曲线|x|+|y|=1 所围成的区域为 D，则*评注 本题不能直接用格林
16、公式，园为曲线所围区域内包含奇点(0，0)应先将曲线方程代入被积表达式，然后再应用格林公式12.微分方程 y+xsin2y=x3cos2y的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 本题两边同乘 sec2y后可转化成一阶线性方程详解 原方程两边乘以 sec2y，得sec2yy+2xtany=x3令*原方程为*为 u对 x的一阶线性方程*即*评注 经常使用 u=xy，u=xy，u=tany 等代换，使不能直接求解的微分方程转化成容易求解的微分方程13.设 A、B 为 n阶方阵，其中 A为可对角化矩阵且满足 A2+A=O，B 2+B=E，r(AB)=2，则行列式|A+2
17、E|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2 n-2）解析：分析 设法求出 A的特征值即可由 A2+A=O可确定 A的特征值应满足的条件，而根据 B2+B=E知B可逆，因此 r(AB)=r(A)=2，再根据 A可对角化，最终可确定 A的特征值详解 由 B2+B=E有 B(B+E)=E，可见 B可逆，因此 r(AB)=r(A)=2设 为 A的任一特征值，则由 A2+A=O知，A 必满足 2+=0，因此有 为 0或-1，而根据 r(A)=2及 A可对角化知，=-1 为二重根，且存在可逆阵 P，使得*于是有 *故 *评注 若 AB，则 f(A)f(B)，从而|f(A)|=|f(B)|14
18、.设 X1，X 2，X 3，X 4与 Y1，Y 2，Y 3，Y 4。分别是来自服从标准正态分布总体 x和 y的一组相互独立的简单随机样本， 和 分别为其样本均值，随机变量 ，则数学期望=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：7）解析：分析 从 Z的构成形式可初步判断是服从 2分布，须进一步确定其自由度，再利用 2分布的性质确定其数学期望详解 由题设知，*且*相互独立，于是有随机变量*，根据 2(n)的性质 E 2(n)=n知，数学期望 EZ=7评注 2分布具有性质：设 X 2(n1)，Y 2(n2)，并且 X和 Y相互独立，则 X+Y 2(n1+n2)若 X 2(n)，则 EX=n，
19、DX=2n三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 ，g(x)的一个原函数为 ln(x+1)，计算定积分 （分数：10.00）_正确答案：(详解 凶为*于是*)解析：分析 先通过第一类重要极限与导数定义可确定 f(x)的表达式，再通过分部积分计算即可评注 本题每一计算步骤都是最基本的，但综合考查了极限、导数、原函数、换元积分和分部积分等多个知识点16.(1)将函数 f(x)=x-1(0x2)展开成周期为 4的余弦级数；(2)求 （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)将 f(x)进行偶展拓(见下图)*bn=0(n=0，1，2，)，*所以*(2)今*所以 *所以 *所以 *)解析
20、：分析 展开成余弦级数，必须将 f(x)进行偶展拓，此时 x=0是展拓后函数的连续点评注 在傅立叶级数中代入 x=x0得到数项级数和(本题中勘 x0=0)是常用的方法本题考查了关于 f(x)展开成余弦级数的偶展拓方法，也考查了关于数项级数的运算17.计算 （分数：10.00）_正确答案：(详解 令*，则*可见有*(1)当 a1 时，：(x-1) 2+y2+z2=a2，此时所围成的立体空间 不含坐标原点，由高斯公式，有*(2)当 a1 时，令 1：x 2+y2+4z2= 2，取内侧，0 充分小则*)解析：分析 本题为封闭曲面，首先想到用高斯公式，但注意所围空间立体内是否包含“奇”点，即一阶偏导不
21、连续的点，若是，应先挖掉奇点后再利用高斯公式评注 用一小的曲面挖掉奇点时，应注意使得在此小曲面上积分时比较容易一般可考虑选择分母为常数的封闭曲面作为要求的小曲面本题正是利用此思想，作小曲面： 1：x 2+y2+4z2= 2，使得在此曲面上积分时，被积函数的分母为常数，从而便于用高斯公式计算出所要求的曲面积分18.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)，汽锤第一次击打将桩打进地下 a(m)根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1)问：(
22、1)汽锤打桩 3次后，可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注：m 表示长度单位米)（分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)*由 W2=rW1得 *所以 x 22=(1+r)a2*由 W3=rW2=r2W1得*所以 x 32=(1+r+r2)a2，所以 *(2)假设 *则*Wn+1=rWn=rnW1，所以*所以 *于是 *所以，若不限制击打次数，汽锤至多将桩打进地下*(米)解析：分析 设第 n次击打，桩被打入地下 xn汽锤所作的功为 Wn由已知条件知：W n=rWn-1评注 本题是用定积分求功及序列极限的综合应用题而积分的几何应用及物理应用是历年常考的题
23、型19.设 f(x)在(-，+)上有定义，对于任意两个 x1，x 2(x1x 1)，恒有|f(x 1)-f(x2)|(x 2-x1)2证明：(1)f(x)在(-，+)可微；(2)在(-，+)上 f(x)恒为常数（分数：10.00）_正确答案：(详解 取 x1=x，x 2=x+x，x(-，+)则 *所以 *所以 f(x)存在且 f(x)=0，所以 在(-，+)上 f(x)可微，且 f(x)恒为常数)解析：分析 要证 f(x)在(-，+)上为常数，只要证明 f(x)*0评注 该题主要考查导数定义，难度不大20.设 A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵 ，使得 又 A的伴随矩阵 A*有特征值 0， 0
24、所对应的特征向量为 （分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)由题设，有*，令 P= 1， 2， 3，其中*，则A 1=1 1，A 2=2 2，A 3=-1 3，即 1， 2， 3分别是属于三个不同特征值 1=1， 2=2， 3=-1的特征向量而 A为三阶实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量必正交，即*又 A*= 0，而 =- 3，于是有 A*(- 3)= 0(- 3)，即 A* 3= 0 3，从而 AA* 3= 0 3，|A| 3= 0A 3，可见*因此有*，故 0=2(2)由 A 1=1 1，A 2=2 2，A 3=-1 3，及*有 A 1， 2， 3= 1，2 2，- 3，于是A=
25、 1，2 2，- 3 1， 2， 3-1*故有 *(3)由 A i= i i，i=1，2，3，有*，进而有*可见 A*+E的特征值为*，即 1=-1， 2=0， 3=3，故|A *+E|= 1 2 3=0)解析：分析 本题关键条件是 A为实对称矩阵，而*，相当于已知 A的三个特征值，且 P的每列为对应特征向量，再根据不同特征值对应特征向量是正交的，可确定参数 a，b然后利用特征值与特征向量的定义可求出 0至于*，只需求出 A即可而行列式|A *+E|利用特征值或相似矩阵均可计算评注 与 A*有关的问题，一般均可考虑利用关系式 AA*=A*A=|A|E进行化简21.假设 aij(i，j=1，2，
26、3)均为整数，求方程组（分数：11.00）_正确答案：(详解 移项后得*按方程组的系数行列式构造*设方程组的系数行列式为 D*f()为 的三次多项式假定 f()=- 3+b1 2+b2+b 3，* i,j，a ij为整数，b 1，b 2，b 3为整数*2b 1+4b2+8b31(左侧为偶数，左侧1)*，即 D0x 1=x2=x3=0)解析：分析 移项后构成齐次方程组，然后讨论系数行列式评注 对于齐次方程组 Amnx=0，x=(x 1，x 2，x n)T，若 r(A)=n，则方程组只有零解；若 r(A)n，则方程组有非零解，基础解系解向量个数 S=n-r(A)22.设 A、B 为随机事件，且 ，
27、 ， 令 X= （分数：11.00）_正确答案：(详解 *(当然 P(X=0，Y=0)=1-P(X=0，Y=1)-P(X=1，Y=0)-P(X=1，Y=1)(X，Y)的联合分布为*因为*，所以 X，Y 不相互独立)解析：分析 由已知条件求出 P(X=1，Y=1)=P(AB)，求出 P(B)，然后求出(X，Y)的联合分布评注 本题考查二维离散型随机变量的同时考查了事件概率的计算对于考研试题中的概率问题，古典概型不是重点，但关于事件的性质及相关计算公式是重点23.某系统 Q由两个子系统 q1与 q2联接组成，联接的方式有三种：1)q 1，q 2串联；2)q 1，q 2并联；3)q 1与q2一个工作
28、一个备用已知子系统 q1，q 2的寿命 X，Y 均服从指数分布，其概率密度分别为（分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)因 q1，q 2串联，其中一个损坏，系统便停止工作，所以 Q的寿命Z=min(X，Y)因为*于是有 F min(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)，故 f min(z)=fx(z)1-FY(z)+fY(z)1-FX(z)*(2)因 q1，q 2并联，当 q1与 q2均损坏时，系统才停止工作，所以 Q的寿命 Z=max(X，Y)于是有 F max(Z)=FX(z)FY(z)，故 f max(z)=fX(z)FY(z)+fY(z)FX(z)*(3)因为当 q1损坏时，q 2立即开始工作，当 q2也损坏时，系统 Q才停止工作故 Z=X+Y，于是*故 *)解析：分析 本题实质上为求随机变量函数的分布，q 1，q 2串联，意指寿命 Z=min(X，Y)；q 1，q 2并联，意指寿命 Z=max(X，Y)；而当 q1损坏时，q 2立即开始工作，意指 Z=X+Y评注 对于常见二维随机变量函数的分布，如 Z=minX，Y，Z=maxX，Y)，Z=X+Y 等应作为公式加以记忆
