1、考研数学一-244 及答案解析(总分：102.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3. （分数：4.00）填空项 1:_4. （分数：4.00）填空项 1:_5. （分数：4.00）填空项 1:_6. （分数：4.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：23.00)7. （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：4.00）A.B.C.D.11. （分数：4.00）A.B.C.D
2、.12.下列说法正确的是 A. 设 u=(x)在 x=x0处可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处不可导，则复合函数 f(x)在 x=x0处一定不可导 B. 设 u=(x)在 x=x0处不可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处可导，则复合函数 f(x)在 x=x0处一定不可导 C. 设 u=(x)在 x=x0处不可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处也不可导，则复合函数 f(x)x=x 0处一定不可导 D. 函数 u=(x)在 x=x0处或函数 y=f(u)在 u0=(x 0)处不可导时，复合函数 f(x)在 x=x0处未必不可导（分数：1.00）A.B.C.D.13.若 f
3、(x)在点 x0处取得极小值，则下列结论正确的是 A. 存在小正数 ，f(x)在(x 0-，x 0)内单调减少，在(x 0，x 0+)内单调增加 B. 存在小正数 ，在(x 0-，x 0)内 f(x)0，在(x 0，x 0+)内 f(x)0 C. f(x0)=0，且 f“(x0)0 D. 存在小正数 ，对任意的 x(x 0-，x 0)(x 0，x 0+)，恒有 f(x)f(x 0)（分数：1.00）A.B.C.D.14.设 f(x)有连续的二阶导数，其导函数 y=f(x)的图像如右图所示，令函数 y=f(x)的驻点的个数为 p，极值点的个数为 q，曲线 y=f(x)拐点的个数为 r，则（分数：
4、1.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：55.00)15. （分数：12.00）_16. （分数：10.00）_17.计算曲面积分_18._19.设 f(x)在点 x0处具有 n阶导数，且 f(x0)=f“(x0)=f(n-1)(x0)=0，f (n)(x0)0，试证： () 当 n为奇数时，f(x)在点 x0不取局部极值； () 当 n为偶数时，f(x)在点 x0取得局部极值： 当 f(n)(x0)0，f(x)在点 x0取得极小值； 当 f(n)(x0)0，f(x)在点 x0取得极大值（分数：10.00）_20. （分数：11.00）_21.已知函数 f(x)在0，1上
5、连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=0，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：1.00）_22._23.某系统 Q由两个子系统 q1与 q2联接组成，联接的方式有三种：1)q 1，q 2串联；2)q 1，q 2并联；3)q 1与q2一个工作一个备用已知子系统 q1，q 2的寿命 X，Y 均服从指数分布，其概率密度分别为（分数：11.00）_考研数学一-244 答案解析(总分：102.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：*2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：* *
6、*3. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：*4. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*5. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*6. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：*二、B选择题/B(总题数：8，分数：23.00)7. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*8. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*9. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*10. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*11. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*12.下列说法正确的是 A. 设 u=
7、(x)在 x=x0处可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处不可导，则复合函数 f(x)在 x=x0处一定不可导 B. 设 u=(x)在 x=x0处不可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处可导，则复合函数 f(x)在 x=x0处一定不可导 C. 设 u=(x)在 x=x0处不可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处也不可导，则复合函数 f(x)x=x 0处一定不可导 D. 函数 u=(x)在 x=x0处或函数 y=f(u)在 u0=(x 0)处不可导时，复合函数 f(x)在 x=x0处未必不可导（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 对于(A)：设 u=(x)=x 2在
8、x=0处可导，y=f(u)=|u|，在 u=0处不可导，但 y=f(x)=x 2在 x=0处可导，所以(A)不对对于(B)：设 u=(x)=|x|在 x=0处不可导，y=f(u)=u 2，在 u=0处可导，但 y=f=(x)=x 2在 x=0处可导，所以(B)不对对于(C)：设 u=(x)=|x|+x 在 x=0处不可导，y=f(u)=u-|u|，在 u=0处不可导，但 y=f(x)=x+|x|-|x+|x|=0在 x=0处可导，所以(C)也不对由排除法可知，(D)正确13.若 f(x)在点 x0处取得极小值，则下列结论正确的是 A. 存在小正数 ，f(x)在(x 0-，x 0)内单调减少，在
9、(x 0，x 0+)内单调增加 B. 存在小正数 ，在(x 0-，x 0)内 f(x)0，在(x 0，x 0+)内 f(x)0 C. f(x0)=0，且 f“(x0)0 D. 存在小正数 ，对任意的 x(x 0-，x 0)(x 0，x 0+)，恒有 f(x)f(x 0)（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 *则 f(0)=0是极小值，但(A)，(B)，(C)都不成立；而(D)是极小值的定义故应选(D)14.设 f(x)有连续的二阶导数，其导函数 y=f(x)的图像如右图所示，令函数 y=f(x)的驻点的个数为 p，极值点的个数为 q，曲线 y=f(x)拐点的个数为 r，则（分数：1.
10、00）A.B.C. D.解析：分析 根据驻点、极值点、拐点的概念及判别法则知：驻点是：x=a，c，e，因为 x=a，c，e 时，f(x)=0驻点中只有 a，c 是极值点，因为在 x=a，c 两侧导数变号，x=e 两侧导数都为负值，所以 x=e不是极值点对二阶可导函数 f(x)，(x 0，f(x 0)为拐点的必要条件是 f“(x0)=0，即 x=x0是 f“(x)的驻点而x=b，d，e 是 f(x)的驻点且这些点的两侧 f(x)的单调性相反，即 y=f(x)的凹凸性相反，因此(b，f(b)，(d，f(d)，(e，f(e)是拐点，因此(C)正确*三、B解答题/B(总题数：9，分数：55.00)15
11、. （分数：12.00）_正确答案：(* *)解析：16. （分数：10.00）_正确答案：(* * *)解析：17.计算曲面积分_正确答案：(令 0：x 2+y2+z2=1，取外侧，由及 0构成的几何体为 ，)解析：18._正确答案：(* * *)解析：19.设 f(x)在点 x0处具有 n阶导数，且 f(x0)=f“(x0)=f(n-1)(x0)=0，f (n)(x0)0，试证： () 当 n为奇数时，f(x)在点 x0不取局部极值； () 当 n为偶数时，f(x)在点 x0取得局部极值： 当 f(n)(x0)0，f(x)在点 x0取得极小值； 当 f(n)(x0)0，f(x)在点 x0取
12、得极大值（分数：10.00）_正确答案：(由泰勒公式及题设知 * () 当 n为奇数时，因为在点 x0的任一邻域内，当 xx 0，有(x-x 0)n0，当 xx 0，有(x-x 0)n0，而f(n)(x0)保持定号，所以差 f(x)-f(x0)当 x由小于 x0变至大于 x0时改变了正负号即在点 x0的任一邻域内有大于 f(x0)的值，也有小于 f(x0)的值因此，f(x)在点 x0处不可能取得极值 ()当 n为偶数时，恒有(x-x 0)n0 若 f(n)(x0)0，则有 f(x)-f(x0)0， 即 f(x)f(x 0)， 于是 f(x)在点 x=x0处取得极小值 若 f(n)(x0)0，则
13、有 f(x)-f(x0)0， 即 f(x)f(x 0)， 于是 f(x)在点 x=x0处取得极大值)解析：分析 按照带有皮亚诺余项的泰勒公式可得， * 由题设知 * 即 * 再由 n的奇偶性，f (n)(x0)0 以及函数的极值概念，即可推出欲证的结论20. （分数：11.00）_正确答案：(* * * *)解析：21.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=0，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：1.00）_正确答案：(证 令 F(x)=xexf(x)，则函数 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且F(1)=F(0)=0根据罗尔定理可得：存在 (0，1)
14、，使得 F“()=0，即*)解析：22._正确答案：(* *)解析：23.某系统 Q由两个子系统 q1与 q2联接组成，联接的方式有三种：1)q 1，q 2串联；2)q 1，q 2并联；3)q 1与q2一个工作一个备用已知子系统 q1，q 2的寿命 X，Y 均服从指数分布，其概率密度分别为（分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)因 q1，q 2串联，其中一个损坏，系统便停止工作，所以 Q的寿命Z=min(X，Y)因为*于是有 F min(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)，故 f min(z)=fx(z)1-FY(z)+fY(z)1-FX(z)*(2)因 q1，q 2并联，当 q1与
15、 q2均损坏时，系统才停止工作，所以 Q的寿命 Z=max(X，Y)于是有 F max(Z)=FX(z)FY(z)，故 f max(z)=fX(z)FY(z)+fY(z)FX(z)*(3)因为当 q1损坏时，q 2立即开始工作，当 q2也损坏时，系统 Q才停止工作故 Z=X+Y，于是*故 *)解析：分析 本题实质上为求随机变量函数的分布，q 1，q 2串联，意指寿命 Z=min(X，Y)；q 1，q 2并联，意指寿命 Z=max(X，Y)；而当 q1损坏时，q 2立即开始工作，意指 Z=X+Y评注 对于常见二维随机变量函数的分布，如 Z=minX，Y，Z=maxX，Y)，Z=X+Y 等应作为公式加以记忆
