1、考研数学一-243 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 f(x)对任意的 x均满足等式 f(1+x)=af(x),且有 f(0)=b,其中 a,b 为非零常数,则_。 A.f(x)在 x=1处不可导 B.f(x)在 x=1处可导,且 f(1)=a C.f(x)在 x=1处可导,且 f(1)=b D.f(x)在 x=1处可导,且 f(1)=ab(分数:4.00)A.B.C.D.2.设 f(x)是连续函数,F(x)是 f(x)的原函数,则_。 A.当 f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时,F
2、(x)必是奇函数 C.当 f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数 D.当 f(x)是单调增加函数时,F(x)必是单调增加函数(分数:4.00)A.B.C.D.3.设函数 f(x)在(0,+)内有界且可导,则_。 A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.4.若函数 f,g 均可微,z=fxy,x+g(xy),则 (分数:4.00)A.B.C.D.5.设 A,B 为 n阶矩阵,A *,B *分别为 A,B 对应的伴随矩阵,分块矩阵 ,则 C的伴随矩阵 C*等于_。ABCD (分数:4.00)A.B.C.D.6.设 A为 n阶对称矩阵,B 为 n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的
3、是_。 A.AB-BA B.BA+AB C.(AB)2 D.BAB(分数:4.00)A.B.C.D.7.设两事件 A,B,已知 ,则必有_。 AA 与 B独立 B (分数:4.00)A.B.C.D.8.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2),其分布函数为 F(x),随机变量 Y=F(X),则 (分数:4.00)A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数:6,分数:24.00)9.设 f(x)是二次可微函数,若在点(a,f(a)处的切线倾角是 ,在点(b,f(b)处的法线与直线x+y=2平行,则积分 (分数:4.00)填空项 1:_10.设 y+2m+n 2y=0,y(0)=a,y(0)=6.
4、求 (分数:4.00)填空项 1:_11.,其中 D是由 x=0,y=0 及 x+y=1所围成的平面区域,I=_. (分数:4.00)填空项 1:_12.设 L为 ,试计算 (分数:4.00)填空项 1:_13.设 3阶方阵 A的三个特征值为 1,1,2,对应的特征向量为 1=(1,2,1) T, 2=(1,1,0)T, 3=(2,0,-1) T,A 与对角形矩阵 (分数:4.00)填空项 1:_14.设某试验分两阶段进行,已知通过第一阶段试验的概率为 60%,通过第二阶段试验的概率为 40%. 问通过第一阶段试验再通过第二阶段试验的概率是_.(分数:4.00)填空项 1:_三、B解答题/B(
5、总题数:9,分数:94.00)15.设函数 f(x)在点 x=0的某个邻域内有二阶导数,且 (1)f(0),f(0)和 f(0)的值;(2)极限(分数:10.00)_16.设 f(x)在0,+)上可导,且 ,证明:存在 E(0,+),使 (分数:10.00)_17.在平面 x+y+z=1上求一点,使它与两定点 P(1,0,1),Q(2,0,1)的距离平方和为最小.(分数:10.00)_18.设 f(u)具有连续导数,计算,其中为锥面 与球面 x2+y2+z2=1,x 2+y2+z2=4所围立体表面的外侧. (分数:10.00)_19.已知数列na n收敛,级数 也收敛,证明:级数 (分数:10
6、.00)_20.问 a,b 为何值时,方程组 (分数:11.00)_21.设二次型 通过正交变换化为标准形 (分数:11.00)_22.设随机变量 Y服从参数为 =1 的泊松分布,随机变量(分数:11.00)_23.设总体 X服从指数分布,概率密度为 X1,X 2,X n为取自总体 X的简单随机样本.(1)证明: 仍服从指数分布;(2)求常数 C使 为 的无偏估计;(3)指出 Z与 (分数:11.00)_考研数学一-243 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 f(x)对任意的 x均满足等式 f(1+x)=af(x),且
7、有 f(0)=b,其中 a,b 为非零常数,则_。 A.f(x)在 x=1处不可导 B.f(x)在 x=1处可导,且 f(1)=a C.f(x)在 x=1处可导,且 f(1)=b D.f(x)在 x=1处可导,且 f(1)=ab(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 *2.设 f(x)是连续函数,F(x)是 f(x)的原函数,则_。 A.当 f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数 C.当 f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数 D.当 f(x)是单调增加函数时,F(x)必是单调增加函数(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 取
8、 f(x)=cosx,则 F(x)=sinx+C,当 C0 时,F(x)不是奇函数,排除 B. 取 f(x)=cosx+1,则 F(x)=sinx+x+C不再是周期函数,排除 C. 取 f(x)=x,则*不再是单调增函数,又排除 D,故选 A. 事实上,对于 A,由于 f(x)的原函数 F(x)可表示为 *, 故选 A.3.设函数 f(x)在(0,+)内有界且可导,则_。 A B C D (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 取 *, 故 f(x)满足题设条件. 由于 * (无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小),而 *不存在(因为*不存在,*),故 A不入选. 再取 f(x)=sinx
9、,显然满足题设条件. 且 *. C,D 又被排除,故选 B.4.若函数 f,g 均可微,z=fxy,x+g(xy),则 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 *5.设 A,B 为 n阶矩阵,A *,B *分别为 A,B 对应的伴随矩阵,分块矩阵 ,则 C的伴随矩阵 C*等于_。ABCD (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 因为 CC*=丨 C丨 E2n,经观察,对于选项 D,有*.考虑到 AA*=丨 A丨 En,BB *=丨 B丨 En,得*,故选 D.6.设 A为 n阶对称矩阵,B 为 n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是_。 A.AB-BA B.BA+AB C
10、.(AB)2 D.BAB(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 因为 A为对称矩阵,所以 A=AT. 因为 B为 n阶反对称,所以 B=-BT,(AB-BA) T=(AB)T-(BA)T=BTAT-ATBT=-BA+AB=AB-BA,可知 A不入选. (AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=-BA-AB=-(AB-BA),故选 B.7.设两事件 A,B,已知 ,则必有_。 AA 与 B独立 B (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由 *, 则 AB=,所以 A与 B对立. 故选 D.8.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2),其分布函数为 F(x),
11、随机变量 Y=F(X),则 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由已知,F(x)是严格单调增函数,且 *, 即其值与参数 和 均无关. 故选 D.二、B填空题/B(总题数:6,分数:24.00)9.设 f(x)是二次可微函数,若在点(a,f(a)处的切线倾角是 ,在点(b,f(b)处的法线与直线x+y=2平行,则积分 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 由题设可知 *10.设 y+2m+n 2y=0,y(0)=a,y(0)=6. 求 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 特征方程为 2+2m+n 2=0*,原方程通解为 y=C1e
12、1x+C2e 2x,由初始条件,有C1+C2=a, 1C1+ 2C2=b,故*.11.,其中 D是由 x=0,y=0 及 x+y=1所围成的平面区域,I=_. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 积分区域如下图所示,因为积分 * 都不能用有限形式表示出来,所以在直角坐标系下积分无法计算,但注意到 *, 因此所求积分在极坐标系下有可能积出来. * 直线 x+y=1的极坐标方程为 *, x 轴,y 轴分别为 =0,*. 于是 D的极坐标表达式为 *12.设 L为 ,试计算 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:0)解析:解析 * 因为 L是关于 x轴对称的,被积函
13、数*是 y的奇函数. 故积分=0.13.设 3阶方阵 A的三个特征值为 1,1,2,对应的特征向量为 1=(1,2,1) T, 2=(1,1,0)T, 3=(2,0,-1) T,A 与对角形矩阵 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 * 矩阵 A有三个线性无关的特征向量*A 与一个对角矩阵*相似. *14.设某试验分两阶段进行,已知通过第一阶段试验的概率为 60%,通过第二阶段试验的概率为 40%. 问通过第一阶段试验再通过第二阶段试验的概率是_.(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 A“通过第一阶段试验”,B“通过第二阶段试验”. P(A)=0
14、.60,P(B)=0.40,因为 A*B所以 AB=B. 故 *三、B解答题/B(总题数:9,分数:94.00)15.设函数 f(x)在点 x=0的某个邻域内有二阶导数,且 (1)f(0),f(0)和 f(0)的值;(2)极限(分数:10.00)_正确答案:(1)由题设知 f(x)在点 x=0的充分小邻域内有 * (f(x)在点 x=0的二阶勒公式),所以 * 于是有 * 即 f(0)=-3,f(0)=0,f(0)=9. (2)由(1)知,在点 x=0的充分小领域内有 *)解析:16.设 f(x)在0,+)上可导,且 ,证明:存在 E(0,+),使 (分数:10.00)_正确答案:(令 *,
15、显然 F(x)在0,+)上连续,在(0,+)内可导,又由 *, 可知 f(0)=0,因为 *, 所以 F(0)=0, *, 可知 F(x)满足罗尔定理,于是存在 (0,+),使得 F()=0,即 *.)解析:17.在平面 x+y+z=1上求一点,使它与两定点 P(1,0,1),Q(2,0,1)的距离平方和为最小.(分数:10.00)_正确答案:(设所求点为 M(x,y,z),则*为d2=(x-1)2+y2+(z-1)2+(x-2)2+y2+(x-1)2=(x-1)2+(x-2)2+2y2+2(z-1)2.设拉格朗日函数 F(x,y,z)=(x-1) 2+(x-2)2+2y2+2(z-1)2+(
16、x+y+z-1),解方程组*,故*)解析:18.设 f(u)具有连续导数,计算,其中为锥面 与球面 x2+y2+z2=1,x 2+y2+z2=4所围立体表面的外侧. (分数:10.00)_正确答案:(曲面 是闭的,且 P,Q,R 在 所围形体中具体连续的一阶偏导数,故可用奥高公式计算. *)解析:19.已知数列na n收敛,级数 也收敛,证明:级数 (分数:10.00)_正确答案:(设*的前 n项和为 Sn,则Sn=2(a2-a1)+3(a3-a2)+4(a4-a3)+n(an-an-1)+(n+1)(an+1-an)=(n+1)an+1-a1-(a1+a2+an)=(n+1)an+1-a1-
17、 n,其中 n为*的前 n项和,于是 n=(n+1)an+1-a1-Sn,因为*收敛,不妨设 SnS(n),na n收敛,不妨设*所以 nl-a 1-S,故*收敛.)解析:20.问 a,b 为何值时,方程组 (分数:11.00)_正确答案:(* ()当 a1 时,方程组有唯一解: * ()当 a=1,b1 时,r(A)=2, *, 方程组无解. ()当 a=1,b=-1 时, *)解析:21.设二次型 通过正交变换化为标准形 (分数:11.00)_正确答案:(二次型及其对应的标准形的矩阵分别为*丨 A-E 丨=0*(1-) 2(-)-16(-)-8(1-)-32=0, (*) (*)由对角矩阵
18、的对角元素与原方阵特征值的关系可知,=5,=-4 均为方程(*)的解,将 =-4 代入(*)中得 25(+4)-16(+4)-72=0*=4.又 1+ 2+ 3=a11+a22+a33,即*,故 =5,于是*.()A 的属于 =5 的特征向量.*,对应的齐次线性方程组*, 1, 2正交,将其单位化分别为*.()A 的属于 =-4 的特征向量.*)解析:22.设随机变量 Y服从参数为 =1 的泊松分布,随机变量(分数:11.00)_正确答案:(1)PX 0=0,X 1=0=PY0,Y1=PY=0=e -1,PX 0=1,X 1=0=PY0,Y1=PY=1=e -1,PX 0=0,X 1=1=PY
19、0,Y1=0,PX 0=1,X 1=1=PY0,Y1=PY0=1-PY=0-PY=1=1-2e -1.所以 X0和 X1的联合分布律为*(2)由(1)可知,X 0和 X1的边缘分布律分别为*所以 E(X0-X1)=E(X0)-E(X1)=1-e-1-(1-2e-1)=e-1.(3)Cov(X0,X 1)=E(X0X1)-EX0EX1=1-2e-1-(1-e-1)(1-2e-1)=e-1-2e-2.)解析:23.设总体 X服从指数分布,概率密度为 X1,X 2,X n为取自总体 X的简单随机样本.(1)证明: 仍服从指数分布;(2)求常数 C使 为 的无偏估计;(3)指出 Z与 (分数:11.00)_正确答案:(1)*Fmin=1-1-F(x)n,*(2)*(3)*)解析: