1、考研数学一-243 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)对任意的 x均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则_。 A.f(x)在 x=1处不可导 B.f(x)在 x=1处可导，且 f(1)=a C.f(x)在 x=1处可导，且 f(1)=b D.f(x)在 x=1处可导，且 f(1)=ab（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则_。 A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时，F
2、(x)必是奇函数 C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数 D.当 f(x)是单调增加函数时，F(x)必是单调增加函数（分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在(0，+)内有界且可导，则_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.若函数 f，g 均可微，z=fxy，x+g(xy)，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B 为 n阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 ，则 C的伴随矩阵 C*等于_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A为 n阶对称矩阵，B 为 n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的
3、是_。 A.AB-BA B.BA+AB C.(AB)2 D.BAB（分数：4.00）A.B.C.D.7.设两事件 A，B，已知 ，则必有_。 AA 与 B独立 B （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2)，其分布函数为 F(x)，随机变量 Y=F(X)，则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)是二次可微函数，若在点(a，f(a)处的切线倾角是 ，在点(b，f(b)处的法线与直线x+y=2平行，则积分 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 y+2m+n 2y=0，y(0)=a，y(0)=6.
4、求 （分数：4.00）填空项 1:_11.，其中 D是由 x=0，y=0 及 x+y=1所围成的平面区域，I=_. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 L为 ，试计算 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 3阶方阵 A的三个特征值为 1，1，2，对应的特征向量为 1=(1，2，1) T， 2=(1，1，0)T， 3=(2，0，-1) T，A 与对角形矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.设某试验分两阶段进行，已知通过第一阶段试验的概率为 60%，通过第二阶段试验的概率为 40%. 问通过第一阶段试验再通过第二阶段试验的概率是_.（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(
5、总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在点 x=0的某个邻域内有二阶导数，且 (1)f(0)，f(0)和 f(0)的值；(2)极限（分数：10.00）_16.设 f(x)在0，+)上可导，且 ，证明：存在 E(0，+)，使 （分数：10.00）_17.在平面 x+y+z=1上求一点，使它与两定点 P(1，0，1)，Q(2，0，1)的距离平方和为最小.（分数：10.00）_18.设 f(u)具有连续导数，计算，其中为锥面 与球面 x2+y2+z2=1，x 2+y2+z2=4所围立体表面的外侧. （分数：10.00）_19.已知数列na n收敛，级数 也收敛，证明：级数 （分数：10
6、.00）_20.问 a，b 为何值时，方程组 （分数：11.00）_21.设二次型 通过正交变换化为标准形 （分数：11.00）_22.设随机变量 Y服从参数为 =1 的泊松分布，随机变量（分数：11.00）_23.设总体 X服从指数分布，概率密度为 X1，X 2，X n为取自总体 X的简单随机样本.(1)证明： 仍服从指数分布；(2)求常数 C使 为 的无偏估计；(3)指出 Z与 （分数：11.00）_考研数学一-243 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)对任意的 x均满足等式 f(1+x)=af(x)，且
7、有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则_。 A.f(x)在 x=1处不可导 B.f(x)在 x=1处可导，且 f(1)=a C.f(x)在 x=1处可导，且 f(1)=b D.f(x)在 x=1处可导，且 f(1)=ab（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *2.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则_。 A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数 C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数 D.当 f(x)是单调增加函数时，F(x)必是单调增加函数（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 取
8、 f(x)=cosx，则 F(x)=sinx+C，当 C0 时，F(x)不是奇函数，排除 B. 取 f(x)=cosx+1，则 F(x)=sinx+x+C不再是周期函数，排除 C. 取 f(x)=x，则*不再是单调增函数，又排除 D，故选 A. 事实上，对于 A，由于 f(x)的原函数 F(x)可表示为 *， 故选 A.3.设函数 f(x)在(0，+)内有界且可导，则_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 取 *， 故 f(x)满足题设条件. 由于 * (无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小)，而 *不存在(因为*不存在，*)，故 A不入选. 再取 f(x)=sinx
9、，显然满足题设条件. 且 *. C，D 又被排除，故选 B.4.若函数 f，g 均可微，z=fxy，x+g(xy)，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *5.设 A，B 为 n阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 ，则 C的伴随矩阵 C*等于_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 CC*=丨 C丨 E2n，经观察，对于选项 D，有*.考虑到 AA*=丨 A丨 En，BB *=丨 B丨 En，得*，故选 D.6.设 A为 n阶对称矩阵，B 为 n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是_。 A.AB-BA B.BA+AB C
10、.(AB)2 D.BAB（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 A为对称矩阵，所以 A=AT. 因为 B为 n阶反对称，所以 B=-BT，(AB-BA) T=(AB)T-(BA)T=BTAT-ATBT=-BA+AB=AB-BA，可知 A不入选. (AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=-BA-AB=-(AB-BA)，故选 B.7.设两事件 A，B，已知 ，则必有_。 AA 与 B独立 B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 *， 则 AB=，所以 A与 B对立. 故选 D.8.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2)，其分布函数为 F(x)，
11、随机变量 Y=F(X)，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由已知，F(x)是严格单调增函数，且 *， 即其值与参数 和 均无关. 故选 D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)是二次可微函数，若在点(a，f(a)处的切线倾角是 ，在点(b，f(b)处的法线与直线x+y=2平行，则积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由题设可知 *10.设 y+2m+n 2y=0，y(0)=a，y(0)=6. 求 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 特征方程为 2+2m+n 2=0*，原方程通解为 y=C1e
12、1x+C2e 2x，由初始条件，有C1+C2=a， 1C1+ 2C2=b，故*.11.，其中 D是由 x=0，y=0 及 x+y=1所围成的平面区域，I=_. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 积分区域如下图所示，因为积分 * 都不能用有限形式表示出来，所以在直角坐标系下积分无法计算，但注意到 *， 因此所求积分在极坐标系下有可能积出来. * 直线 x+y=1的极坐标方程为 *， x 轴，y 轴分别为 =0，*. 于是 D的极坐标表达式为 *12.设 L为 ，试计算 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 * 因为 L是关于 x轴对称的，被积函
13、数*是 y的奇函数. 故积分=0.13.设 3阶方阵 A的三个特征值为 1，1，2，对应的特征向量为 1=(1，2，1) T， 2=(1，1，0)T， 3=(2，0，-1) T，A 与对角形矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 * 矩阵 A有三个线性无关的特征向量*A 与一个对角矩阵*相似. *14.设某试验分两阶段进行，已知通过第一阶段试验的概率为 60%，通过第二阶段试验的概率为 40%. 问通过第一阶段试验再通过第二阶段试验的概率是_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 A“通过第一阶段试验”，B“通过第二阶段试验”. P(A)=0
14、.60，P(B)=0.40，因为 A*B所以 AB=B. 故 *三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在点 x=0的某个邻域内有二阶导数，且 (1)f(0)，f(0)和 f(0)的值；(2)极限（分数：10.00）_正确答案：(1)由题设知 f(x)在点 x=0的充分小邻域内有 * (f(x)在点 x=0的二阶勒公式)，所以 * 于是有 * 即 f(0)=-3，f(0)=0，f(0)=9. (2)由(1)知，在点 x=0的充分小领域内有 *)解析：16.设 f(x)在0，+)上可导，且 ，证明：存在 E(0，+)，使 （分数：10.00）_正确答案：(令 *，
15、显然 F(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，又由 *， 可知 f(0)=0，因为 *， 所以 F(0)=0， *， 可知 F(x)满足罗尔定理，于是存在 (0，+)，使得 F()=0，即 *.)解析：17.在平面 x+y+z=1上求一点，使它与两定点 P(1，0，1)，Q(2，0，1)的距离平方和为最小.（分数：10.00）_正确答案：(设所求点为 M(x，y，z)，则*为d2=(x-1)2+y2+(z-1)2+(x-2)2+y2+(x-1)2=(x-1)2+(x-2)2+2y2+2(z-1)2.设拉格朗日函数 F(x，y，z)=(x-1) 2+(x-2)2+2y2+2(z-1)2+(
16、x+y+z-1)，解方程组*，故*)解析：18.设 f(u)具有连续导数，计算，其中为锥面 与球面 x2+y2+z2=1，x 2+y2+z2=4所围立体表面的外侧. （分数：10.00）_正确答案：(曲面 是闭的，且 P，Q，R 在 所围形体中具体连续的一阶偏导数，故可用奥高公式计算. *)解析：19.已知数列na n收敛，级数 也收敛，证明：级数 （分数：10.00）_正确答案：(设*的前 n项和为 Sn，则Sn=2(a2-a1)+3(a3-a2)+4(a4-a3)+n(an-an-1)+(n+1)(an+1-an)=(n+1)an+1-a1-(a1+a2+an)=(n+1)an+1-a1-
17、 n，其中 n为*的前 n项和，于是 n=(n+1)an+1-a1-Sn，因为*收敛，不妨设 SnS(n)，na n收敛，不妨设*所以 nl-a 1-S，故*收敛.)解析：20.问 a，b 为何值时，方程组 （分数：11.00）_正确答案：(* ()当 a1 时，方程组有唯一解： * ()当 a=1，b1 时，r(A)=2， *， 方程组无解. ()当 a=1，b=-1 时， *)解析：21.设二次型 通过正交变换化为标准形 （分数：11.00）_正确答案：(二次型及其对应的标准形的矩阵分别为*丨 A-E 丨=0*(1-) 2(-)-16(-)-8(1-)-32=0， (*) (*)由对角矩阵
18、的对角元素与原方阵特征值的关系可知，=5，=-4 均为方程(*)的解，将 =-4 代入(*)中得 25(+4)-16(+4)-72=0*=4.又 1+ 2+ 3=a11+a22+a33，即*，故 =5，于是*.()A 的属于 =5 的特征向量.*，对应的齐次线性方程组*， 1， 2正交，将其单位化分别为*.()A 的属于 =-4 的特征向量.*)解析：22.设随机变量 Y服从参数为 =1 的泊松分布，随机变量（分数：11.00）_正确答案：(1)PX 0=0，X 1=0=PY0，Y1=PY=0=e -1，PX 0=1，X 1=0=PY0，Y1=PY=1=e -1，PX 0=0，X 1=1=PY
19、0，Y1=0，PX 0=1，X 1=1=PY0，Y1=PY0=1-PY=0-PY=1=1-2e -1.所以 X0和 X1的联合分布律为*(2)由(1)可知，X 0和 X1的边缘分布律分别为*所以 E(X0-X1)=E(X0)-E(X1)=1-e-1-(1-2e-1)=e-1.(3)Cov(X0，X 1)=E(X0X1)-EX0EX1=1-2e-1-(1-e-1)(1-2e-1)=e-1-2e-2.)解析：23.设总体 X服从指数分布，概率密度为 X1，X 2，X n为取自总体 X的简单随机样本.(1)证明： 仍服从指数分布；(2)求常数 C使 为 的无偏估计；(3)指出 Z与 （分数：11.00）_正确答案：(1)*Fmin=1-1-F(x)n，*(2)*(3)*)解析：
