1、考研数学一-242 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设当 x0 时，(1-cosx)(1+x 2)是比 xsinxn高阶的无穷小，而 xsinxn是比 ex2-1 高阶的无穷小，则正整数 n 等于_。 A.1 B.2 C.3 D.4（分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.3.下列广义积分收敛的是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.双纽线(x 2+y2)2=x2-y2所围成区域的面积可用定积分表示为_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B
2、均是 n 阶可逆矩阵,则 （分数：4.00）A.B.C.D.6.已知三阶实矩阵 A=(aij)33满足条件：a ij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij是元素 aij的代数余子式；a 33=-1；丨 A 丨=1，则方程组 的解为_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 ，对任意的 0，均有 P丨 X- 丨P丨 Y- 丨，则 满足_。 AB C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设二维正态随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =X-Y 不相关的充分必要条件为_。 A.E(X)=E(Y) B.E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2 C.
3、E(X2)=E(Y2) D.E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 y=(x-1)2(x-3)2的拐点个数为_（分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 y+a 2y=sinx，其中 a0 为常数，其特解为 1（分数：4.00）填空项 1:_11.函数项级数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 L 是球面 x2+y2+z2=R2与平面 x+y+z=0 的交线，则 I=L(x 2+y2)dl=_.（分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为 4 阶方阵，满足条件丨 8E+A 丨=0，A
4、A T=2E，丨 A 丨0，则 A*的一个特征值为_.（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从参数为 的泊松(possion)分布，且已知 E(X-1)(X-2)=1，则 =_.（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设二阶常系数线性方程 y+y+y=e x的一个特解为 y=e2x+(1+x)ex，试确定常数 ，并求该方程的通解.（分数：10.00）_16.设对一切实数 t，函数 是连续正函数，且可导，又 ，函数 . (1)证明：f(x)是单调递增；(2)求出使 f(x)取最小值的 x 值；(3)将函数 f(x)的最小值作为 a
5、的函数，它等于 （分数：10.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，ba0. 证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：10.00）_18.计算三重积分 （分数：10.00）_19.确定 f(x)，使曲线积分 （分数：10.00）_20.设矩阵 （分数：11.00）_21.设矩阵 （分数：11.00）_22.设(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_23.设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 axb，cyd 内服从均匀分布. (1)求联合分布密度及边缘分布密度；(2)随机变量 X 与 Y 是否独立；(3)求(X，Y)的联合分布函数.（分数：11.00）_考研数学一-2
6、42 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设当 x0 时，(1-cosx)(1+x 2)是比 xsinxn高阶的无穷小，而 xsinxn是比 ex2-1 高阶的无穷小，则正整数 n 等于_。 A.1 B.2 C.3 D.4（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因当 x0 时，*，(1+x 2)x 2，sinx nx n，e x2-1x 2，故*，xsinx nx n+1.而由(1-cosx)(1+x 2)是比 xsinxn高阶的无穷小，知 4n+1，即 n3；由 xsinxn是比(e x2-1)高阶的无穷小，知 n+
7、12，即 n1.因此正整数 n=2，故选 B.2.已知 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 * 是某二元函数的全微分，故 *. * 比较上面两式，得 a=2，故选 D.3.下列广义积分收敛的是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 * 可见 A，B，D 不入选. 对于 C，由于 *， 故选 C.4.双纽线(x 2+y2)2=x2-y2所围成区域的面积可用定积分表示为_。ABCD （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 双纽线的极坐标方程为 r2=cos2，由 r=0 可得 cos2=0，即*，于是 =*，因此*，故选 A.5.设 A，
8、B 均是 n 阶可逆矩阵,则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *6.已知三阶实矩阵 A=(aij)33满足条件：a ij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij是元素 aij的代数余子式；a 33=-1；丨 A 丨=1，则方程组 的解为_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *7.设 ，对任意的 0，均有 P丨 X- 丨P丨 Y- 丨，则 满足_。 AB C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *， 因为 P丨 X-u 丨P丨 Y-u 丨， 所以 * 故选 C.8.设二维正态随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与
9、=X-Y 不相关的充分必要条件为_。 A.E(X)=E(Y) B.E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2 C.E(X2)=E(Y2) D.E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 根据随机变量 与 不相关的充分必要条件为 Cov(，)=0，有注意到 D(X)=Cov(X，X)，D(Y)=Cov(Y，Y)，可得 D(X)=D(Y)，即 E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2，故选 B.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 y=(x-1)2(x-3)2的拐点个数为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：
10、2）解析：解析 y=2(x-1)(x-3) 2+2(x-1)2(x-3)=4(x-1)(x-2)(x-3)，y=4(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)=8(x-1)(2x-5)，令 y=0 得 x1=1，*.又由 y=8(2x-5)+16(x-1)可得 y(1)=-240，*，因此曲线有两个拐点.10.微分方程 y+a 2y=sinx，其中 a0 为常数，其特解为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *11.函数项级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0，+)）解析：解析 * 当 x=0 时，原级数*收敛. 故其收敛域为0，
11、+).12.设 L 是球面 x2+y2+z2=R2与平面 x+y+z=0 的交线，则 I=L(x 2+y2)dl=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由于 L 关于 x，y，z 的对称性，所以 Lx2dl= Ly2dl= Lz2dl.故*13.设 A 为 4 阶方阵，满足条件丨 8E+A 丨=0，AA T=2E，丨 A 丨0，则 A*的一个特征值为_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由丨 8E+A 丨=丨 A-(-8E)丨=0*=-8.又丨 AAT丨=丨 2E 丨*丨 A 丨 2=16*丨 A 丨=4，因为丨 A 丨0.所以丨 A 丨
12、=-4，A *的特征值为*( 为 A 的特征值)=*.14.设随机变量 X 服从参数为 的泊松(possion)分布，且已知 E(X-1)(X-2)=1，则 =_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 泊松分布*，k=0，1，2，0.E(X)=，D(X)=.EX2-3X+2=E(X2)-3E(X)+2=E(X2)-E(X)2)+E(X)2-3E(X)+2=D(X)+E(X)2-3E(X)+2=+ 2-3+2= 2-2+2=1，* 2-2+1=0*=1.三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设二阶常系数线性方程 y+y+y=e x的一个特解为 y=e2x+
13、(1+x)ex，试确定常数 ，并求该方程的通解.（分数：10.00）_正确答案：(将 y=e2x+(1+x)ex代入方程，得(4+2+)e 2x+(3+2+)e x+(1+)xe x=e x，比较两边同次项的系数有*解之，得 =-3，=2，=-1，故原方程为 y-3y+2y=-e x，其特征方程 2-3+2=0* 1=1， 2=2，对应齐次方程通解为 Y(x)=C1ex+C2e2x，故原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x+(1+x)ex+e2x=C1ex+C2e2x+xex.)解析：16.设对一切实数 t，函数 是连续正函数，且可导，又 ，函数 . (1)证明：f(x)是单调递增；(2)求
14、出使 f(x)取最小值的 x 值；(3)将函数 f(x)的最小值作为 a 的函数，它等于 （分数：10.00）_正确答案：(1) * (2) * (3) *)解析：17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，ba0. 证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：10.00）_正确答案：(先证*.令 g1(x)=x4，由于 ba0，所以 f(x)，g 1(x)=x4在a，b上满足柯西中值定理，故存在 (a，b)，使得*又由于 f(x)，g 2(x)=x2，在a，b上也满足柯西中值定理，于是，存在 (a，b)，使得*由，得*再证*由于 ba0，所以 f(x)，g 3(x)=x 在a，b上满足
15、柯西中值定理，于是，存在 (a，b)，使得*由，得出命题的证明.)解析：18.计算三重积分 （分数：10.00）_正确答案：(由对称性，有 *)解析：19.确定 f(x)，使曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：(*，要使曲线积分与路径无关系，必须*，即*求对应的齐次方程*的通解 f(x)=C(x+1)n，令 f(x)=C(x)(x+1)n为方程*的解，将其代入并整理，得 C(x)(x+1) n=(x+1)nsinx*C(x)=-cosx+C，故*的通解为 f(x)=-(x+1)ncosx+C(x+1)n，由 f(0)=0，得 C=1，故 f(x)=(1-cosx)(x+1)n.*)解析：
16、20.设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(1)*将 =3 代入上式，解出 y=2.(2)*()A 2的属于 1=1 的特征向量.*，对应的齐线性方程组 x3=-x4，特征向量为*.()A 2的属于 2=32=9 的特征向量.*，对应的齐线性方程组为*.)解析：21.设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(1)因为矩阵 A 与 B 相似，所以矩阵 B 的对角线上的元素为 2,2，-3，y 可看作 A 的特征值，于是*(2)将 x=1 代入 A，得*，A 的特征值 1= 2=2， 3=-3， 4=-2.()A 的属于 =2 的特征向量.*，对应的齐次线性方程组*.因为 1与 2已正交，所以
17、只需单位化，*.()A 的属于 =-3 的特征向量.仿上可求得*.()A 的属于 =-2 的特征向量*，以 1， 2， 3， 4为列的矩阵*即为所求的正交阵.)解析：22.设(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：(先求 Z 的分布函数 FZ(z)，再求*.()当 z0 时，F Z(z)=RX+Yz=0;()当 0z1 时(见下图)，*；*()当 1z2 时，*()当 z2 时，*.综上所述*)解析：23.设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 axb，cyd 内服从均匀分布. (1)求联合分布密度及边缘分布密度；(2)随机变量 X 与 Y 是否独立；(3)求(X，Y)的联合分布函数.（分数：11.00）_正确答案：(1)由题设可知(X，Y)的联合分布密度为*(2)因为 f(x，y)=f X(x)fY(y)，所以随机变量 X 与 Y 相互独立.(3)()当 xa 或 yc 时，f(x，y)=0*F(x，y)=0；()当 axb，cyd 时，*；()当 xb，cyd 时，*；()当 axb，yd 时，*；()当 xb，yd 时，*.综上所述，*)解析：
