1、考研数学一-240 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 A，B 是 n 阶实对称可逆矩阵，则存在 n 阶可逆阵 P，使得下列关系式PA=B P -1ABP=BA P -1AP=B P TA2P=B2成立的个数是 ( )（分数：4.00）A.1B.2C.3D.44.设 A 是三阶矩阵， 1=1，2，-2 T， 2=2，1，-1 T， 3=1，1，t T是线性非齐次方程组 AX=b 的解向量，其中 b=1，3，-2 T，则 ( )（分数：4.00）
2、A.t=-1 时，必有 r()=1B.t=-1 时，必有 r()=2C.t-1 时，必有 r()=1D.t-1 时，必有 r()=25.设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度函数 f(x)在 x=1 处有驻点，且 f(1)=1，则 X 服从分布 ( )（分数：4.00）A.N(1，1)B.C.D.N(0，1).6.A，B，C 为随机事件，A 发生必导致 B 与 C 最多有一个发生，则有 ( )（分数：4.00）A.AB.AC.D.7.下述命题设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f(x)在(-，+)上连续设 f(x)在任意的闭区间a，b)上有界，则 f(x)在(-，+)上有界设 f(x
3、)在(-，+)上为正值的连续函数，则 在(-，+)上也是正值的连续函数设 f(x)在(-，+)上为正值的有界函数，则 （分数：4.00）_8.微分方程 y“+4y=sin2x 有特解形如 ( )（分数：4.00）A.Asin2xB.Acos2xC.x(A+Bcos2x+Csin2x)D.A+x(Bcos2x+Csin2x)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 D=(x，y)|(x-1) 2+(y-1)22则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 u=u(x，y，z)具有二阶连续偏导数，且满足 又设 S 为曲面 x2+y2+z2=2az(a0)的外侧，则（分数：4.00）填空项
4、1:_11.设函数 f 与 g 均可微，z=f(xy，lnx+g(xy)则 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 ， （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从参数为 (0)的指数分布，则 X 落在数学期望 E(X)和方差 D(X)之间的概率应为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.过坐标原点作曲线 y=ex的切线，该切线与曲线 y=ex以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的图形记为D()求 D 的面积；()求 D 绕直线 x=1 旋转所成的旋转体体积（分数：10.00）_16.设函数
5、u(x，y)具有连续的一阶偏导数，l 为自点 0(0，0)沿曲线 y=sinx 至点 A(，0)的有向弧段，求曲线积分(yu(x，y)+xyu x(x，y)+y+xsinx)dx+(xu(x，y)+xyu y(x，y)+e y2-x)dy（分数：10.00）_17.设 x 与 y 均大于 0 且 xy证明 （分数：10.00）_18.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(0)=2，且函数 满足 （分数：10.00）_19.设 f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数 f(x)有界，证明：()级数 绝对收敛；() （分数：10.00）_20.()设 ，问 a，b 为何值时， 1， 2能同时由 1
6、， 2， 3线性表出若能表出时，写出其表出式()设 （分数：11.00）_21.设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行第 j 列的元素 aij=ij，()求 r(A) ；()求 A 的特征值，特征向量，并问 A 能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由（分数：11.00）_22.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，已知方差 D(X)=1，而随机变量 Y 的密度函数为 f(-y)，且 X 与 Y 的相关系数为- （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_考研数学一-240 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总
7、题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 g(x)在区间(-1，1)上连续，所以在(-1，1)上存在原函数不选(B)与(C)将 f(x)在区间(-1，0)与(0，1)上分别积分得*要使得在 x=0 处连续，取 C2=1+C1，如此取定之后，记为*容易验算知，F -(0)=0，F +(0)=1无论 C1取何值，F(x)在 x=0 处不可导，故 f(x)在包含 x=0 在内的区间上不存在原函数，不选(A)故选(D)2.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 *所以*f(x，y)在点 O 处连续不选(A)，(B)，考察(C)*所以 fx(0，0)
8、=0，f y(0，0)=0若在点 O(0，0)处可微，则应有*但是上式并不成立，事实上，*所以 f(x，y)在点 O(0，0)不可微3.设 A，B 是 n 阶实对称可逆矩阵，则存在 n 阶可逆阵 P，使得下列关系式PA=B P -1ABP=BA P -1AP=B P TA2P=B2成立的个数是 ( )（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：分析 逐个分析关系式是否成立A，B 均是 n 阶可逆矩阵，故存在可逆阵 Q，W，使 QA=E，WB=E(可逆阵可通过初等行变换化为单位阵)，故有 QA=WB，W -1QA=B记 W-1Q=P则有 PA=B 成立故(1)式成立A，B 均是 n 阶可逆
9、矩阵，可取 P=A，则有 A-1(AB)A=(A-1A)BA=BA故(2)式成立A，B 均是 n 阶实对称矩阵，它们均可以相似于对角阵，但不一定相似于同一个对角阵，即 A，B 之间不一定相似例如*(均满足题设的实对称可逆阵的要求)，但对任意可逆阵 P，均有 P-1AP=P-1EP=EB故(3)不成立A，B 均是实对称可逆矩阵，其特征值均不为零，A 2，B 2的特征值均大于零故 A2，B 2的正惯性指数为n(秩为 n，负惯性指数为 0)，故 A2*B2，即存在可逆阵 P，使得 PTA2P=B2，故(4)式成立由上分析，知应选(C)评注 由本题可知，两个同阶可逆阵 A，B 必是等价的(由知)，且其
10、积 AB，BA 必是相似的(由知)，但 A，B 不一定相似(由知)，但两个实对称可逆阵 A，B，其平方 A2与 B2一定是合同的(由知)。4.设 A 是三阶矩阵， 1=1，2，-2 T， 2=2，1，-1 T， 3=1，1，t T是线性非齐次方程组 AX=b 的解向量，其中 b=1，3，-2 T，则 ( )（分数：4.00）A.t=-1 时，必有 r()=1B.t=-1 时，必有 r()=2C.t-1 时，必有 r()=1 D.t-1 时，必有 r()=2解析：分析 *当 t-1 时，r(B)=3解 方法一 1， 2， 3是 AX=b 的解，t-1 时，r(B)=3， 1， 2， 3线性无关，
11、 1- 2， 2- 3是对应齐次方程组的两个线性无关解，故 r(A)1，但 A0，(若 A=0，则 AX=b 无解，这和题设条件矛盾)故必有 r(A)=1，(C)成立方法二 A i=b，i=1，2，3，故有*t-1，r(B)=3B 是可逆阵，r(A)=r(AB)=rb，b，b=1(C)成立(C)成立，则(D)必不成立，又 t=-1 时，r(B)=2，已知 AX=0 有一个线性无关解向量，故 A 的秩可能是 1，也可能是 2，不能确定，故(A)，(B)都不成立5.设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度函数 f(x)在 x=1 处有驻点，且 f(1)=1，则 X 服从分布 ( )（分数：4.00
12、）A.N(1，1)B. C.D.N(0，1).解析：分析 正态分布 N(， 2)的概率密度函数为*f(x)的驻点在 x= 处，且*故 =1，且*，即*所以选(B)6.A，B，C 为随机事件，A 发生必导致 B 与 C 最多有一个发生，则有 ( )（分数：4.00）A.AB.AC. D.解析：分析 B 与 C 最多有一个发生就是 B 与 C 不可能同时发生，即为*所以，A 发生必导致 B 与 C最多有一个发生，得到*当然也可以将 B 与 C 最多有一个发生理解为至少 B 与 C 中有一个不发生，即*但*，故结论是*7.下述命题设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f(x)在(-，+)上连续
13、设 f(x)在任意的闭区间a，b)上有界，则 f(x)在(-，+)上有界设 f(x)在(-，+)上为正值的连续函数，则 在(-，+)上也是正值的连续函数设 f(x)在(-，+)上为正值的有界函数，则 （分数：4.00）_解析：分析 与是正确的，与是不正确的，理由如下：是正确的设 x0(-，+)，则它必含于某区间a，b中，由于题设 f(x)在任意闭区间a，b上连续，故在 x0处连续，所以在(-，+)上连续，论证的关键之处是：函数 f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续是正确的设 x0(-，+)，所以 f(x0)0，且在 x0处连续由连续函数的四则运算知，*在
14、x0处也连续，所以*在(-，+)上连续是不正确的，反例：设 f(x)=x，在区间a，b上|f(x)|max|a|，|b|8.微分方程 y“+4y=sin2x 有特解形如 ( )（分数：4.00）A.Asin2xB.Acos2xC.x(A+Bcos2x+Csin2x)D.A+x(Bcos2x+Csin2x) 解析：分析 原方程可以写成*由待定系数法可知该方程有形如(D)的特解二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 D=(x，y)|(x-1) 2+(y-1)22则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：分析 方法一 在极坐标系中，将(x-1) 2+(y-1)2=2 化为
15、 r=2(cos+sin)*方法二 用直角坐标*同理*，而*，所以原式=4注 本题还可用形心公式计算，这样算最简单，请考生思考并作答。10.设 u=u(x，y，z)具有二阶连续偏导数，且满足 又设 S 为曲面 x2+y2+z2=2az(a0)的外侧，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由高斯公式，以 表示 S 所围的球域，有*11.设函数 f 与 g 均可微，z=f(xy，lnx+g(xy)则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f 2）解析：分析 *12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *因为*，*，所以有*13.设 ，
16、（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 方法一 写出对应的二次型*令*，即令*，得 *其中*方法二 用正交变换法*A 有特征值为 1=a1， 2=a2， 3=a3其对应的特征向量分别是 1=1，0，0 T， 2=0，1，0T， 3=0，0，1 T取正交阵 *则有*方法三：用初等变换对角阵的对角元素交换位置用相应的两行及两列对换来实现，故将 A 的一、二行及一、二列对换，即*再将 D 的二、三行及二、三列对换，即*E23E12AE12E23=(E12E23)TA(E12E23)=CTAC=B其中，*14.设随机变量 X 服从参数为 (0)的指数分布，则 X 落在数学期望 E(
17、X)和方差 D(X)之间的概率应为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由指数分布知*和*当 1 时，所求概率为*当 1 时，所求概率为*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.过坐标原点作曲线 y=ex的切线，该切线与曲线 y=ex以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的图形记为D()求 D 的面积；()求 D 绕直线 x=1 旋转所成的旋转体体积（分数：10.00）_正确答案：(设切点坐标为 P(x0，y)，于是曲线 y=ex在点 P 的切线斜率为 y0=*，切线方程为*它经过点 O(0，0)所以*又因*，代入求得 x0=1，从而 y0=*=e，切线方程
18、为 y=ex*()取水平条为 A 的面积元素，D 的面积*(积分*为反常积分，*来自洛必达法则)()D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体体积微元为*从而 *)解析：16.设函数 u(x，y)具有连续的一阶偏导数，l 为自点 0(0，0)沿曲线 y=sinx 至点 A(，0)的有向弧段，求曲线积分(yu(x，y)+xyu x(x，y)+y+xsinx)dx+(xu(x，y)+xyu y(x，y)+e y2-x)dy（分数：10.00）_正确答案：(原式=I 1+I2，其中*原式=4+)解析：17.设 x 与 y 均大于 0 且 xy证明 （分数：10.00）_正确答案：(不妨认为 yx0因若
19、 xy0，则变换所给式子左边的 x 与 y，由行列式性质知，左式不变*由柯西公式，存在 (x，y)使*记 f(u)=eu-ueu，有 f(0)=1，f(u)=-ue u0(当 u0)，所以当 u0 时 f(u)1从而知 e -e 1于是得证)解析：18.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(0)=2，且函数 满足 （分数：10.00）_正确答案：(*于是原方程化为(1-u2)f(u)+2f(u)=u，其中*初始条件为 f(0)=2解上述方程，得*这里去掉绝对值号的理由是，初值取在 u=0 处，所以其解应该是包含 u=0 并且使 f(u)连续的一个区间(-1，1)再由初值 f(0)=2，定出 C
20、=1所以*于是*)解析：19.设 f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数 f(x)有界，证明：()级数 绝对收敛；() （分数：10.00）_正确答案：(*其中|f(x)|M，所以*绝对收敛()*由于级数*绝对收敛，所以*存在，从而*存在，即*存在)解析：20.()设 ，问 a，b 为何值时， 1， 2能同时由 1， 2， 3线性表出若能表出时，写出其表出式()设 （分数：11.00）_正确答案：()对增广矩阵A|B作初等行变换，得*1 a3，b 任意， 1， 2均可由 1， 2， 3线性表出，且表出法唯一。A 1= 1的解为 x1=-3，x 2=2，x 3=0，即 1=-3 1+2 2A
21、2= 2的解为*，即*，其中 a3，b 是任意常数2 a=3，b=1 有无穷多解 1， 2均可由 1， 2， 3线性表出且表出法无穷多A 1= 1，有解 k11，-2，1 T+-2，0，1 T，其中 k1是任意常数A 2= 2，有解 k21，-2，1 T+1，0，0 T，其中 k2是任意常数()由()知，1 当 a3，b 任意时，AX=B 有唯一解，且*2 当 a=3，b=1 时，AX=B 有无穷多解，且得*，其中 k1，k 2是任意常数)解析：分析 () 1， 2不能同时由 1， 2， 3线性表出，则 1X1+ 2X2+ 3X3= i，i=1，2，至少有一个方程无解； 1， 2可同时由 1，
22、 2， 3线性表出，则 1X1+ 2X2+ 3X3= i，i=1，2，方程都有解()方程 AX=B，将 X，B 以列分块，设 X= 1， 2，B= 1， 2，即 A 1， 2= 1， 2有解*A 1= 1且 A 2= 2有解21.设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行第 j 列的元素 aij=ij，()求 r(A) ；()求 A 的特征值，特征向量，并问 A 能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由（分数：11.00）_正确答案：(方法一 ()由题设条件知*()由 A 的特征多项式*故 A 有特征值 1= 2= n-1=0，*当 1= 2= n-1=0 时，方程组(E-A)
23、X=0 就是方程组 AX=0，其同解方程组是 x1+2x2+nxn=0，解得对应的线性无关特征向量为 1=-2，1，0，0 T， 2=-3，0，1，0，0 T， n-1=-n，0，0，1 T*时，(E-A)X=0，对系数矩阵作初等行变换，得*方程组的同解方程组为*得对应的特征向量为 n=1，2，n T从而知 A 有 n 个线性无关特征向量，A，取*则*方法二 (1)由题设条件*A 中第 i 行元素是第一行的 i 倍，故有*其中 =1，2，n T0故 r(A)=1(2)因*故知 A 的特征值取值范围是 0，*|A|=0，=0 是 A 的特征值，对应的特征向量满足 AX= TX=0，因在 0，因在
24、方程 TX=0 两边左乘 T，得 T( TX)=( T) TX=0，得 TX=0，显然 TX=0，两边左乘 ，得 TX=0，故方程组 TX=0 与 TX=0 是同解方程组，只需解方程 TX=0，即解方程解得线性无关的特征向量为 1=-2，1，0，0 T， 2=-3，0，1，0，0 T， n-1=-n，0，0，1 T由此可知 =0 至少是 n-1 重根又*，故 A 有一个非零特征值*当*时，由(E-A)X=( TE- T)X=0，由观察知，X= 时，有( TE- T)=( T)-( T)=( T)-( T)=0，故 =1，2，n T= n是对应*的特征向量A 有 n 个线性无关的特征向量，A 能
25、相似于对角阵(下同方法一)解析：22.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，已知方差 D(X)=1，而随机变量 Y 的密度函数为 f(-y)，且 X 与 Y 的相关系数为- （分数：11.00）_正确答案：()*令 y=-x，则*所以 E(Z)=0已知 D(X)=1，D(Y)=E(Y 2)-E(Y)2=E(Y2)-E(X)2，而*所以 D(Y)=E(Y2)-E(X)2=E(X2)-E(X)2=D(X)=1D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X，Y)*，即 D(Z)=1.5()*)解析：分析 函数 f(x)与 f(-x)的图形关于 y 轴对称，故 X 与 Y 的数学期望也应关
26、于 y 轴对称，即 E(X)=-E(Y)f(x)与 f(-x)反映随机变量离散程度的方差是一致的，即 D(X)=D(Y)切比雪夫不等式为 *23.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：(先求矩估计值*，而*令 E(X)=*，即*解得*再求最大似然估计值*在给定的 8 个样本值中，属(-1，0)的有 5 个，属0，1)的有 3 个，故似然函数为*取对数，得 ln L()=5ln +3ln(1-)，两边对 求导，得*令 *，得*(显然这时 L()最大)解析：分析 由 f0 和*，得到 0，0 且 +=1不妨将 f(x；，)改写成*显然，*有了 E(X)不难求出矩估计值最大似然估计值可由 f(x；)写出似然函数*，再求得
