1、考研数学一-239 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.当 x1 时，函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4. （分数：4.00）A.B.C.D.5.设（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知离散型随机变量 X 的可能值为 x1=-1，x 2=0，x 3=1，E(X)=0.1，D(X)=0.89，则对应于 x1，x 2，x 3的概率 P1，P 2，P 3为_。 A.P1=0.4，P 2=0
2、.1，P 3=0.5 B.P1=0.1，P 2=0.4，P 3=0.5 C.P1=0.5，P 2=0.1，P 3=0.4 D.P1=0.4，P 2=0.5，P 3=0.1（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1与 X2的分布函数，为使 F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设有参数方程 （分数：4.00）填空项 1:_10.= 1. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 L 为椭圆 （分数：4.0
3、0）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设向量组 1=(1，1，2，-2)， 2=(1，3，-x，-2x)， 3=(1，-1,6,0)，若此向量组的秩为 2，则 x= 1.（分数：4.00）填空项 1:_14.设连续型随机变量 X 的分布密度为 ，已知 E(X)=2， （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设 u=f(r)， 满足方程 （分数：10.00）_17.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明：方程 （分数：10.00）_18.已知 a0=3，a 1=5，且对任何自然数
4、 n1， ，证明：当丨 x 丨1 时，幂级数 （分数：10.00）_19.设直线 L： 在平面：x-y+2z-1=0 上的投影直线为 l，求函数 （分数：10.00）_20.设 1=(+3，3+3) T， 2=(1，-1，) T， 3=(2，+1，+3) T，=(，2，0) T，问当 为何值时，(1) 可由 1， 2， 3线性表出且表达式唯一；(2) 不能被 1， 2， 3线性表示；(3) 可表示为 1， 2， 3的线性组合，且表达式不唯一.（分数：11.00）_21.设 A=E+ T，其中 （分数：11.00）_22.向平面区域 D：x0，0y4-x 2内等可能随机地投掷一点，求：(1)该点
5、到 y 轴距离的分布密度；(2)过该点所作 y 轴的平行线与 x 轴、y 轴及曲线 y=4-x2所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差.（分数：11.00）_23.设总体 X 的分布密度为 X1，X 2，X n是取自总体 X 的简单随机样本求：(1) 的矩估计量；(2) 的方差 （分数：11.00）_考研数学一-239 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.当 x1 时，函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 * 故当 x1 时，函数极限不存在，也不是，故选 D.2.设幂级数 （分数：4.00）A.B. C.D.
6、解析：解析 由幂级数收敛的阿贝尔定理，可知由于*在 x=-2 处收敛，于是当丨 x 丨2 时，幂级数*绝对收敛，故*在 x=1 处绝对收敛，故选 B.3.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 根据极限的保号性，由*知，存在 x=a 的某邻域 U (a)，使得对*，即 f(x)-f(a)0，再由极值定义可知 x=a 是 f(x)的极大值点，故选 B.4. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 M 的被积函数在区间*上是奇函数，故 M=0. 而 * 故选 D.5.设（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于对矩阵 Amn施行一次初等变换相当于在 A 的左边乘
7、以相应的 m 阶初等矩阵；对 Amn作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A，B 的关系可以看出，矩阵B 是矩阵 A 先把第 1 行加到第 3 行上，再把所得的矩阵的第 1、第 2 两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P2与 P1，故选 C.6.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由*，可得 A 的特征值 1=4， 2= 3= 4=0又因为 A 为实对称矩阵，所以必存在正交矩阵 P，使得*可见矩阵 A 与 B 既相似又合同，故选 A.7.已知离散型随机变量 X 的可能值为 x1=-1，x 2=0，x 3=1，E
8、(X)=0.1，D(X)=0.89，则对应于 x1，x 2，x 3的概率 P1，P 2，P 3为_。 A.P1=0.4，P 2=0.1，P 3=0.5 B.P1=0.1，P 2=0.4，P 3=0.5 C.P1=0.5，P 2=0.1，P 3=0.4 D.P1=0.4，P 2=0.5，P 3=0.1（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为对应于 X 的全部值的概率之和等于 1，所以 P1+P2+P3=1 又因为 E(X)=0.1，所以(-1)P 1+0P2+1P3=0.1， 因为 E(X2)=D(X)+E(X)2=0.89+(0.1)2=0.9，所以(-1) 2P1+02P2+12
9、P3=0.9， 由，得P1=0.4，P 2=0.1，P 3=0.5，故选 A.8.设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1与 X2的分布函数，为使 F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取_。ABCD （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由题设*要使 F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某随机变量的分布函数，必须*，即 a-b=1因为 B，C，D 三项均不满足 a-b=1，故选 A.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设有参数方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *10.= 1.
10、 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-6+15）解析：解析 *11.设 L 为椭圆 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：12a）解析：解析 I= L2xydl+ L(3x2+4y2)dl，因为 L 关于 y 轴是对称的，被积函数 2xy 是 x 的奇函数，故 L2xydl=0*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由于 关于 yOz 坐标面、xOz 坐标面均对称，故*，于是*13.设向量组 1=(1，1，2，-2)， 2=(1，3，-x，-2x)， 3=(1，-1,6,0)，若此向量组的秩为 2，则 x= 1.（分数：4.00）填空项 1:
11、_ （正确答案：2）解析：解析 取向量组 1， 2， 3的前三个分量构成的向量组*，*仍线性相关(因为 1， 2， 3的秩为 2， 1， 2， 3线性相关)，于是*14.设连续型随机变量 X 的分布密度为 ，已知 E(X)=2， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：16.设 u=f(r)， 满足方程 （分数：10.00）_正确答案：(* 由于 x，y，z 的对称性，可得 *)解析：17.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明：方程 （分数：10.00）
12、_正确答案：(令*，显然 F(x)在0，1上连续，又 F(0)=-10，*，由零值定理，存在*，即方程至少有一个实根 又 F(x)=2-f(x)2-1=10，故 F(x)在0，1上严格单调递增，即方程 F(x)=0 最多有一个实根 综上所述，方程*在(0，1)内只有一个实根)解析：18.已知 a0=3，a 1=5，且对任何自然数 n1， ，证明：当丨 x 丨1 时，幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(由题设可知 * 这是一阶线性方程，解得 *)解析：19.设直线 L： 在平面：x-y+2z-1=0 上的投影直线为 l，求函数 （分数：10.00）_正确答案：(先求直线 L 在平面上的投影
13、直线 l 的方程设经过 L 且垂直于平面的平面方程为平面 1：A(x-1)+By+C(z-1)=0，由于平面 1平面，所以 A-B+2C=0， 因平面 1经过直线 L，所以 A+B-C=0， 由，可得 A:B:C=1:3:2，于是平面 1的方程为 x-3y-2z+1=0因此 l 的方程为*，其方向向量 s 为*，再求 u(x，y，z)在 P(1，0，-1)处的偏导数*故 u(x，y，z)在 P 点(1，0，-1)处沿投影线 l 方向的方向导数为*)解析：20.设 1=(+3，3+3) T， 2=(1，-1，) T， 3=(2，+1，+3) T，=(，2，0) T，问当 为何值时，(1) 可由
14、1， 2， 3线性表出且表达式唯一；(2) 不能被 1， 2， 3线性表示；(3) 可表示为 1， 2， 3的线性组合，且表达式不唯一.（分数：11.00）_正确答案：(令 =k 1 1+k2 2+k3 3，则有*(1)当丨 A 丨0，即 0 且 3 时，方程有唯一解，即 可由 1， 2， 3线性表出，且表达式唯一；(2)当 =3 时，*所以 不能由 1， 2， 3线性表出；(3)当 =0 时，*当 =0 时， 可由 1， 2， 3线性表出，但表达式不唯一.)解析：21.设 A=E+ T，其中 （分数：11.00）_正确答案：(令 B= T，则 A=E+B，设 为 B 的特征值，x 为对应的特
15、征向量，即 Bx=x，于是有Ax=(E+B)x=x+Bx=x+x=(1+)x，由定义，可知 1+ 为 A 的特征值，x 为 A 的属于 +1 的特征向量，由此可知求 A 的特征值的问题转化为求 B 的特征值.*，因为 r(B)=1，所以 B 的二阶子式全为 0于是，由特征多项式的展开式，有*，故 B 的特征值为 1， 2=0， 3=2因此 A 的特征值为 1，1，3(i)B 属于 =0 的特征向量*，对应的齐线性方程组为 a1x1=-a2x2-a3x3，所以*是 A 的属于 1，1 的特征向量(ii)B 属于 =2 的特征向量由*，*就是 B 的属于 =2 的特征向量，即 A 的属于 =3 的
16、特征向量)解析：22.向平面区域 D：x0，0y4-x 2内等可能随机地投掷一点，求：(1)该点到 y 轴距离的分布密度；(2)过该点所作 y 轴的平行线与 x 轴、y 轴及曲线 y=4-x2所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差.（分数：11.00）_正确答案：(平面区域 D 如下图所示.设所掷点为(X，Y)，区域 D 的面积*于是二维随机变量(X，Y)的联合密度为*(1)随机点(X，Y)到 y 轴的距离为随机变量 X，其分布布密度即为(X，Y)的关于 X 的边缘密度为 fx(x)*(2)图中双重阴影区域的面积为*)解析：23.设总体 X 的分布密度为 X1，X 2，X n是取自总体 X 的简单随机样本求：(1) 的矩估计量；(2) 的方差 （分数：11.00）_正确答案：(1) * (2) *)解析：
