1、考研数学一-238 及答案解析(总分：47.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 AX=b 为三元非齐次线性方程组，A 至少有两行不成比例， 1， 2， 3为 AX=b 的三个线性无关解，则方程组 AX=b 的通解为( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 a0，b0 为两个常数，则 为( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设二维随机变量(X，y)的联合密度函数为 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 E(X)=1，E(X) 2=3，用切比雪夫不等式估计 则 a 的最大值为( )（分数：4.00
2、）A.B.C.D.6.设 A 是 mn 矩阵，r（分数：4.00）A.=n，则下列结论不正确的是( )(A) 若 AB=O，则 B=OB.对任意矩阵 B，有 r()=r()C.存在 B，使得 BA=ED.对任意矩阵 B，有 r()=-r()7.设 f(x)在 x0的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D.8.设（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 为过直线 （分数：4
3、.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X，Y 是两个相互独立且服从正态分布 N(0，1)的随机变量，则随机变量 Z=max(X，Y)的数学期望E(Z)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内三阶可导，且 证明：存在 (0，2)，使得 （分数：-1.00）_16.设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由 ey+ey=ez确定，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：-1.00）_椭球面 1是椭圆 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 Z是
4、由过点(4，0)且与椭圆 （分数：-1.00）(1).求 1及 2的方程；（分数：-0.50）_(2).求位于 1及 2之间的立体体积（分数：-0.50）_17.求微分方程 y“+y-2y=xex+sin2x 的通解（分数：-1.00）_18.计算曲面积分 （分数：-1.00）_19.设矩阵 A 满足 A(E-C-1B)TCT=E+A，其中 （分数：-1.00）_设二次型 （分数：-1.00）(1).求常数 a，b；（分数：-0.50）_(2).求正交变换 x=QY，使二次型 XTAX 化为标准形（分数：-0.50）_20.设随机变量 X 的分布律为 PX=k)=p(1-p)k-1(k=1，2
5、，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求 PY=3)（分数：-1.00）_设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi= （分数：-0.99）(1).D(Yi)(i=1，2，n)；（分数：-0.33）_(2).Cov(Y1，Y n)；（分数：-0.33）_(3).PY1+Yn0)（分数：-0.33）_考研数学一-238 答案解析(总分：47.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 AX=b 为三元非齐次线性方程组，A 至少有两行不成比例， 1， 2， 3为 AX=b 的三个线性无关解，则方程组 AX=b 的通解为( )（分数：
6、4.00）A.B.C.D. 解析：详解 因为 A 至少两行不成比例，所以 r(A)2，又因为 AX=b 有非零解，所以 r(A)=*2.设 a0，b0 为两个常数，则 为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 令*3.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解f(0-0)=f(0)=C，f(0+0)=1，由 f(x)在 x=0 处连续得 c=1，*4.设二维随机变量(X，y)的联合密度函数为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解*得 k=6，选(C)5.已知 E(X)=1，E(X) 2=3，用切比雪夫不等式估计 则 a 的最大值为( )（分数：4.00）A.B.
7、C. D.解析：详解 D(X)=2，由切比雪夫不等式得*6.设 A 是 mn 矩阵，r（分数：4.00）A.=n，则下列结论不正确的是( )(A) 若 AB=O，则 B=OB.对任意矩阵 B，有 r()=r()C.存在 B，使得 BA=ED.对任意矩阵 B，有 r()=-r() 解析：详解 因为 r(A)=n，所以方程组 AX=0 只有零解，而由 AB=0 得 B 的列向量为方程组 AX=0 的解，故若 AB=0，则 B=0；令 BX=0，ABX=0 为两个方程组，显然若 BX=0，则 ABX=0，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=n，所以方程组AX=0 只有零解，于是 BX=0，即方程组
8、 BX=0 与 ABX=0 为同解方程组，故 r(AB)=r(B)；因为 r(A)=n，所以 A 经过有限次初等行变换化为*即存在可逆矩阵 P 使得 PA=*令 B=(En O)P，则BA=E；令*B=(1 1 1)，r(A)=1，但 r(BA)=0r(B)=1，选(D)7.设 f(x)在 x0的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0)=0， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解*当 x(x 0-，x 0)时，f“(x)0；当 x(x 0，x 0+)时，f“(x)0，则(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，选(C)8.设（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详
9、解*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解*10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解*11.设 为过直线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解*13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4，-2，2）解析：详解 由( 1， 2， 3)=( 1， 2， 3)Q，可得 Q=( 1， 2， 3)-1( 1， 2， 3)*14.设 X，Y 是两
10、个相互独立且服从正态分布 N(0，1)的随机变量，则随机变量 Z=max(X，Y)的数学期望E(Z)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 因为 X，Y 是两个相互独立且服从标准正态分布的随机变量，所以(X，Y)的联合密度函数为*三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内三阶可导，且 证明：存在 (0，2)，使得 （分数：-1.00）_正确答案：(*则 (x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 (0)=(1)=(2)=0，因此 (x)在0，1和1，2上都满足罗尔定理的条件，则存在 1(0，1)， 2(1，2)，使得(
11、 1)=( 2)=0又 (0)=0，由罗尔定理，存在 1(0， 1)， 2( 1， 2)，使得 “( 1)=“( 2)=0，再由罗尔定理，存在 ( 1， 2)*(0，2)，使得*)解析：16.设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由 ey+ey=ez确定，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：-1.00）_正确答案：(*)解析：椭球面 1是椭圆 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 Z是由过点(4，0)且与椭圆 （分数：-1.00）(1).求 1及 2的方程；（分数：-0.50）_正确答案：(*设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为*因为切线经过点(4，0)，所以 x0=1，*切线方程为
12、*)解析：(2).求位于 1及 2之间的立体体积（分数：-0.50）_正确答案：( 1及 2围成的几何体在 yOz 平面上的投影为*)解析：17.求微分方程 y“+y-2y=xex+sin2x 的通解（分数：-1.00）_正确答案：(特征方程为 2+-2=0特征值为 1=-2， 2=1，y“+y-2y=0 的通解为 y=C1e-2x+C2ex设 y“+y-2y=xe x (*)y“+y-2y=sin2x (*)*)解析：18.计算曲面积分 （分数：-1.00）_正确答案：(令 0：x 2+y2+z2=1，取外侧，由及 0构成的几何体为 ，)解析：19.设矩阵 A 满足 A(E-C-1B)TCT
13、=E+A，其中 （分数：-1.00）_正确答案：(由 A(E-C-1B)TCT=E+A 得AC(E-C-1B)T=E+A，即 E+A=A(C-B)T，E=A(C-B)-E T，*)解析：设二次型 （分数：-1.00）(1).求常数 a，b；（分数：-0.50）_正确答案：(*)解析：(2).求正交变换 x=QY，使二次型 XTAX 化为标准形（分数：-0.50）_正确答案：(*)解析：20.设随机变量 X 的分布律为 PX=k)=p(1-p)k-1(k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求 PY=3)（分数：-1.00）_正确答案：(*由全概率公式得*)解析：设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi= （分数：-0.99）(1).D(Yi)(i=1，2，n)；（分数：-0.33）_正确答案：(*)解析：(2).Cov(Y1，Y n)；（分数：-0.33）_正确答案：(*)解析：(3).PY1+Yn0)（分数：-0.33）_正确答案：(*)解析：
