1、考研数学一-237 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A，B 为 n阶实对称矩阵，则 A，B 合同的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.A与 B相似B.r()=r()C.A，B 的正惯性指数相同D.A，B 与同一个对角阵合同3.设 X，y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=-1，D(X)=9，D(Y)=16，且 X，Y 的相关系数为 ，由切比雪夫不等式得 P|X+Y-1|10( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 A，B 为 n阶矩阵，则下
2、列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 A，B 有相同的特征值，则 ABB.A的特征值中非零特征值的个数与 A的秩相等C.若 AB，则 A，B 与同一个对角阵相似D.若 A可对角化，且 AB，则 A，B 与同一个对角阵相似5.设随机变量 X，y 相互独立，且 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 1(x)， 2(x)， 3(x)是微分方程 y“+P(x)y+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：4.00）A.C11 (x)+C22 (x)+C33 (x)B.C1 1(x)- 2(x)4-C2 1(x)- 3(
3、x)+C3 2(x)- 3(x)+ 1(x)C.C1 1(x)- 2(x)+C22 (x)+ 3(x)D.8.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 z=z(x，y)由 确定，其中 连续可偏导，则 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 yy“=y2y+y2满足 y(0)=1，y(0)=2 的特解为_。（分数：4.00）填空项 1:_13.设 A，B 为三阶矩阵，AB， 1=-1， 2=1为矩阵 A的两个特征值，又（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体
4、 XN(0，1)，(X 1，X 2，X m，X m+1，X m+n)为来自总体 X的简单随机样本，令 则统计量（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设在-1，1上的连续函数 f(x)满足如下条件：对-1，1上的任意的连续偶函数 g(x)，积分（分数：9.00）_16.设 f(x)C-1，1，且(-1，1)内有 f“(x)0 且 （分数：9.00）_设抛物线 y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a 2)(a0)（分数：11.00）(1).求 S=S(a)的表达式；（分数：5.50）_(2).当
5、 a取何值时，面积 S(a)最小?（分数：5.50）_17.设 ，为几何体 的外侧边界，计算曲面积分 （分数：10.00）_飞机以匀速 沿 y轴正向飞行，当飞机行到原点时被发现，随即从 x轴上点(x 0，y 0)处发射导弹向飞机击去，其中 x00，若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数 2（分数：11.00）(1).求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件；（分数：5.50）_(2).求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T。（分数：5.50）_设 （分数：10.00）(1).求常数 a，b 及 1所对应的特征值；（分数：5.00）_(2).矩阵 A可否相似对角化?若 A
6、可对角化，对 A进行相似对角化；若 A不可对角化，说明理由。（分数：5.00）_18.当常数 a取何值时，方程组（分数：12.00）_设随机变量 X在(1，4)上服从均匀分布，当 X=x(1x4)时，随机变量 y的联合密度函数为 （分数：11.01）(1).求 Y的密度函数；（分数：3.67）_(2).求 X，Y 的相关系数；（分数：3.67）_(3).令 Z=X-Y，求 Z的密度函数（分数：3.67）_设总体 X的分布函数为（分数：11.01）(1).求总体 X的分布律；（分数：3.67）_(2).求参数 的矩估计值；（分数：3.67）_(3).求参数 的极大似然估计值（分数：3.67）_考
7、研数学一-237 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 *2.设 A，B 为 n阶实对称矩阵，则 A，B 合同的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.A与 B相似B.r()=r()C.A，B 的正惯性指数相同D.A，B 与同一个对角阵合同 解析：详解 A，B 合同的充分必要条件是 A，B 的正、负惯性指数相同，(A)只是 A，B 合同的充分条件而非必要条件；A，B 合同，则 r(A)=r(B)，反之不对，因此(B)是 A，B 合同的必要条件；A，B 合同要求正、
8、负惯性指数都相同，(C)不对；当 A，B 合同时，A，B 一定与同一个对角阵合同，反之，若 A，B 与同一个对角阵合同，则 A，B 的正、负惯性指数相同，故 A，B 合同，选(D)3.设 X，y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=-1，D(X)=9，D(Y)=16，且 X，Y 的相关系数为 ，由切比雪夫不等式得 P|X+Y-1|10( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13*4.设 A，B 为 n阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.
9、若 A，B 有相同的特征值，则 ABB.A的特征值中非零特征值的个数与 A的秩相等C.若 AB，则 A，B 与同一个对角阵相似D.若 A可对角化，且 AB，则 A，B 与同一个对角阵相似 解析：详解 令*，显然 A，B 的特征值相同，因为 r(A)=2r(B)=1，所以 A与 B不相似，(A)不对；对*显然 A的特征值为 1= 2= 3=0，而 r(A)=2，选(B)不对；若 AB，若 A不可对角化，则 A，B 不可能与同一个对角阵相似，(C)不对；因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设其为 1， 2， n，因为 A可对角化，所以 A*又因为 AB，所以由相似的传递性知，B*即 A，B相
10、似于同一个对角阵，选(D)5.设随机变量 X，y 相互独立，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 令 Z=X-Y，则*选(B)6.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 当 x0 时，*当 x0 时 f(x)=x因为 f(0+0)=1，*,所以 x=0为 f(x)的第一类间断点，选(B)7.设 1(x)， 2(x)， 3(x)是微分方程 y“+P(x)y+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：4.00）A.C11 (x)+C22 (x)+C33 (x)B.C1 1(x)- 2(x)4-C2 1(x)- 3(x)+C3 2(x)- 3(
11、x)+ 1(x)C.C1 1(x)- 2(x)+C22 (x)+ 3(x)D. 解析：详解 显然 C1 1(x)- 2(x)+C2 1(x)- 3(x)为 y“+P(x)y+Q(x)y=0的通解，*的特解，选(D)8.曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 因为*，所以曲线没有水平渐近线；由*得曲线有两条铅直渐近线；*得曲线有一条斜渐近线，选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *10.设 z=z(x，y)由 确定，其中 连续可偏导，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *(
12、x 2-z2，e z+2y)=0两边对 x求偏导，得*解得*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *12.微分方程 yy“=y2y+y2满足 y(0)=1，y(0)=2 的特解为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 令 y=p，*则有*，因为 y0，所以*，即*，解得 p=y2+C1y，由 y(0)=1，y(0)=2，得 C1=1，即*得*，再由 y(0)=1，得 C2=-ln2,于是所求的解为*13.设 A，B 为三阶矩阵，AB， 1=-1， 2=1为矩阵 A的两个特征值，又（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详
13、解 因为*，所以|B|=3，又因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设 A的另一个特征值为 3，由|A|=|B|= 1 2 3，得 3=-3，因为 A-3E的特征值为-4，-2，-6，所以|A-3E|=-48因为*于是 *14.设总体 XN(0，1)，(X 1，X 2，X m，X m+1，X m+n)为来自总体 X的简单随机样本，令 则统计量（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：t(n-1)）解析：详解 显然*因为*相互独立，所以*因为*与(n-1)S 2都独立，所以*独立，于是*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设在-1，1上的连续函数 f(x)满足如下条件：对-1
14、，1上的任意的连续偶函数 g(x)，积分（分数：9.00）_正确答案：(作变换 x=-t，则*令 h(x)=f(x)+f(-x)，则 h(x)是-1，1上的偶函数，由已知可得*从而有*所以 f(x)+f(-x)=0，f(x)是-1，1上的奇函数)解析：16.设 f(x)C-1，1，且(-1，1)内有 f“(x)0 且 （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：设抛物线 y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a 2)(a0)（分数：11.00）(1).求 S=S(a)的表达式；（分数：5.50）_正确答案：(设另一个切点为*则抛物线 y
15、=x2的两条切线分别为因为 L1L 2，所以*两条切线 L1，L 2的交点为*及抛物线 y=x2所围成的面积为*)解析：(2).当 a取何值时，面积 S(a)最小?（分数：5.50）_正确答案：(*)解析：17.设 ，为几何体 的外侧边界，计算曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：飞机以匀速 沿 y轴正向飞行，当飞机行到原点时被发现，随即从 x轴上点(x 0，y 0)处发射导弹向飞机击去，其中 x00，若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数 2（分数：11.00）(1).求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件；（分数：5.50）_正确答案：(设导弹在时刻的坐标为 A(x
16、(t)，y(t)，其运行轨迹方程为 y=y(x)，在某时刻 t0，飞机的位置为 B(0，t)，因为导弹的速度方向始终指向飞机，从而在 t时刻，导弹运行轨迹曲线的切线斜率*与线段 AB的斜率相等，于是有*两边对 x求导数，得*因为导弹的速度大小为 2，所以*把上式代入(*)，可得*y=y(x)所满足的初始条件为 y(x0)=0，y(x 0)=0)解析：(2).求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T。（分数：5.50）_正确答案：(令*则上式可变为*所以*解得导弹运行的轨迹方程为*当导弹击中飞机时 x=0，代入上式，得*)解析：设 （分数：10.00）(1).求常数 a，b 及
17、1所对应的特征值；（分数：5.00）_正确答案：(根据特征值、特征向量的定义，有 A 1= 1，即*于是有*解得 a=1，b=1，=3，则*)解析：(2).矩阵 A可否相似对角化?若 A可对角化，对 A进行相似对角化；若 A不可对角化，说明理由。（分数：5.00）_正确答案：(由|E-A|=0，得 1= 2=2， 3=3.2E-A=*因为 r(2E-A)=2，所以 A不可对角化。)解析：18.当常数 a取何值时，方程组（分数：12.00）_正确答案：(*若 a=1，则*原方程组的通解为 X=k(-1，0，1) T+(2，-1，0) T(k为任意常数)；若 a1，则*当 a=2时，方程组无解；当
18、 a=-2时，*原方程组的通解为 X=k(1，1，1) T+(2，2，0) T(k为任意常数)。)解析：设随机变量 X在(1，4)上服从均匀分布，当 X=x(1x4)时，随机变量 y的联合密度函数为 （分数：11.01）(1).求 Y的密度函数；（分数：3.67）_正确答案：(随机变量 X的边缘密度函数为*则(X，y)的联合密度函数为*则 Y的边缘密度函数为*当 y0 或 y4 时，f Y(y)=0；当 0y1 时，*)解析：(2).求 X，Y 的相关系数；（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：(3).令 Z=X-Y，求 Z的密度函数（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：设总体 X的分布函数为（分数：11.01）(1).求总体 X的分布律；（分数：3.67）_正确答案：(总体 X的分布律为*)解析：(2).求参数 的矩估计值；（分数：3.67）_正确答案：(E(X)=12+3(1-3)=3-7，*令*得参数 0的矩估计值为*)解析：(3).求参数 的极大似然估计值（分数：3.67）_正确答案：(似然函数为L()= 3(2) 5(1-3) 2lnL()=3ln+5ln2+2ln(1-30)令*得参数 的极大似然估计值为*)解析：
