1、考研数学一-232 及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 则 y(n)为（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 则它们大小次序为 A.MNP； B.NMP； C.PMN； D.PNM（分数：4.00）A.B.C.D.3.微分方程 x2y+xy+y=2sinlnx 应有的特解形式为 A.acoslnx+bsinlnx； B.(acoslnx+bsinlnx)lnx； C.axcoslnx； D.bxsinlnx（分数：4.00）A.B.C.D.4.收敛半径 R=1 是幂级数 （分数：4.00
2、）A.B.C.D.5.设 A 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的对应特征值 的特征向量，且存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，记B 的伴随矩阵为 B*，则AB *有特征值 及对应的特征向量 P-1；BB *有特征值 及对应的特征向量(P *)-1；CB *有特征值 及对应的特征向量 P-1；DB *有特征值 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设有 n 维列向组()： 1， 2， m和()： 1， 2， m(mn)，记矩阵A=( 1， 2， m)和 B=( 1， 2， m)，则下列命题不正确的是 A.当()与()等价时，()与()等秩； B.当()与()等秩时，()与()等价； C
3、.当 A 与 B 等价时，A 与 B 等秩； D.当 A 与 B 等秩时，A 与 B 等价（分数：4.00）A.B.C.D.7.袋内有 7 个球，其中 4 个红球，3 个白球，现不放回地取球，每次取 1 个，记 A=第二次取球才取到白球， B=第二次取球取到的是白球， 则它们的概率分别为 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 XN(a， 2)，YN(b， 2)，且相互独立，现分别从总体 X 和 Y 各抽取容量为 9 和 11 的简单随机样本，记它们的方差为 和 ，并记 )，则上述四个统计量 和 中方差最小者为（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已
4、知 f(x)是连续函数，且满足 （分数：4.00）填空项 1:_10.设二元可微函数 z=z(x，y)是由方程 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设有曲面 S：x 2-y2+z2=x，平面 1： （分数：4.00）填空项 1:_12.设 C 是正向椭圆 4x2+y2=8x，则曲线积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知三阶矩阵 记它的伴随矩阵为 A*，则三阶行列式 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X 是离散型随机变量，其分布函数为 Y 是连续型随机变量，其概率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：93.00)15.设区域 （
5、分数：10.00）_16.设二元函数 （分数：10.00）_17.设数列x n满足 x10， ，求极限（分数：10.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_19.设对于半空间 x0 内任意光滑有向闭曲面 S，都有 其中，函数 f(x)在(0，+)内具有连续的导数，且 （分数：10.00）_20.设方程组 Ax= 有解(1，2，2，1) T和(1，-2，4，0) T，其中，A=( 1， 2， 3， 4)的秩为 3，且 1， 2， 3， 4都是 4 维列向量，求方程组 By= 1+2 2的通解，其中，矩阵 B=( 3， 2， 1，- 4).（分数：11.00）_21.设 f(x1，x 2，x
6、 3)=xTAx，其中，x=(x 1，x 2，x 3)T，（分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率分布为 X0 1 2 3P 22(1-) 21-2()试利用总体 X 的简单随机样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值 ；()设 X1，X 2，X n是来自 X(其未知参数 为()中确定的 （分数：10.00）_考研数学一-232 答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 则 y(n)为（分数：4.00）A.B.
7、C.D.解析：由于*，所以 * 所以选 B 附注要记住公式：*2.设 则它们大小次序为 A.MNP； B.NMP； C.PMN； D.PNM（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于利用对称区间上定积分的性质可得*(被积函数是奇函数)，*(sin3x 是奇函数，cos 4x 是偶函数，在*上 cos4x0，且仅在点*处取等号)，*(x2sin3x 是奇函数，cos 7x 是偶函数，在*且仅在点*处取等号)所以 PMN因此选 C.附注：应记住对称区间上定积分的性质：设 f(x)在-a，a(a0)上连续，则*此外，当 f(x)是非奇非偶函数时有*3.微分方程 x2y+xy+y=2sinlnx
8、应有的特解形式为 A.acoslnx+bsinlnx； B.(acoslnx+bsinlnx)lnx； C.axcoslnx； D.bxsinlnx（分数：4.00）A.B. C.D.解析：令 x=et，则 x2y+xy+y=2sinlnx 成为*所以，原方程有形如 y=t(acost+bsint)=(acoslnx+bsinlnx)Inx 的特解因此选 B.附注：所给微分方程是二阶欧拉方程，令 x=et可以转换成二阶常系数线性微分方程，由此即可确定应具有的特解形式4.收敛半径 R=1 是幂级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：当*的收敛半径为 1 时，它在 x=-1 处可能条件收敛
9、(如*)，也可能不是条件收敛(如*或*)，但当*在点 x=-1 处条件收敛时，它的收敛半径必为 1于是收敛半径为 1 是*在点 x=-1 处条件收敛的必要而非充分条件因此选 B.附注：对于幂级数*，当其收敛半径为 R(正数)时，*在(-R，R)内绝对收敛，但在端点 x=-R，R 处可能收敛(条件收敛或绝对收敛)，也可能发散，应视a n而定。5.设 A 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的对应特征值 的特征向量，且存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，记B 的伴随矩阵为 B*，则AB *有特征值 及对应的特征向量 P-1；BB *有特征值 及对应的特征向量(P *)-1；CB *有特征值
10、及对应的特征向量 P-1；DB *有特征值 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于 B=P-1AP，所以当 A 有特征值 及对应的特征向量为 时，B 有特征值 及对应的特征向量P-1因此由 A 可逆知 B 可逆，所以 B*有特征值*及对应的特征向量 P-1. 因此选 C附注：应记住以下结论：设 A 是 n 阶矩阵，有特征值 及对应的特征向量 ，则 B=P-1AP(P 是 n 阶可逆矩阵)有特征值 和对应的特征向量 P-1；当 A 可逆时，A 的伴随矩阵 A*有特征值*及对应的特征向量 6.设有 n 维列向组()： 1， 2， m和()： 1， 2， m(mn)，记矩阵A=( 1， 2，
11、 m)和 B=( 1， 2， m)，则下列命题不正确的是 A.当()与()等价时，()与()等秩； B.当()与()等秩时，()与()等价； C.当 A 与 B 等价时，A 与 B 等秩； D.当 A 与 B 等秩时，A 与 B 等价（分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于当()与()等价时，()与()等秩；当 A 与 B 等价时，A 与 B 等秩，反之也对，所以选项A、C、D 都正确，因此选 B.附注：当()与()等秩时，()与(n)未必等价，例如， 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0)T， 1=(1，0，0) T， 2=(0，0，1) T显然 r( 1， 2)=r( 1， 2
12、)，但是 2不能由 1， 2线性表示，即 1， 2与 1， 2不等价，由本题可知：题中的()、()等价与 A、B 等价是有区别的，应注意这一点7.袋内有 7 个球，其中 4 个红球，3 个白球，现不放回地取球，每次取 1 个，记 A=第二次取球才取到白球， B=第二次取球取到的是白球， 则它们的概率分别为 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：记 Ci=第 i 次取球取到的是白球(i=1，2)，则*所以*因此选 B.附注：本题有两点值得注意：()第二次取球才取到白球与第二次取球取到的是白球这两个随机事件是有区别的()随机事件第 i 次取球取到白球(i=1，2，3)的概率是相等的，都为*，8
13、.设 XN(a， 2)，YN(b， 2)，且相互独立，现分别从总体 X 和 Y 各抽取容量为 9 和 11 的简单随机样本，记它们的方差为 和 ，并记 )，则上述四个统计量 和 中方差最小者为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于*以*且*所以，四个统计量中方差最小者为*，因此选 D.附注：记住以下结论：设 X1，X 2，X n是来自总体 XN(， 2)的随机样本，记*，S 2=*，则*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)是连续函数，且满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由*得5f(x)-2=f(x)-5e 5x以及 f(0)=1，f(0)=8，
14、所以有*令 x0，由上式得f(0)=5f(0)+55=65）解析：本题也可以解答如下：由于对所给等式两边关于 x 求导得5Sf(x)-2 =f(x)-5e 5x，上式对 x 求导得5f(x)=f(x)-25e 5x，即 f(x)= 5f(x)+25e 5x.于是利用 f(0)=1，f(0)=8 得f(0)=58+251=65.10.设二元可微函数 z=z(x，y)是由方程 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：显然 x=0，y=0 时，所给方程成为*，从而 z(0，0)=0 此外，所给方程两边对 x 求偏导数得 *，即*，且* 从而* *）解析：*也可以由*对 y 求偏导数算
15、出*，然后将 x=y=z=0 代入计算得到但 题解中由*按定义计算*更加快捷些11.设有曲面 S：x 2-y2+z2=x，平面 1： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：设切点为 M(x0，y 0，z 0)，则 S 在点 M 的法向量为(2x 0-1，2y 0，2z 0)，于是由切平面与 1与 2都垂直知*( 为常数)，所以*即*由 MS 知，*，即*，解此方程得*所以切点为*和*，因此所求的切平面方程为*，即*，和*，即*）解析：计算曲面 S 的切平面时，如果未知切点坐标，总是根据有关条件先计算切点坐标，然后写出切平面方程12.设 C 是正向椭圆 4x2+y2=8x，则曲线积分 （
16、分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*(其中，D=(x，y)|4x 2+y28x*(这是由于*的面积=12=2，此外由于 D 关于 x 轴对称，在对称点处 yey2的值互为相反数，所以*)）解析：题解中有两点值得注意： ()当曲线 C 是正向平面闭曲线时，曲线积分*通常用格林公式计算比较快捷. ()对于二重积分，应先利用积分区域的对称性化简以后再行计算，具体说，设 D 满足某种对称性，则二重积分 *其中，D，是 D 按对称性划分成的两部分之一13.已知三阶矩阵 记它的伴随矩阵为 A*，则三阶行列式 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：显然|A|=2，此外，记三阶单位矩阵为 E
17、，则 * 所以* *）解析：计算矩阵的行列式时，以下结论是常用的：设 A、B 都是 n 阶矩阵，则|AB|=|A|B|，|kA|=k n|A|(k 是常数)，|A *|=|A|n-1(n1，A *是 A 的伴随矩阵)，当 A 可逆时，*14.设 X 是离散型随机变量，其分布函数为 Y 是连续型随机变量，其概率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于*，所以 *）解析：由于 F(x)只有间断点 x=0，1，2，所以 X 的分布列为 X 0 1 2PF(0)-F(0-)F(1)-F(1-)F(2)-F(2-)即*三、B解答题/B(总题数：9，分数：93.00)15.设区域 （分数
18、：10.00）_正确答案：(D 如图的阴影部分所示，所以 * * 其中* * 所以*)解析：应记住以下公式设 f1(x)，f 2(x)都是连续函数，且 0f 1(x)f 2(x)(0axb)记 D=(x，y)|0axb，f 1(x)yf 2(x)，则 D 绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积*D 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积*16.设二元函数 （分数：10.00）_正确答案：(n=2 时，由于* * * 所以，此时 f(x，y)在点(0，0)处不连续 n3 时，由于当(x，y)(0，0)时由 * 知*，所以此时 f(x，y)在点(0，0)处连续，因此使 f(x，y)在点(0，0)处连续的最
19、小 n 值为 3 n=3 时，*同样有*由于 * * 所以，此时 f(x，y)在点(0，0)处不可微 n4 时，*，同样有*由 * 知，* 所以，此时 f(x，y)在点(0，0)处可微，因此使 f(x，y)在点(O，0)处可微的最小 n 值为 4)解析：本题的 f(x，y)在点(0，0)处连续或可微都是由定义证明的设二元函数 g(x，y)在点(x 0，y 0)处的某个邻域内有定义，如果*则 f(x，y)在点(x o，y o)处可微17.设数列x n满足 x10， ，求极限（分数：10.00）_正确答案：(由题设知x n是正项数列，且对 n=1，2，有*(当 a，b，c 都为非负数时，*)知x
20、n有下界此时，由 xn1(n=2，3，)知*即x n单调不增因此由数列极限存在准则知*存在，记为 A对所给递推式两边令 n 一取极限得*，即 A=1由此得到*考虑极限*(即将欲求的极限式中的 xn改为 x，则当 n时，x1)：*所以，*)解析：数列极限有两个存在准则：准则 I：设数列x n，y n及z n满足ynx nz n(n=1，2，)，且*，则*准则：设数列x n是由递推式 x1，x n+1=f(xn)(n=1，2，)确定如果x n单调不减有上界或单调不增有下界，则*存在当数列x n由递推式确定时，通常总是利用数列极限存在准则，先确定*存在，然后对所给递推式两边令 n取极限算出极限值18
21、.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(记*，则 * 且当 x=-1，1 时，所给幂级数都成为收敛级数 * 所以所给级数的收敛域为-1，1 对 X-1，0)(0，1有 * * 且当 x=0 时，*，所以所给幂级数的和函数为 *)解析：本题解答有两点值得注意： ()所给幂级数是缺项幂级数，所以应将幂级数记为*然后用比值法确定这个幂级数的收敛域 ()x-1，0)(0，1时*的和函数 s(x)也可计算如下： 由于* * 所以 *19.设对于半空间 x0 内任意光滑有向闭曲面 S，都有 其中，函数 f(x)在(0，+)内具有连续的导数，且 （分数：10.00）_正确答案：(记 S(不妨设其为外侧
22、)围成的空间区域为 ，则由高斯公式得 * 由于 S 是半空间 x0 内任意有向闭曲面，所以由上式得 * 即* 它的通解为* * * (1) 上式两边令 x+取极限，且与题设*比较得 * 所以 C=-1，将它代入式(1)得*)解析：闭曲面上的关于坐标的曲面积分通常用高斯公式计算比较快捷高斯公式为： 设 是光滑或分块光滑有向闭曲面(外侧)，它围成的空间闭区域为 ，P(x，y，z)， Q(x，y，z)，R(x，y，z)都在 上具有连续偏导数，则 *20.设方程组 Ax= 有解(1，2，2，1) T和(1，-2，4，0) T，其中，A=( 1， 2， 3， 4)的秩为 3，且 1， 2， 3， 4都是
23、 4 维列向量，求方程组 By= 1+2 2的通解，其中，矩阵 B=( 3， 2， 1，- 4).（分数：11.00）_正确答案：(由题设知(1，2，2，1) T-(1，-2，4，0)T=(0，4，-2，1) T是方程组 Ax=0 的解，所以有4 2-2 3+ 4=0，即 4=-4 2+2 3.于是由 A=( 1， 2， 3， 4)的秩为 3 知， 1， 2， 3线性无关此外，由题设 =(1，-2，4，0) T是方程组 Ax= 的解得= 1-2 2+4 3，于是方程组 By= 1+2 2，即为( 3， 2， 1， 1-2 2+3 3)y= 1+2 2. (1)由于式(1)的系数矩阵的秩为 3，
24、且对应的齐次方程组有基础解系(3，-2，1，-1) T此外，式(1)有特解(-3，4，0，1) T所以方程组 By= 1+2 2的通解为y=C(3，-2，1，-1) T+(-3，4，0，1) T(其中，C 是任意常数)解析：要记住齐次线性方程组 Ax=0(其中，A 是 mn 矩阵，x 是 n 维未知列向量)的 基础解系中所包含的线性无关的解向量个数为 n-r(A)21.设 f(x1，x 2，x 3)=xTAx，其中，x=(x 1，x 2，x 3)T，（分数：11.00）_正确答案：()由于*所以 f(x1，x 2，x 2)的矩阵*由于 B 有特征值为 =0，1，4，所以有*即 a=3，b=1.
25、()由以上计算知*设 B 对应 =0 的特征向量为 =(a 1，a 2，a 3)，则 满足* (1)由于*所以式(1)与方程组*同解，可取它的基础解系为 ，即 =(1，0，-1) T设 B 对应 =1 的特征向量为 =(b 1，b 2，b 3)T，则 满足* (2)由于*所以式(2)与方程组*同解，可取它的基础解系为 ，即 =(-1，1，-1) T设 B 对应 =4 的特征向量为 =(c 1，c 2，c 3)T，则 与 ， 都正交，于是有*可取它的基础解系为 ，即 =(1，2，1) T显然 ， 两两正交，现将它们单位化，*记 Q=( 1， 2， 3)(正交矩阵)，则 x=Qy，即*使得*(标准
26、形)解析：题中的 A 不是实对称矩阵，所以要用正交变换将 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 化为标准形，必须首先将f(x1，x 2，x 3)改写成 xTBx(其中，B 是实对称矩阵)此外，要熟练掌握，用正交变换把二次型化成标准形的方法22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()由于当 y0 时， * 所以，* ()*，其中， *)解析：对于二维连续型随机变量(X，Y)，必须掌握其两种条件概率 P(Xa|Yb)和 P(Xa|Y=b)的计算方法23.设总体 X 的概率分布为 X 0 1 2 3P 22(1-) 2 1-2()试利用总体 X 的简单随机样本值
27、3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值 ；()设 X1，X 2，X n是来自 X(其未知参数 为()中确定的 （分数：10.00）_正确答案：()由于 EX=0 2+12(1-)+2 2+3(1-2)=3-4.样本值的平均值*所以由矩估计法，令*，即 3-4=2 得 的矩估计值*()由题设知*所以对于任意实数 y，由中心极限定理(具体是棣莫弗-拉普拉斯定理)得* (1)因此，所求的参数为*)解析：计算关于随机变量 XN(， 2)的概率问题时，总是引入标准化随机变量 X0=*，则 X0N(0，1)(标准正态分布)，于是 X 的分布函数*(其中，()是标准正态分布函数)，即*由此可知，当*时，XN(a，b 2)本题中的参数就是如此得到的
