1、考研数学一-231 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.方程 2x-x2-1=0 的不同实根个数为 A.1； B.2； C.3； D.4（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设a n是单调减少收敛于零的正项数列，则当级数 发散时，下列结论正确的是A级数 收敛，而级数 发散；B级数 发散，而级数 收敛；C级数 收敛；D级数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 是半球面 x2+y2+z2=4(z0)的上侧，则关于坐标的曲面积分 +zdxdy 等于（
2、分数：4.00）A.B.C.D.5.设向量组 ， 线性无关，向量组 ， 线性相关，则 A. 可由 ， 线性表示； B. 可由 ， 线性表示； C. 不可由 ， 线性表示； D. 不可由 ， 线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是 n 阶矩阵及命题A 有 n 个不同的特征值；A 有 n 个线性无关的特征向量；A 是实对称矩阵；A 的每个 ni重特征值 i的特征矩阵 iE-A 都满足 r( iE-A)=n-ni(其中，E 是 n 阶单位矩阵)，则 A 可相似对角化的充分必要条件是 A.； B.； C.； D.（分数：4.00）A.B.C.D.7.下列命题中不正确的是A设二维随机变
3、量(X，Y)在矩形区域(x，y)|axb，cyd上服从均匀分布，则 X 与 Y 相互独立；B设二维随机变量(X，Y)的概率密度（分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 XN( 1， 2)，YN( 2， 2)，它们相互独立，又设 X1，X 2，X n，和 Y1，Y 2，Y n2是分别来自 X 和 Y 的简单随机变量，记则 DZ 为A 2； BC D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设极限 ，则极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 z=f(x+y，yg(x)，其中，f 具有二阶连续偏导数，曲线 w=g(x)在点(0，1)处的切线方程
4、为w=1+x，且 f(u，v)的各阶偏数在 u=v 处的值都为 1，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.曲面 z=x2+y2被上半球面 x2+y2+z2=2(z0)截下部分 的面积为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 其余弦级数与正弦级数的和函数分别为 S1(x)与 S2(x)，则 51(-1)与 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A，B 分别为二阶与四阶矩阵，且 r(A)=1，r(B)=2，A *，B *分别是 A 与 B 的伴随矩阵，则（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从参数为 1 的指数分布，即它们的概率密度都为 （分数
5、：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 y(x)在0，+)上有连续导数，且满足（分数：10.00）_16.求函数 f(x，y，z)=2x+2y+x 2+y2-z2在 ：x 2+y2+z21 上的最大值与最小值（分数：10.00）_17.证明：当 （分数：10.00）_18.设 求级数 （分数：10.00）_19.计算曲线积分 其中，C 为曲线 （分数：10.00）_20.已知线性方程组 有无穷多解 ()求非零常数 a 的值； ()对上述算得的 a 值，求方程组(A)与(B) （分数：11.00）_21.设 A 是三阶实对称矩阵，其秩为 2，且满足
6、（分数：11.00）_22.设二维随机变量(U，V)的概率密度为 又设 X 与 Y 都是离散型随机变量，其中 X 只取-1，0，1 三个值，Y 只取-1，1 两个值，且 EX=0.2，EY=0.4，P(X=-1，Y=1)=P(X=1，Y=-1)=P(X=0，Y=1)= （分数：11.00）_23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为其中， 是未知参数，又设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，()计算 的矩估计量 ，并判断 是否为无偏估计量；()求 （分数：11.00）_考研数学一-231 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style
7、-typ(总题数：8，分数：32.00)1.方程 2x-x2-1=0 的不同实根个数为 A.1； B.2； C.3； D.4（分数：4.00）A.B.C. D.解析：显然 x=0，1 都是方程的实根记 f(x)=2x-x2-1，则 f(x)连续，且*所以由零点定理推广形式知所给方程 f(x)=0 在(2，+)上有实根，记为 x0如果方程 f(x)=0 还有不同实根 x1，不妨 x1x 0，则由 f(x)可导，且 f(0)=f(1)=f(x0)=f(x1)及罗尔定理(高阶导数形式)知，存在 (0，x 1)，使得* (1)另一方面，计算 f(x)的三阶导数得* (2)式(1)与式(2)矛盾知，方程
8、 2x-x2-1=0 除实根 0，1，x 0外别无其他实根，因此选 C.附注：()零点定理的一种推广形式设函数 f(x)在a，+)上连续，且*，则存在 (a，+)，使得 f()=0()罗尔定理的高阶导数形式设函数 f(x)在(a，b)内二阶可导，且有 x1，x 2，x 3(a，b)(其中，x 1x 2x 3)，使得 f(x1)=f(x2)=f(x3)，则存在 (a，b)，使得 f()=0设函数 f(x)在(a，b)内三阶可导，且有 x1，x 2，x 3，x 4(a，b)(其中，x 1x 2x 3x 4)，使得 f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则存在 (a，b)，使得*2.设 ，
9、则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：由于*所以 * 因此选 A 附注：同样可以计算*具体如下： 由于*所以 * *3.设a n是单调减少收敛于零的正项数列，则当级数 发散时，下列结论正确的是A级数 收敛，而级数 发散；B级数 发散，而级数 收敛；C级数 收敛；D级数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由a n是单调减少收敛于零的正项数列知*收敛，所以对它两项两项地加括号所得级数*收敛，因此选 D.附注：本题获解的关键是，由莱布尼茨定理确定*收敛，此外，应记住以下的收敛级数性质：设*收敛，则对它任意加括号所得级数仍收敛，但反之未必正确，即级数*任意加括号后所得的级数收敛时，原级
10、数未必收敛4.设 是半球面 x2+y2+z2=4(z0)的上侧，则关于坐标的曲面积分 +zdxdy 等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于*所以选 C.附注：题中计算*时，需用平面 x=0 将 划分成两部分： 1:x=*(前侧)与*(后侧)，它们在 y0。平面的投影都为 Dyz5.设向量组 ， 线性无关，向量组 ， 线性相关，则 A. 可由 ， 线性表示； B. 可由 ， 线性表示； C. 不可由 ， 线性表示； D. 不可由 ， 线性表示（分数：4.00）A.B. C.D.解析：由 ， 线性无关知 ， 线性无关，从而由 ， 线性相关知 可由 ， 线表示，即 可由 ， 线性表示因此
11、选 B.附注：关于向量组的线性相关性的以下结论应记住：()设向量组(A)： 1， 2， m，如果(A)线性无关，则它的任一部分组也线性无关；如果(A)的某一部分组线性相关，则(A)线性相关()设向量组(A)： 1， 2， m，如果(A)线性相关，则至少存在一个向量可用其余向量线性表示；如果(A)线性相关，但 1， 2， m线性无关，则 可由 1， 2， n线性表示，且表示式是唯一的6.设 A 是 n 阶矩阵及命题A 有 n 个不同的特征值；A 有 n 个线性无关的特征向量；A 是实对称矩阵；A 的每个 ni重特征值 i的特征矩阵 iE-A 都满足 r( iE-A)=n-ni(其中，E 是 n
12、阶单位矩阵)，则 A 可相似对角化的充分必要条件是 A.； B.； C.； D.（分数：4.00）A.B.C. D.解析：都是 A 可相似对角化的充分必要条件，因此选 C.附注：应记住以下的结论：设 A 是 n 阶矩阵，则“A 有 n 个线性无关的特征向量”，或“A 的每个 ni重特征值 i的特征矩阵 iE-A(其中，E 是 n 阶单位矩阵)都满足 r( iE-A)=n-ni”，都是 A 可相似对角化的充分必要条件，而 A 有 n个不同的特征值，或 A 是实对称矩阵，则是 A 可相似对角化的充分而非必要条件7.下列命题中不正确的是A设二维随机变量(X，Y)在矩形区域(x，y)|axb，cyd上
13、服从均匀分布，则 X 与 Y 相互独立；B设二维随机变量(X，Y)的概率密度（分数：4.00）A.B.C. D.解析：对于选项 C，(X，Y)的概率密度*它的关于 x 与 y 的边缘概率密度分别为*显然 fX(X)fY(Y)=f(x，y)不是几乎处处成立的，所以 X 与 Y 不相互独立，因此选 C附注：应记住选项 A，B，C 的结论8.设总体 XN( 1， 2)，YN( 2， 2)，它们相互独立，又设 X1，X 2，X n，和 Y1，Y 2，Y n2是分别来自 X 和 Y 的简单随机变量，记则 DZ 为A 2； BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于*，且*与*相互独立，所以
14、由 2分布的可加性得*于是*因此选 D.附注：要记住以下的关于 2分布的结论：()设 (n)，则 EX=n，DX =2n；()设 2(n1)，Y 2(n2)且它们相互独立，则 X+Y 2(n1+n2)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设极限 ，则极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由*知*，从而 *）解析：类似地可考虑： 设*，求*具体计算如下： 由*得*由此可得*，从而有*以及*，即* 所以，*10.设函数 z=f(x+y，yg(x)，其中，f 具有二阶连续偏导数，曲线 w=g(x)在点(0，1)处的切线方程为w=1+x，且 f(u，v)的各阶偏数在 u=v 处的
15、值都为 1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由*得*(利用 g(0)=g(0)=1) *(利用*)， 所以，*）解析：由于*，所以可先算出*，记为 (y)，然后计算*即得*，这样计算比先算出*，然后将x=0，y=1 代入计算*快捷11.曲面 z=x2+y2被上半球面 x2+y2+z2=2(z0)截下部分 的面积为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于曲面 z=x2+y2与 x2+y2+z2=2(z0)的交线为*即*所以 在 xOy 平面的投影为 D=(x，y)|x 2+y21，从而 的面积*）解析：顺便计算上半球面 x2+y2+z2=2(z0)位于曲面 z=x2
16、+y2之内部分 1的面积 S1：*12.设函数 其余弦级数与正弦级数的和函数分别为 S1(x)与 S2(x)，则 51(-1)与 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：将 f(x)偶延拓为周期是 2 的周期函数f 1(x)，其中在-1，1上*所以，*将 f(x)奇延拓为周期为 2 的周期函数 f2(x)，其中在(-1，1上*所以*(由于 S2是以 2 为周期的周期函数)*）解析：应记住：要计算 f(x)(0xl)的余弦级数(正弦级数)时，应将 f(x)作偶延拓(奇延拓)此外应掌握用狄利克雷收敛定理计算函数的傅里叶级数的和函数的方法13.设 A，B 分别为二阶与四阶矩阵，且 r(A)=1
17、，r(B)=2，A *，B *分别是 A 与 B 的伴随矩阵，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于*其中，A 是二阶矩阵，所以当 r(A)=1 时，r(A *)=1；B 四阶矩阵，所以当 r(B)=2 时，r(B *)=0从而*）解析：应记住以下公式：设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，则*14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从参数为 1 的指数分布，即它们的概率密度都为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：P(maxX，Y1)=P(X1，Y1) *）解析：应记住以下公式：设随机变量 X、Y 相互独立，它们的分布函数分别为 FX(x)与 FY(y
18、)，则Z1=maxX，Y的分布函数 FZ1(z)=FX(z)FY(z)；Z2=minX，Y的分布函数 FZ2(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 y(x)在0，+)上有连续导数，且满足（分数：10.00）_正确答案：(y(0)=1，此外， 由*得 * 所以*，从而*将 y(0)=1 代入得 C=1因此*从而 *)解析：对*求导时，必须首先将被积函数中的 x 提到积分号之外，故将它改写成 *16.求函数 f(x，y，z)=2x+2y+x 2+y2-z2在 ：x 2+y2+z21 上的最大值与最小值（分数：10.00）_正确答案：(由
19、于*所以方程组*即*在 内部无解，即 f(x，y，z)在 内部无可能极值点，下面计算 f(x，y，z)在 的表面上的最值记 F(x，y，z)=2x+2y+x 2+y2-z2+(x 2+y2+z2-1)，贝 0*于是方程组*即*由式(1)与式(2)知 x=y，由式(3)知 z=0 或 =1将 x=y，z=0 代入式(4)得*这时可能极值点为*和*将 x=y，=1 代入式(1)、式(2)得*，将它们代入式(4)得*这时可能极值点为*由于*所以 f(x，y，z)在力上的最大值为*，最小值为-2)解析：计算三元函数 f(x，y，z)在有界闭区域 上的最值，通常可按以下步骤进行：()计算 f(x，y，z
20、)在 内部的所有可能极值点，记为 M1，M 2，M n()计算 f(x，y，z)在 的边界上的最值(通常使用拉格朗日乘数法)，记最大值为 M，最小值为 m()比较 f(M1)，f(M 2)，f(M n)，M，m 的大小，则最大者与最小者，分别为 f(x，y，z)在 上的最大值与最小值17.证明：当 （分数：10.00）_正确答案：(记 f(x)=2sinx+tanx-3x，则f(x)=2cosx+sec 2x-3=tan2x-2(1-cosx)*即 f(x)在*内单调增加，所以，对*，有*，即 2sinx+tanx3x.)解析：要证明函数不等式 f(x)g(x)(X (a，b)(其中，f(x)
21、与 g(x)在(a，b)内可导)，总是按以下步骤进行：()作辅助函数 (x)=f(x)-g(x)；()计算 (x)如果 ()0(x(a，b)，且*，则有(x)0，即 f(x)g(x)(x(a，b)如果 (x)0(x(a，b)，且*，则有(x)0即 f(x)g(x)(x(a，b).如果*且 (x 0)=C0，则有(x)0，即 f(x)g(x)(x(a，b).18.设 求级数 （分数：10.00）_正确答案：(* * 由于当|x|1 时有 * 所以，* *)解析：利用幂级数计算级数*和的步骤如下：()构造幂级数*()计算上述幂级数的收敛域 与和函数 S(x)，()如果 x0，则*本题就是如此计算的
22、19.计算曲线积分 其中，C 为曲线 （分数：10.00）_正确答案：(C 如图所示的*，其中，A=(-a，0)，B=(a，0)*作正向闭曲线*，其中，*是位于 x 轴上的线段，*是上半圆 x2+y2= 2(y0)， 是充分小的正数，使得*位于*下方，记上述闭曲线围成的区域为 D，则由格林公式得*(这里将*的参数方程*代入曲线积分*其起点参数为 ，终点参数为 0)解析：由于 C 不是闭曲线，不能直接应用格林公式计算所给的曲线积分，所以要添上一段曲线 C1，使之成为正向闭曲线 ，这里对 C1有以下要求：()要求*在 围成的闭区域上具有连续的偏导数；()要求在 C1上的曲线积分比较容易计算题中所取
23、的 C1(即*)就是按此要求确定的20.已知线性方程组 有无穷多解 ()求非零常数 a 的值； ()对上述算得的 a 值，求方程组(A)与(B) （分数：11.00）_正确答案：()方程组(A)的增广矩阵 * 所以，线性方程(A)有无穷多解时，有 a+1=0，即 a=-1 ()当a=-1 时，方程组(A)与(B)组成的方程组化简后为 * 对(C)的增广矩阵施行初等行变换： * 由此可知，有公共解时*即*公共解为*)解析：设方程组 A1x=b1，A 2x=b2(其中 A1，A 2分别是 m1n 与 m2n 矩阵，b 1，b 2分别是 m1维与 m2维列向量，则这两个方程组有公共解的充分必要条件为
24、方程组、*有解21.设 A 是三阶实对称矩阵，其秩为 2，且满足（分数：11.00）_正确答案：()由*得*所以，矩阵 A 有特征值 =-1，1由 r(A)=2 知 A 还有特征值 =0. 显然对应 =-1，1 分别有特征向量 1=(1，0，-1) T和 2=(1，0，1) T设对应 =0 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，则 3与 1， 2都正交，故有*即*所以可取 3=(0，1，0) T显然 1， 2， 3是正交向量组，现将它们单位化得*记 Q=( 1， 2， 3)(正交矩阵)，则*于是*从而按伴随矩阵的定义得*()显然|Q|=-1，所以 Q*=|Q|Q-1=-QT，因此QTA
25、*A=-Q*A*(-QT)*=(QTAQ)+.于是 QT(A*+A)Q=QTA*Q+QTAQ=(QTAQ)*+QTAQ* (1)由此可知，取 C=Q，则在正交变换 x=Cy=Qy 下，二次型 f(x1，x 2，x 3)化为标准形*)解析：题解中有两点值得注意：()由于|A|=0，所以不能由 A 的特征值与 A*的特征值的关系计算 A*的特征值，从而要算出 A*，必须按伴随矩阵的定义计算()利用式(1)的推演知，实对称矩阵 A*+A 可利用 Q 相似对角化，由此得到 C 和 f(x1，x 2，x 3)的标准形，计算比较快捷当然 C 也可由*直接计算得到22.设二维随机变量(U，V)的概率密度为
26、又设 X 与 Y 都是离散型随机变量，其中 X 只取-1，0，1 三个值，Y 只取-1，1 两个值，且 EX=0.2，EY=0.4，P(X=-1，Y=1)=P(X=1，Y=-1)=P(X=0，Y=1)= （分数：11.00）_正确答案：()由于(U，V)关于 U 的边缘概率密度为*所以，* (1)其中，*(其中，D 如图的阴影部分所示的梯形)*所以，由式(1)得，*于是 P(X=-1，Y=1)=P(X=1，Y=-1)=P(X=0，Y=1)=0.25记(X，Y)的概率分布为*则*即*所以 P1=0，P 2=0.05，P 3=0.2因此(X，Y)的概率分布为()Cov(X，Y)=E(XY)-EXE
27、Y，其中 E(XY)=(-1)(-1)0+(-1)10.25+0(-1)0.05+010.25+1(-1)0.25+110.2=-0.3，所以，Cov(X，Y)=-0.3-0.20.4=-0.38.)解析：本题是连续型随机变量与离散型随机变量结合的综合题，需计算许多元素，因此对题目审视后应确定计算各个元素的先后顺序：先计算*，为此需先算出关于 U 的边缘概率密度 fU(u)；然后确定(X，Y)的概率分布表，将已知的概率填入，将于未知的概率用 P1，P 2，P 3等表示，并利用已知条件逐一确定这些未知的概率最后根据(X，Y)的概率分布算出 Cov(X，Y).23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为其中， 是未知参数，又设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，()计算 的矩估计量 ，并判断 是否为无偏估计量；()求 （分数：11.00）_正确答案：()由于关于 X 的边缘概率密度为 * 其中，*，所以 * 由于*所以由矩估计法，令*即*由此得到 的矩估计量为* 由于*，所以*是无偏估计量 ()* 其中，*所以 *)解析：要熟练掌握末知参数的两种点估计方法：矩估计法与最大似然估计法.
