1、考研数学一-226 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列级数中属于条件收敛的是（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知 4 维列向量 1， 2， 3线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1， 2， 3均正交，则秩r( 1， 2， 3， 4)=（分数：4.00）A.1B.2C.3D.44.定积分（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X 与 Y 具有相同的分布函数 F(x)，随机变量 Z=X+Y 的分布函数为 G(x)，则对
2、任意实数 x，必有（分数：4.00）_7.设流体的流速 v=(x2+y2)j+(z-1)k，为锥面 取下侧，则流体穿过曲面的体积流量是（分数：4.00）A.B.C.D.8.进行一系列独立重复试验，假设每次试验的成功率都是 p(0P1)，则在试验成功 3 次前至少失败 2次的概率 =（分数：4.00）_二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.若 f(cosx+2)=tan2x+3sin2x，且 f(0)=8，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.设曲线 C： 取逆时针方向，则 （分数：
3、4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.某单位员工中有 90%的人是基民(购买基金)，80%的人是炒股的股民，40%的人是炒汇的汇民，则该单位员工中既是股民又是汇民的员工所占的比例至少是_；在股民中基民所占的比例至少是_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有()求 f(1)及 （分数：11.00）_16.已知 是某二阶线性常系数微分方程 y“+py+qy=f(x) 的三个特解()求这个方程和它的通解；()设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求
4、 （分数：11.00）_17.设 f(x，y)在全平面有三阶连续偏导数，并满足试求：() （分数：11.00）_18.求 （分数：11.00）_19.求柱面 x2+y2=ax 含于球面 x2+y2+z2=a2内的曲面面积 A（分数：11.00）_20.已知向量 =(a 1，a 2，a 3，a 4)T可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0) T， 3=(0，2，-1，-3)T， 4=(0，0，3，3) T线性表出()求 a1，a 2，a 3，a 4应满足的条件；()求向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；()把向量 分别用
5、1， 2， 3， 4和它的极大线性无关组线性表出（分数：11.00）_21.已知矩阵 和 （分数：11.00）_22.设随机变量 Xi-N(0，1)，i=1，2，3，4 且 X1，X 2，X 3，X 4相互独立，令 ，试分别计算随机变量Y1，Y 2，Y 3的概率密度（分数：11.00）_23.设总体 X 服从正态分布 N(，1)，X 1，X 2，X9 是取自总体 X 的简单随机样本，要在显著性水平=0.05 下检验H0：= 0=0， H 1:0，如果选取拒绝域 .()求 c 的值；()若样本观测值的均值 则在显著性水平 =0.05 下是否可据此样本推断 =0?()若选取拒绝域 （分数：6.00
6、）_考研数学一-226 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列级数中属于条件收敛的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析一 (A)，(B)，(C)不是条件收敛*其中，*发散*发散*其中，*均收敛*绝对收敛*(C)绝对收敛因此应选(D)分析二 直接证明(D)条件收敛*自调下降趋于零(n+)*交错级数*收敛又*而*条件收敛故应选(D)评注 *2.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 三个平面两两相交，说明方程组*必无解因此 r( 1， 2， 3)r( 1， 2， 3， 4)，可排除(D)而 r( 1， 2， 3
7、)=1，说明三个平面的法向量共线，因此这三个平面必平行或重合，可排除(A)当三个平面两两相交成三条平行直线时，这三个平面的法向量是共面且互不平行的即(a 1，b 1，c 1)，(a2，b 2，c 2)，(a 3，b 3，c 3)共面且互不平行因此*且任两行不成比例从而秩 r( 1， 2， 3)=2但当 r( 1， 2， 3)=2 时，不能保证任意两个平面不平行，故(B)是必要条件由排除法可知，应选(C)3.已知 4 维列向量 1， 2， 3线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1， 2， 3均正交，则秩r( 1， 2， 3， 4)=（分数：4.00）A.1 B.2C.3D.4解析：分
8、析 设 1=(a11，a 12，a 13，a 14)T， 2=(a21，a 22，a 23，a 24)T， 3=(a31，a 32，a 33，a 34)T，那么 i与 1， 2， 3均正交，即内积*亦即 j(j=1，2，3，4)是齐次方程组*的非零解由于 1， 2， 3线性无关，故系数矩阵的秩为 3所以基础解系有 4-3=1 个解向量从而r( 1， 2， 3， 4)=1故应选(A)4.定积分（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 先配方后分段积分，即*作平移变换，令 t=x-1 得*其中，*因此*故选(B)*5.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 求 f(x)，分析其单
9、调性区间由于*因此 x=-1 是 f(x)的最小值点，且*由连续函数的介值定理，在(-，-1)与(-1，+)内必存在 f(x)的零点又因 f(x)在(-，-1)与(-1，+)均单调，所以在每个区间上也只能有一个零点因此，f(x)在(-，+)恰有两个零点故应选(C)6.设随机变量 X 与 Y 具有相同的分布函数 F(x)，随机变量 Z=X+Y 的分布函数为 G(x)，则对任意实数 x，必有（分数：4.00）_解析：分析 由于 G(+)=1，F(+)=1，故(A)、(D)必不成立又G(2x)=PZ2x=PX+Y2xP(Xx)(Yx)PXx+PYx7.设流体的流速 v=(x2+y2)j+(z-1)k
10、，为锥面 取下侧，则流体穿过曲面的体积流量是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 该流体穿过的体积流量是*方法 1 用高斯公式，不封闭，添加辅助面 1：a=1(x 2+y21)，法向量朝上，与 1围成区域 ，取外侧注意 1与 zOx 平面垂直*又在*在 上用高斯公式*这里， 关于 zOx 平面对称，2y 对 y 为奇函数，*圆锥体 的体积故应选(B)方法 2 直接计算，并对第二类面积分利用对称性关于 zOx 平面对称，x 2+y2对 y 为偶函数*故应选(B)方法 3 直接投影到 xOy 平面上代公式由的方程在 xOy 平面的投影区域*这里由于 Dxy关于 x 轴对称，*对 y 为奇
11、函数，所以*故应选(B)8.进行一系列独立重复试验，假设每次试验的成功率都是 p(0P1)，则在试验成功 3 次前至少失败 2次的概率 =（分数：4.00）_解析：分析 设 X 表示试验成功 3 次之前已经失败的次数，则 X 的取值为 0，1，2，PX=0=P试验 3 次均成功=p 3，PX=1=P试验 4 次且前 3 次中有 1 次失败，第 4 次成功*=PX2=1-PX=0-PX=1二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *评注 *10.若 f(cosx+2)=tan2x+3sin2x，且 f(0)=8，则 f(
12、x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 令*cosx=t-2，cos 2x=(t-2)2，sin2x=1-(t-2)2，tan 2x=(t-2)-2-1*f(t)=(t-2)-2-1+3-3(t-2)2=2+(t-2)-2-3(t-2)2*f(t)=2t-(t-2)-1-(t-2)3+C*由*因此*11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f(x 2y，e x2y)(2xydx+x2dy)）解析：分析一 这是一元函数*与二元函数(u=x 2y)的复合函数，由一阶全微分形式的不变性*分析二 先求偏导数：*于是*12.设曲线 C： 取逆时针方向，则 （分
13、数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：216）解析：分析 先用曲线方程化简被积函数：*方法 1 再用参数方程化为定积分：x=2cost，y=3sint，t0，2，则有*=366(0+)=216方法 2 为了去掉绝对值，把 C 分成两段：C i(i=1，2)，分别位于上半平面与下半平面，并配上坐标轴部分，分别构成闭曲线 Li(i=1，2)，均为逆时针方向，见图*其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了Li围成的区域记为 Di(i=1，2)，它们的面积相等为 3在 Di上用格林公式得*方法 3 直接利用对称性C 关于 x 轴对称，P(x，y)=|y|对 y 为偶函数，则*于是原积分*(用格林
14、公式)评注 注意第一、二类贡线积分有不同择称性质，若熟悉，则利用它解此题最简便.在方法 1中利用了周期函数与奇偶函数的定积分性质.13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于 A(A2)2=A5，故 A=(A2)2-1A5=(A2)-1A5而*所以*注意*本题中计算出*更简捷一些14.某单位员工中有 90%的人是基民(购买基金)，80%的人是炒股的股民，40%的人是炒汇的汇民，则该单位员工中既是股民又是汇民的员工所占的比例至少是_；在股民中基民所占的比例至少是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.2；0.875）解析：分析 设事件 A、B、C 分
15、别表示员工是基民、股民与汇民，依题意 P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.4，又 P(BC)=P(B)+P(C)-P(BC)，于是P(BC)=P(B)+P(C)-P(BC)0.8+0.4-1=0.2类似地， P(AB)P(A)+P(B)-1=0.7，因此*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有()求 f(1)及 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()由条件知*又在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin2x0，现利用等价无穷小因子替换：当 x0 时，ln1+f(x+1)+3sin2xf(x+1)+3si
16、n 2x，*()方法 1 *由*在 x=1 的某邻域内可导*f“(1)=-2方法 2 用泰勒公式先由一阶泰勒公式得*f(1)=0当 f“(1)存在时，可用二阶泰勒公式得*f“(1)=-2() 由*及极限的不等式性质知，*当 0|x| 时*即 f(x+1)0=f(1)*x=1 是 f(x)的极大值点)解析：评注 题()是按定义判断函数 f(x)在某点取极具值，不能用题()的结论.因为在题()中未假设 f(x)在点 x=0 处二阶可导.若又假设 f(x)在 x=1 处二阶可导，则就可用题()的结论得知，f(x)在点x=1 处取极大值.16.已知 是某二阶线性常系数微分方程 y“+py+qy=f(x
17、) 的三个特解()求这个方程和它的通解；()设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()由线性方程解的叠加原理*均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的于是相应的特征方程为(+2) 2=0，即 2+4+4=0，原方程为 y“+4y+4y=f(x) (*)又 y*(x)=xe-x是它的特解，求导得y*(x)=e-x(1-x)， y *“(x)=e-x(x-2)代入方程(*)得e-x(x-2)+4e-x(1-x)+4xe-x=f(x)*f(x)=(x+2)e-x*所求方程为 y“+4y+4y=(x+2)e -x，其通解为y
18、=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中 C1，C 2为常数()*方程的任意解 y(x)均有*不必由初值来定 C1，C 2，直接将方程两边积分得*)解析：17.设 f(x，y)在全平面有三阶连续偏导数，并满足试求：() （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()先求*1 由*将第一式对 x 积分得*2 由*将第一式对 x 积分得*()由*将第一式对 x 积分得*因此求得*)解析：18.求 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解一 记*引入幂级数，把求数值级数的和 S 转化为求幂级数的和令*再求*幂级数与有相同的收敛半径*注意幂级数当 x=1 时收复敛，又和函数S(x)在 x
19、=1 连续，由幂级数在收敛区间端点的性质*分析与求解二 先对*作分解，即*为求*引入幂级数*则*因此，*)解析：19.求柱面 x2+y2=ax 含于球面 x2+y2+z2=a2内的曲面面积 A（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解一 由对称性只需考虑第一卦限部分。将柱面方程表成 y 为 x 的函数是方便的：*于是*D 是这部分柱面在 Ozx 平面的投影区域，求出 D 的关键是求柱面与球面的交线在 Ozx 平面的投影曲线见图*柱面与球面的交线为*它在 Ozx 平面上的投影曲线为抛物线 z2=a2-ax，它与 Ox 轴，Oz 轴围成区域 D，则所求曲面面积为*分析与求解二 同样，由对称性只需
20、考虑第一卦限部分利用柱面被曲面所截部分的面积公式得*其中 L：x 2+y2=ax(0xa，y0)，即*因为*所以*)解析：20.已知向量 =(a 1，a 2，a 3，a 4)T可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0) T， 3=(0，2，-1，-3)T， 4=(0，0，3，3) T线性表出()求 a1，a 2，a 3，a 4应满足的条件；()求向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；()把向量 分别用 1， 2， 3， 4和它的极大线性无关组线性表出（分数：11.00）_正确答案：(解 () 可由 1， 2， 3， 4线性表
21、出，即方程组 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4= 有解对增广矩阵作初等行变换，有*所以向量 可以由 1， 2， 3， 4线性表出的充分必要条件是：a 1-a2+a3-a4=0()向量组 1， 2， 3， 4的极大线性无关组是： 1， 2， 3，而 4=-6 1+6 2-3 3()方程组的通解是：x1=a1-a2+2a3-6t，x 2=a2-2a3+6t，x 3=a3-3t，x 4=t，其中 t 为任意常数，所以 =(a 1-a2+2a3-6t) 1+(a2-2a3+6t) 2+(a3-3t) 3+t 4，其中 t 为任意常数由把 4 代入，得=(a 1-a2+2a3) 1+(a2-2a3
22、) 2+a3 3)解析：21.已知矩阵 和 （分数：11.00）_正确答案：(解 由矩阵 A 的特征多项式*得到矩阵 A 的特征值是 1=3， 2= 3=-1由矩阵 B 的特征多项式*得到矩阵曰的特征值也是 1=3， 2= 3=-1当 =-1 时，由秩*知(-E-A)x=0 有 2 个线性无关的解，即 =-1 时矩阵 A 有 2 个线性无关的特征向量，矩阵 A 可以相似对角化而(-E-B)x=0 只有 1 个线性无关的解，即 =-1 时矩阵 B 只有 1 个线性无关的特征向量，矩阵 B 不能相似对角化因此矩阵 A 和 B 不相似评注 假若已知条件中矩阵 B 是实对称矩阵，则当判断出矩阵 A 不
23、能对角化以后，可以不必再去求矩阵B 的特征值而立即断言矩阵 A 和 B 不相似.(利用实对称矩阵必可相似对角化)解析：22.设随机变量 Xi-N(0，1)，i=1，2，3，4 且 X1，X 2，X 3，X 4相互独立，令 ，试分别计算随机变量Y1，Y 2，Y 3的概率密度（分数：11.00）_解析：23.设总体 X 服从正态分布 N(，1)，X 1，X 2，X9 是取自总体 X 的简单随机样本，要在显著性水平=0.05 下检验H0：= 0=0， H 1:0，如果选取拒绝域 .()求 c 的值；()若样本观测值的均值 则在显著性水平 =0.05 下是否可据此样本推断 =0?()若选取拒绝域 （分数：6.00）_正确答案：(依题意 H0：= 0=0，H 1：0，由于总体方差*已知，我们选取检验的统计量为*在 H0成立条件下，*由于 =0.05，可知 P|U|1.96=0.05，因此检验的拒绝域为*于是 c=1.96/30.65()由于*，因此不能据此样本推断 =0，即应否定 =0 的假设()由于检验水平 是在 H0成立时拒绝 H0的最大概率，因此所求的显著性水平 为*=1-P|U|3=1-2(3)-1=0.0027)解析：
