1、考研数学一-224 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.使 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为_。（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A 为反对称矩阵，且|A|0，B 可逆，A，B 为同阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则A TA*(B-1)T-1=_。（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=f(x)是微分方程 y“+y-esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在_（分数：4.00）A.x0的某邻域内单调增加B.x0的某邻域内单调减少C.x0处取极小值D.x0处取极大值4.设函数 f(x
2、)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为极大值，则存在 0，当 x(a-，a+)时，必有_A(x-a)f(x)-f(a)0 B(x-a)f(x)-f(a)0（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 n 阶实矩阵，A T为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()Ax=0 和()A TAX=0 必有_。（分数：4.00）A.()的解是()的解，但()的解不是()的解B.()的解是()的解，()的解也是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解6.设 3 阶矩阵 A= （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 与 Y
3、 服从正态分布，XN(，4 2)，YN(，5 2)，记 p1=Px-4，p 2=Y+5，则_（分数：4.00）A.对任何 ，都有 p1=p2B.对任何实数 ，都有 p1p 2C.只对 的个别值，才有 p1=p2D.只任何实数 ，都有 p1p 28.设向量组()： 1， 2， r可由向量组()： 1， 2， s线性表示，则_（分数：4.00）A.rs 时，向量组()必线性相关B.rs 时，向量组()必线性相关C.rs 时，向量组()必线性相关D.rs 时，向量组()必线性相关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 3 阶方阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1，
4、2都是 3 维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|=_（分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x，y，z)=e xyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数则 fx(0，1，-1)=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 R3中的向量 在基 1=(1，-2，1) T， 2(0，1，1) T， 3=(3，2，1) T下的坐标为(x 1，x 2，x 3)T，它在基 1， 2， 3下的坐标为(y 1，y 2，y 3)T，且 y1=x1-x2-x3，y 2=x1+x2，
5、y 3=x1+2x3，则由基 1， 2， 3到基 1， 2， 3的过渡矩阵 P=_（分数：4.00）填空项 1:_14.从正态总体 N(， 2)中抽取一容量为 16 的样本，S 2为样本方差，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(2x-y)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续的二阶偏导数求 （分数：9.00）_16.设曲线积分 xy2dx+y(x)dy 与路径无关，其中 (x)具有连续的导数，具 (0)=0计算（分数：9.00）_17.将函数 f(x)=arctan （分数：11.00）_18.设函数 y=
6、y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= （分数：11.00）_19.在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y)处在曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 z 轴的交点)，且曲线在(1，1)处的切线与 x 轴平行（分数：10.00）_20.已知 A= （分数：11.00）_21.已知向量组（分数：11.00）_22.设随机变量 X 与 Y 独立，X 服从正态分布 N(，
7、2)，Y 服从-，上的均匀分布试求 Z=X+Y 的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 (x)表示，其中（分数：11.00）_23.设总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n，是它的一个样本，令：d= （分数：11.00）_考研数学一-224 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.使 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为_。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 线性方程的解解题分析 因为 1， 2是 Ax=0 的 2 个线性无关的解，故 n-r(A)2，知 r(A)1故选 A2.设 A 为反对称矩
8、阵，且|A|0，B 可逆，A，B 为同阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则A TA*(B-1)T-1=_。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 求逆矩阵解题分析 A TA*(B-1)T-1=(B-1)T-1(A*)-1(AT)-1*3.设 y=f(x)是微分方程 y“+y-esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在_（分数：4.00）A.x0的某邻域内单调增加B.x0的某邻域内单调减少C.x0处取极小值 D.x0处取极大值解析：考点提示 函数极值的问题解题分析 实质是求 f“(x0)取值的正负情况，代入微分方程即得将 f(x)代入方程，有f“(x)+f(x)-esi
9、nx=0将 x=x0代入上式，有*故 f(x)在 x=x0处取极小值故 C 入选4.设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为极大值，则存在 0，当 x(a-，a+)时，必有_A(x-a)f(x)-f(a)0 B(x-a)f(x)-f(a)0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 利用极限求函数的极值解题分析 由*f(t)-f(x)=f(a)-f(x)0，知必*0，使 x(a-，a+)时，*从而*5.设 A 为 n 阶实矩阵，A T为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()Ax=0 和()A TAX=0 必有_。（分数：4.00）A.()的解是()的解，但()的解不
10、是()的解B.()的解是()的解，()的解也是()的解 C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解解析：考点提示 线性方程组的解解题分析 若 xi是 AX=0 的解，即 Axi=0，显然 ATAxi=0若 xi是 ATAX=0 的解，即 ATAxi=0，则*=0，即(Ax i)T(Axi)=0若 Axi0，不妨设 Axi=b1，b 2，b nT，b 10，则(Ax i)T(Axi)=*与(Ax i)T(Axi)=0 矛盾，因而Axi=0，即()、()同解6.设 3 阶矩阵 A= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 矩阵的秩解题
11、分析 由秩(A *)=1，知秩(A)=3-1=2，则|A|=0由|A|=*=(a-b) 2(a+2b)=0，可得 a=b 或 a+2b=0，但 a=b 时秩(A)=12故 ab 且 a+2b=07.设随机变量 X 与 Y 服从正态分布，XN(，4 2)，YN(，5 2)，记 p1=Px-4，p 2=Y+5，则_（分数：4.00）A.对任何 ，都有 p1=p2 B.对任何实数 ，都有 p1p 2C.只对 的个别值，才有 p1=p2D.只任何实数 ，都有 p1p 2解析：考点提示 随机变量的正态分布问题解题分析 只需将*标准化由题设，把*标准化，有*因此 p1=p2故选 A8.设向量组()： 1，
12、 2， r可由向量组()： 1， 2， s线性表示，则_（分数：4.00）A.rs 时，向量组()必线性相关B.rs 时，向量组()必线性相关C.rs 时，向量组()必线性相关D.rs 时，向量组()必线性相关 解析：考点提示 向量组的线性相关性解题分析 记向量组()的秩为 r1，向量组()的秩为 r2，由()可由()线性表示有 r1r 2又r2s若有 rs，则 rsr 2r 1，所以向量组()必线性相关选 D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 3 阶方阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2都是 3 维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|
13、=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：63）解析：考点提示 向量的运算解题分析 因 5A-2B=5(， 1， 2)-2(， 1， 2)=(5-2，3 1，3 2)故 |5A-2B|=|5-2 3 1 3 2|=9|5 1 2|-|2 1 2|=9(5|A|-2|B|)=9(53-24)=6310. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 定积分计算解题分析 *原式=*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点提示 根据级数的敛散性求极限解题分析 令*所以 f(x)收敛半径为 e，即 x=2 时，f(x)收敛故*因为级数*收敛因此其
14、通项趋于 012.设 f(x，y，z)=e xyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数则 fx(0，1，-1)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点提示 隐函数的导数解题分析 设 F(x，y，z)=x+y+z+xyz，则*又 fx=exyz2+exy2zzx，故 f(0，1，-1)=e 01(-1)2+e012(-1)0=113.设 R3中的向量 在基 1=(1，-2，1) T， 2(0，1，1) T， 3=(3，2，1) T下的坐标为(x 1，x 2，x 3)T，它在基 1， 2， 3下的坐标为(y 1，y 2，y 3)T，且 y1=
15、x1-x2-x3，y 2=x1+x2，y 3=x1+2x3，则由基 1， 2， 3到基 1， 2， 3的过渡矩阵 P=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 过渡矩阵解题分析 因为( 1， 2， 3)=( 1， 2， 3)P，(y1，y 2，y 3)T=P(x1，x 2，x 3)T又 y1=x1-x2-x3，y 2=-x1+x2，y 3=x1+2x3，因为*故*14.从正态总体 N(， 2)中抽取一容量为 16 的样本，S 2为样本方差，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 方差的计算解题分析 因*故*三、解答题(总题数：9，分数：9
16、4.00)15.设 z=f(2x-y)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续的二阶偏导数求 （分数：9.00）_正确答案：(这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合导数由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，可以先求*也可先求*先求*由复合函数求导法，得*再对 y 求导，得*或先求*可得*再求*)解析：考点提示 复合函数的导数16.设曲线积分 xy2dx+y(x)dy 与路径无关，其中 (x)具有连续的导数，具 (0)=0计算（分数：9.00）_正确答案：(先求出 (x)设 P(x，y)，Q(x，y)有连续偏导数，在所给的单连通区域 D 上，*Pdx+Qdy与路径
17、无关*在 D 上*用于此题，即有y(x)=2xy，即 (x)=2x，(x)=x 2+C由 (0)=0，得 C=0，即 (x)=x 2因此*)解析：考点提示 求偏导数的计算17.将函数 f(x)=arctan （分数：11.00）_正确答案：(f(x)容易展开，即*由*得*在幂级数的收敛区间内可逐项积分，得*且收敛区间不变当 x=1 时，式右端级数均收敛，而左端 f(x)=arctan*在 x=-1 连续，在 x=1 无定义因此*)解析：考点提示 求函数的幂级数18.设函数 y=y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1) 试将 x=x(y)所满足的微
18、分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= （分数：11.00）_正确答案：(1) 实质上是求反函数的一、二阶导数的问题由反函数求导公式，知*代入原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程 y“-y=sinx(2) 特征方程 r2-1=0 的两个根为 r1.2=1由于非齐次项 f(x)=sinx=ex sinx，=0，=1，i=i 不是特征根，则设的特解 y*=acosx+bsinx，代入求得a=0，b=-*，故 y*=-*sinx，于是通解为*又由初始条件得 c1=1，c 2=-1，所求初值问题的解为 y(x)=ex-e-
19、x-*sinx)解析：考点提示 反函数的求导问题19.在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y)处在曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 z 轴的交点)，且曲线在(1，1)处的切线与 x 轴平行（分数：10.00）_正确答案：(曲线 y=y(x)在点 P(x，y)处的法线方程为*它与 x 轴的交点是 Q(x+yy，0)，从而*当 y=0 时，有 Q(x，0)，|PQ|=y，上式仍成立根据题意得微分方程*即 yy“=1+y2且当 x=1 时，y=1，y=0令 y=P(y)，则 y“=P*，二阶方程降为一阶方程*分离变量，得*积分并注意：P| x=1=y|x=1
20、，得 y=*，即 y2=y2-1，y=*分离变量，得*积分并注意：y| x=1=1，得*即*于是 y=*(ex-1+e-(x-1)解析：考点提示 关于曲线法线方程的计算问题20.已知 A= （分数：11.00）_正确答案：(实际上是由矩阵 A 必有三个线性无关的特征向量求得 a，再经配方求得变换矩阵 C，同时得到XTAX 的标准形由*知 A 的特征值是 1= 2=6， 3=-2，由于 AA，故 =6 必有两个线性无关的特征向量因此*所以 a=0此时二次型*经配方得*其中*即 X=*而 XTAX=0 表示锥面)解析：考点提示 化二次型为标准型21.已知向量组（分数：11.00）_正确答案：(对
21、A=( 1， 2， 3， 4， 5)作初等行变换可得由题设，令 A=( 1， 2， 3， 4， 5)并作初等行变换，可得*由此看出向量组的秩为 3，并且 1， 3， 5线性无关，从而是一个极大线性无关组，且 2= 1+3 5， 4= 1+ 3+ 5)解析：考点提示 向量组的综合题22.设随机变量 X 与 Y 独立，X 服从正态分布 N(， 2)，Y 服从-，上的均匀分布试求 Z=X+Y 的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 (x)表示，其中（分数：11.00）_正确答案：(解法 1 先求分布函数 FZ(z)*因此，Z 的密度函数为*其中 (x)是标准正态分布的分布密度由于 (x)是偶函数，故有*于是*解法 2 直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式求 fZ(z)更为简单*)解析：考点提示 随机变量的正态分布函数23.设总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n，是它的一个样本，令：d= （分数：11.00）_正确答案：(*计算可得*由于 X1，X 2，X n独立且与 X 同分布，所以*)解析：考点提示 期望和方差的计算
