1、考研数学一-218 及答案解析(总分：80.50，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：21.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3. （分数：1.00）填空项 1:_4. （分数：4.00）填空项 1:_5.微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_6. （分数：4.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：16.50)7. （分数：1.00）A.B.C.D.8. （分数：1.00）A.B.C.D.9. （分数：1.00）A.B.C.
2、D.10. （分数：1.00）A.B.C.D.11.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量|X|的概率密度 f1(x)为（分数：4.00）A.B.C.D.12. （分数：4.00）A.B.C.D.13.设 F(x)是函数 f(x)=maxx，x 2的一个原函数则 A. F(x)可能在 x=0，x=1 两点处间断 B. F(x)只可能在 x=1 处间断 C. F(x)的导函数可能在 x=1 处间断 D. F(x)的导函数处处连续（分数：0.50）A.B.C.D.14. （分数：4.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：43.00)15.设 f(x)，g(x)在a，
3、b上连续，证明：存在一点 ，使 （分数：1.00）_16. （分数：9.00）_17. （分数：10.00）_18. （分数：1.00）_19.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 阶实矩阵，B T为 B 的转置矩阵，试证 BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)=n（分数：10.00）_20.设 A 是三阶矩阵，b=9，18，-18 T，方程组 AX=b 有通解 k1-2，1，0 T+k22，0，1 T+1，2，-2 T，其中 k1，k 2是任意常数，求 A 及 A100。_21.设总体 X 的概率分布为 ，其中参数 未知，以 Ni表示来自总体 X 的简单随机
4、样本(样本容量为 n)中等于 i 的个数(i=0，1，2)()求参数 的矩估计量 ；()求常数 a0，a 1，a 2，使 （分数：11.00）_22._23. （分数：1.00）_考研数学一-218 答案解析(总分：80.50，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：21.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：*2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*3. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*4. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：*5.微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+
5、(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*其中 C 为*常数）解析：解析 这不是一阶线性方程与变量可分离方程，也不是齐次方程与伯努利方程，因此，考察其是否是全微分方程将方程表为 Pdx+Qdy=0，因在全平面上*所以是全微分方程，求通解归结为求 Pdx+Qdy 的原函数 u(x，y)方法 1 凑微分法由于*因此，通解为*方法 2 不定积分法由*对 x 积分得u=x2siny+x3y+C(y)又由*得*因此得通解*其中 C 为*常数6. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2e）解析：*二、B选择题/B(总题数：8，分数：16.50
6、)7. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：*8. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*9. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：*10. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*11.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量|X|的概率密度 f1(x)为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设|X|的分布函数为 F1(x)，则当 x0 时，F 1(x)=P|X|x=0，从而 f1(x)=F1(x)=0；当 x0 时，F 1(x)=P|X|x=P-xXx=F(x)-F(-x)，故 f1(x)=F1(x)=F(x)-F(-x)=f(x)+f(-x)，所
7、以*因此，应选(D)分析二 用排除法因为|X|0，故当 x0 时，必有 F1(x)=P|X|x=0，从而 f1(x)=0，所以选项(A)，(C)应排除对于选项(B)，由于*这不符合密度函数的定义，故(B)是错误的由排除法知，应选(D)12. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*13.设 F(x)是函数 f(x)=maxx，x 2的一个原函数则 A. F(x)可能在 x=0，x=1 两点处间断 B. F(x)只可能在 x=1 处间断 C. F(x)的导函数可能在 x=1 处间断 D. F(x)的导函数处处连续（分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 由于*，所以 f(x)处处连续又
8、因为 F(x)是 f(x)的 原函数，所以 F(x)=f(x)，从而选(D)14. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*三、B解答题/B(总题数：9，分数：43.00)15.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在一点 ，使 （分数：1.00）_正确答案：(证 令*，则 F(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)=0，所以根据罗尔定理可得：至少存在一点 ，使得 F()=0，即 *)解析：解析 至少存在一点 ，使得某个积分等式成立，且在积分限上出现了 ，这样的积分等式的证明，其证明方法类同于证明方程至少有一个实根，需构造辅助函数16. （分数：9.
9、00）_正确答案：(* *)解析：17. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：18. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：19.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 阶实矩阵，B T为 B 的转置矩阵，试证 BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)=n（分数：10.00）_正确答案：(必要性设 BTAB 是正定矩阵，按正定定义*恒有 xT(BTAB)x0 即(Bx) TA(Bx)0那么*恒有 Bx0从而齐次方程组 Bx=0 只有零解，故秩 r(B)=n充分性因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知 BTAB 为实对称矩阵当秩 r(B)
10、=n 时，Bx=0 只有零解，那么*恒有 Bx0因为 A 是正定矩阵，那么当 Bx0 时必有(Bx)TA(Bx)0，所以*恒有 xT(BTAB)x0，故矩阵 BTAB 是正定矩阵)解析：20.设 A 是三阶矩阵，b=9，18，-18 T，方程组 AX=b 有通解 k1-2，1，0 T+k22，0，1 T+1，2，-2 T，其中 k1，k 2是任意常数，求 A 及 A100。_正确答案：(解 方法一 由题设条件知，对应齐次方程的基础解系是 1-2，1，0 T， 22，0，1 T，即 1， 2是 A 的对应于 =0 的两个线性无关特征向量，又 =1，2，-2 T是 AX=b 的特解，即有*知 3=
11、1，2，-2 T= 是 A 的对应于 =9 的特征向量，取可逆阵 P= 1， 2， 3，则得*其中*因*故(1)*或(2)*方法二 由方程组的通解直接求出系数矩阵 A33因对应齐次方程组 Ax=0 有通解为 k1 1+k2 2=k1-2，1，0 T+k22，0，1 T，故 r(A)=1可设方程组为ax1+bx2+cx3=0，将 1， 2代入，则有*得 c=-2a，b=2a，故方程组为a(x1+2x2-2x3)=0对应的非齐次方程组为*将特解 =，2，-2 T代入得 k1=1，k 2=2，k 3=-2故得对应矩阵*再求 A100(见方法一(1)或因 A 1=0，故 A100 1=0；A 20，故
12、 A100 3=0A=9，故 A100=9 100故 A100 1， 2，=0，0，9 100A100=0，0，9 100 1， 2，*)解析：21.设总体 X 的概率分布为 ，其中参数 未知，以 Ni表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i 的个数(i=0，1，2)()求参数 的矩估计量 ；()求常数 a0，a 1，a 2，使 （分数：11.00）_正确答案：(分析与解答 ()参数 0 就一个，用*EX=02(1-)+12 2+2(1-2)=2 2-4+2=2(-1) 2*()使*的无偏估计量，即要求 ET- 2*，N i表示来自总体 X 的简单随机样本中等于 i 的个数，(i=0，1，2)如果把样本 X1，X 2，X n中每个 Xj取 i 值看成是一次试验成功，X j不取 i 值看成是一次试验失败，则样本的 n 个分量看成是 n 重独立重复试验如果取 i 值即试验成功的概率为 p1，则 NiB(n，p i)，ENi=npi，DN i=npi(1-pi)所以ET=a0n2(1-)+a 1n2 2+a2n(1-2)= 2即(2a1n-2a0n) 2+(2a0n-2a2n)+a 2n= 2因此*由此解得*.)解析：22._正确答案：(* * *)解析：23. （分数：1.00）_正确答案：(* * *)解析：
