1、考研数学一-218 及答案解析(总分:80.50,做题时间:90 分钟)一、B填空题/B(总题数:6,分数:21.00)1. (分数:4.00)填空项 1:_2. (分数:4.00)填空项 1:_3. (分数:1.00)填空项 1:_4. (分数:4.00)填空项 1:_5.微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_(分数:4.00)填空项 1:_6. (分数:4.00)填空项 1:_二、B选择题/B(总题数:8,分数:16.50)7. (分数:1.00)A.B.C.D.8. (分数:1.00)A.B.C.D.9. (分数:1.00)A.B.C.
2、D.10. (分数:1.00)A.B.C.D.11.设随机变量 X 的概率密度为 f(x),则随机变量|X|的概率密度 f1(x)为(分数:4.00)A.B.C.D.12. (分数:4.00)A.B.C.D.13.设 F(x)是函数 f(x)=maxx,x 2的一个原函数则 A. F(x)可能在 x=0,x=1 两点处间断 B. F(x)只可能在 x=1 处间断 C. F(x)的导函数可能在 x=1 处间断 D. F(x)的导函数处处连续(分数:0.50)A.B.C.D.14. (分数:4.00)A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数:9,分数:43.00)15.设 f(x),g(x)在a,
3、b上连续,证明:存在一点 ,使 (分数:1.00)_16. (分数:9.00)_17. (分数:10.00)_18. (分数:1.00)_19.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定,B 为 mn 阶实矩阵,B T为 B 的转置矩阵,试证 BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)=n(分数:10.00)_20.设 A 是三阶矩阵,b=9,18,-18 T,方程组 AX=b 有通解 k1-2,1,0 T+k22,0,1 T+1,2,-2 T,其中 k1,k 2是任意常数,求 A 及 A100。_21.设总体 X 的概率分布为 ,其中参数 未知,以 Ni表示来自总体 X 的简单随机
4、样本(样本容量为 n)中等于 i 的个数(i=0,1,2)()求参数 的矩估计量 ;()求常数 a0,a 1,a 2,使 (分数:11.00)_22._23. (分数:1.00)_考研数学一-218 答案解析(总分:80.50,做题时间:90 分钟)一、B填空题/B(总题数:6,分数:21.00)1. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:1)解析:*2. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*3. (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*4. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:0)解析:*5.微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+
5、(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*其中 C 为*常数)解析:解析 这不是一阶线性方程与变量可分离方程,也不是齐次方程与伯努利方程,因此,考察其是否是全微分方程将方程表为 Pdx+Qdy=0,因在全平面上*所以是全微分方程,求通解归结为求 Pdx+Qdy 的原函数 u(x,y)方法 1 凑微分法由于*因此,通解为*方法 2 不定积分法由*对 x 积分得u=x2siny+x3y+C(y)又由*得*因此得通解*其中 C 为*常数6. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2e)解析:*二、B选择题/B(总题数:8,分数:16.50
6、)7. (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:*8. (分数:1.00)A.B. C.D.解析:*9. (分数:1.00)A. B.C.D.解析:*10. (分数:1.00)A.B.C. D.解析:*11.设随机变量 X 的概率密度为 f(x),则随机变量|X|的概率密度 f1(x)为(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 设|X|的分布函数为 F1(x),则当 x0 时,F 1(x)=P|X|x=0,从而 f1(x)=F1(x)=0;当 x0 时,F 1(x)=P|X|x=P-xXx=F(x)-F(-x),故 f1(x)=F1(x)=F(x)-F(-x)=f(x)+f(-x),所
7、以*因此,应选(D)分析二 用排除法因为|X|0,故当 x0 时,必有 F1(x)=P|X|x=0,从而 f1(x)=0,所以选项(A),(C)应排除对于选项(B),由于*这不符合密度函数的定义,故(B)是错误的由排除法知,应选(D)12. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*13.设 F(x)是函数 f(x)=maxx,x 2的一个原函数则 A. F(x)可能在 x=0,x=1 两点处间断 B. F(x)只可能在 x=1 处间断 C. F(x)的导函数可能在 x=1 处间断 D. F(x)的导函数处处连续(分数:0.50)A.B.C.D. 解析:解析 由于*,所以 f(x)处处连续又
8、因为 F(x)是 f(x)的 原函数,所以 F(x)=f(x),从而选(D)14. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*三、B解答题/B(总题数:9,分数:43.00)15.设 f(x),g(x)在a,b上连续,证明:存在一点 ,使 (分数:1.00)_正确答案:(证 令*,则 F(x)在区间a,b上连续,在区间(a,b)内可导,且 F(a)=F(b)=0,所以根据罗尔定理可得:至少存在一点 ,使得 F()=0,即 *)解析:解析 至少存在一点 ,使得某个积分等式成立,且在积分限上出现了 ,这样的积分等式的证明,其证明方法类同于证明方程至少有一个实根,需构造辅助函数16. (分数:9.
9、00)_正确答案:(* *)解析:17. (分数:10.00)_正确答案:(*)解析:18. (分数:1.00)_正确答案:(*)解析:19.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定,B 为 mn 阶实矩阵,B T为 B 的转置矩阵,试证 BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)=n(分数:10.00)_正确答案:(必要性设 BTAB 是正定矩阵,按正定定义*恒有 xT(BTAB)x0 即(Bx) TA(Bx)0那么*恒有 Bx0从而齐次方程组 Bx=0 只有零解,故秩 r(B)=n充分性因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB,知 BTAB 为实对称矩阵当秩 r(B)
10、=n 时,Bx=0 只有零解,那么*恒有 Bx0因为 A 是正定矩阵,那么当 Bx0 时必有(Bx)TA(Bx)0,所以*恒有 xT(BTAB)x0,故矩阵 BTAB 是正定矩阵)解析:20.设 A 是三阶矩阵,b=9,18,-18 T,方程组 AX=b 有通解 k1-2,1,0 T+k22,0,1 T+1,2,-2 T,其中 k1,k 2是任意常数,求 A 及 A100。_正确答案:(解 方法一 由题设条件知,对应齐次方程的基础解系是 1-2,1,0 T, 22,0,1 T,即 1, 2是 A 的对应于 =0 的两个线性无关特征向量,又 =1,2,-2 T是 AX=b 的特解,即有*知 3=
11、1,2,-2 T= 是 A 的对应于 =9 的特征向量,取可逆阵 P= 1, 2, 3,则得*其中*因*故(1)*或(2)*方法二 由方程组的通解直接求出系数矩阵 A33因对应齐次方程组 Ax=0 有通解为 k1 1+k2 2=k1-2,1,0 T+k22,0,1 T,故 r(A)=1可设方程组为ax1+bx2+cx3=0,将 1, 2代入,则有*得 c=-2a,b=2a,故方程组为a(x1+2x2-2x3)=0对应的非齐次方程组为*将特解 =,2,-2 T代入得 k1=1,k 2=2,k 3=-2故得对应矩阵*再求 A100(见方法一(1)或因 A 1=0,故 A100 1=0;A 20,故
12、 A100 3=0A=9,故 A100=9 100故 A100 1, 2,=0,0,9 100A100=0,0,9 100 1, 2,*)解析:21.设总体 X 的概率分布为 ,其中参数 未知,以 Ni表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i 的个数(i=0,1,2)()求参数 的矩估计量 ;()求常数 a0,a 1,a 2,使 (分数:11.00)_正确答案:(分析与解答 ()参数 0 就一个,用*EX=02(1-)+12 2+2(1-2)=2 2-4+2=2(-1) 2*()使*的无偏估计量,即要求 ET- 2*,N i表示来自总体 X 的简单随机样本中等于 i 的个数,(i=0,1,2)如果把样本 X1,X 2,X n中每个 Xj取 i 值看成是一次试验成功,X j不取 i 值看成是一次试验失败,则样本的 n 个分量看成是 n 重独立重复试验如果取 i 值即试验成功的概率为 p1,则 NiB(n,p i),ENi=npi,DN i=npi(1-pi)所以ET=a0n2(1-)+a 1n2 2+a2n(1-2)= 2即(2a1n-2a0n) 2+(2a0n-2a2n)+a 2n= 2因此*由此解得*.)解析:22._正确答案:(* * *)解析:23. (分数:1.00)_正确答案:(* * *)解析: