1、考研数学一-214 及答案解析(总分：87.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1. （分数：1.00）填空项 1:_2. （分数：1.00）填空项 1:_3.设 A是三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，满足|A|=0，A-，A=，则 AAq，其中A=_（分数：4.00）填空项 1:_4. （分数：4.00）填空项 1:_5. （分数：4.00）填空项 1:_6. （分数：4.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：14.00)7. （分数：1.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：1.00）A.B.
2、C.D.10. （分数：1.00）A.B.C.D.11. （分数：1.00）A.B.C.D.12. （分数：4.00）A.B.C.D.13. （分数：1.00）A.B.C.D.14. （分数：1.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：55.00)15.设 f(x1，x 2，x n)=xTAx是一实二次型，若有实 n维向量 x1，x 2，使 f(x1)= Ax10，f(x 2)=Ax20，证明：存在 n维向量 x00，使 （分数：11.00）_16.设 k是常数，讨论函数 f(x)=(2x-3)ln(2-x)-x+k在它的定义域内的零点个数（分数：10.00）_17. （分数
3、：1.00）_18. （分数：10.00）_19. （分数：9.00）_20. （分数：1.00）_21. （分数：1.00）_22.设 1， 2， n是线性无关的 n维列向量组，且 n+1=x1 1+x2 2+xn n，其中数x1，x 2，x n全不为零，请证明：向量组 1， 2， n， n+1中任意 n个向量都线性无关（分数：11.00）_23. （分数：1.00）_考研数学一-214 答案解析(总分：87.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*2. （分数：1.00）填空项 1:_ （正
4、确答案：*）解析：*3.设 A是三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，满足|A|=0，A-，A=，则 AAq，其中A=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：应填*）解析：解析 由题设条件|A|=0 知 A有 1=0，又由 A= 及 A= 知A(+)=+=+，A(-)=-=-(-)，故 A有 2=1， 3=-1A是三阶矩阵，有三个不同的特征值，故*注 答案不唯一，*中特征值 1， 2， 3次序可不同4. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*5. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*6. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*
5、二、B选择题/B(总题数：8，分数：14.00)7. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*8. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*9. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*10. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*11. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*12. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*13. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：*14. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*三、B解答题/B(总题数：9，分数：55.00)15.设 f(x1，x 2，x n)=xTAx是一实二次型，若有实 n维向量 x1，x 2，使
6、 f(x1)= Ax10，f(x 2)=Ax20，证明：存在 n维向量 x00，使 （分数：11.00）_正确答案：(本题考查二次型题目提法新颖，有一定的综合性和分析意味，具有一定的难度由于有实 n维向量 x1，x 2，使*所以 f(x1，x 2，x n)=xTAx是不定二次型，故存在非退化线性变换 x=Py，使*其中 1prn，取*令 x0=By0，则 x00，且有*)解析：16.设 k是常数，讨论函数 f(x)=(2x-3)ln(2-x)-x+k在它的定义域内的零点个数（分数：10.00）_正确答案：(f(x)的定义域为：-x2 * 可见 f(1)=0，且当-x1 时 f(x)0；当1x2
7、 时 f(x)0所以 f(1)=k-1 为 f(x)的最大值 当 k1 时，f(x)无零点； 当 k=1时，f(x)有唯一零点 x=1； 当 k1 时，f(1)0，且*，但 * 从而 * 又 * 从而知在区间(-，1)与(1，2)内 f(x)分别恰有唯一零点讨论完毕)解析：17. （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：18. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：19. （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：20. （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：21. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：22.设 1， 2， n是线性无关的 n维列向量组，且 n+1=x
8、1 1+x2 2+xn n，其中数x1，x 2，x n全不为零，请证明：向量组 1， 2， n， n+1中任意 n个向量都线性无关（分数：11.00）_正确答案：(本题是向量组的逻辑证明问题，涉及向量组的线性相关性，是历年考试的重点取 1， 2， n， n+1中任意 n个向量 1， 2， i-1， i+1， n， n+1使用定义，设有 n个数 k1，k 2，k i-1，k i+1，k n，k n+1，使得k1 1+k2 2+ki-1 i-1+ki+1 i+1+kn n+kn+1 n+1=0，将 n+1=x1 1+x2 2+xn n代入上式，得k1 1+k2 2+ki-1 i-1+ki+1 i+1+kn n+kn+1(x1 1+x2 2+xn n)=0，即(k 1+x1kn+1) 1+(k2+x2kn+1) 2+(ki-1+xi-1kn+1) i-1+xikn+1 i+(ki+1+xi+1kn+1) i+1+(kn+xnkn+1) n=0由于 1， 2， n线性无关，则所有系数全为 0，即*由 xikn+1=0及 xi0，知 kn+1=0，进而可得 k1=k2=ki-1=ki+1=kn=0，因此，向量组 1， 2， i-1， i+1， n， n+1线性无关，即 1， 2， n， n+1中任意 n个向量都线性无关)解析：23. （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：
