1、考研数学一-213 及答案解析(总分：79.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2，则 g“(3)=_（分数：1.00）填空项 1:_4. （分数：4.00）填空项 1:_5. （分数：4.00）填空项 1:_6. （分数：1.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：17.00)7. （分数：1.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：1.00）
2、A.B.C.D.10. （分数：4.00）A.B.C.D.11. （分数：4.00）A.B.C.D.12. （分数：1.00）A.B.C.D.13. （分数：1.00）A.B.C.D.14. （分数：1.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：44.00)15.设 A 是 4 阶非零矩阵， 1， 2， 3， 4是非齐次线性方程组 Ax=b 的不同的解()如果 1， 2， 3线性相关，证明 1- 2， 1- 3也线性相关；()如果 1， 2， 3， 4线性无关，证明 1- 2， 1- 3， 1- 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：11.00）_16.已知 是某二阶线性
3、 常系数微分方程 y+Py+qy=f(x)的三个特解 () 求这个方程和它的通解； () 设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求_17. （分数：10.00）_18. （分数：10.00）_19. （分数：1.00）_20. （分数：1.00）_21._22.已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周 x2+y2=4 到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分 （分数：10.00）_23. （分数：1.00）_考研数学一-213 答案解析(总分：79.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)
4、1. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：*2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*3.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f“(a)=2，则 g“(3)=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 记 y=f(x)，应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y)将等式 f(x)g(y)=1 两边关于 x 求导得f“(x)g(y)+f(x)“(y)yx=0，或 f“(x)g(y)+f(x)2g“(y)=0注意到*，在上式中令 x
5、=a，应有 y=3，因此得到g“(3)=-f“(a)g(3)=-24. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*5. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.36）解析：*6. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：*二、B选择题/B(总题数：8，分数：17.00)7. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：*8. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*9. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：*10. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*11. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*12. （分数：1.00）A. B.
6、C.D.解析：*13. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*14. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：*三、B解答题/B(总题数：9，分数：44.00)15.设 A 是 4 阶非零矩阵， 1， 2， 3， 4是非齐次线性方程组 Ax=b 的不同的解()如果 1， 2， 3线性相关，证明 1- 2， 1- 3也线性相关；()如果 1， 2， 3， 4线性无关，证明 1- 2， 1- 3， 1- 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：11.00）_正确答案：()因为 1， 2， 3线性相关，故有不全为 0 的 k1，k 2，k 3使得 k1 1+k2 2+k3 3=0，那么(
7、k 1，k 2，k 3) 1=k2( 1- 2)+k3( 1- 3)因为 1- 2， 1- 1- 3是齐次方程组 Ax=0 的解，而 1是非齐次方程组 Ax=b 的解，所以 1不能由 1- 2， 1- 3线性表出，故必有 k1+k2+k3=0从而 k2( 1- 2)+k3( 1- 3)=0此时必有 k2，k 3不全为 O(否则 k1，k 2，k 3全为 0)，即 1- 2， 1- 3线性相关()由方程组的性质知 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0 的解当 k1( 1- 2)+k2( 1- 3)+k3( 1- 4)=0 时即(k 1+k2+k3) 1-k1 2-k2 3-k3 4=0因
8、为 1， 2， 3， 4线性无关*即必有 k1=k2=k3=0从而 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0 的 3 个线性无关的解那么 n-r(A)3 即 r(A)1，又 A0 有 r(A)1，从而 r(A)=1因此 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0 的基础解系)解析：16.已知 是某二阶线性 常系数微分方程 y+Py+qy=f(x)的三个特解 () 求这个方程和它的通解； () 设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求_正确答案：(分析与求解 ()由线性方程解的叠加原理*均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的于是相应的特征方程为(+2) 2=0
9、，即 2+4+4=0，原方程为 y+4y+4y=f(x)(*)又 y*(x)=xe-x是它的特解，求导得Y(x)=e-x(1-x)，y*(x)=e -x(x-2)代入方程(*)得e-x(x-2)+4e-x(1-x)+4xe-x=f(x)* f(x)=(x+2)e-x所求方程为 y+4y+4y=(x+2)e-x其通解为y=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中 C1，C 2为*常数() *C 1，C 2，方程的任意解 y(x)均有*不必由初值来定 C1，C 2，直接将方程两边积分得*)解析：17. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：18. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：19. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：20. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：21._正确答案：(*)解析：22.已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周 x2+y2=4 到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：(补充线段 L1为，L 1：x=0，0y2，则由题意，L+L 1所包围区域为平面上的有界闭区域，记为 D，则可利用格林公式计算*)解析：23. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：
