1、考研数学一-212 及答案解析(总分：79.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3. （分数：4.00）填空项 1:_4. （分数：1.00）填空项 1:_5.(n为正整数)=_ （分数：1.00）填空项 1:_6. （分数：4.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：16.00)7. （分数：1.00）A.B.C.D.8. （分数：1.00）A.B.C.D.9. （分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：4.00）A.B.C.D.11.设函数 f(x)在
2、a，b上有界，把a，b任意分成 n个小区间， i为每个小区间x i-1，x i上任取的一点，则 所表示的和式极限是（分数：0.50）A.B.C.D.12.设函数 f(x)在 x=0处连续可导，则 f(|x|)在 x=0处 A. 连续且可导 B. 连续但不一定可导 C. 一定不可导 D. 不一定连续（分数：1.00）A.B.C.D.13.下列命题不正确的是 (A) 初等函数在其定义区间(a，b)内必定存在原函数 (B) 设 acb，f(x)定义在(a，b)上，若 x=c是 f(x)的第一类间断点，则 f(x)在(a，b)不存在原函数 (C) 若函数 f(x)在区间，上含有第二类间断点，则该函数在
3、区间，上不存在原函数 (D) 设函数 （分数：0.50）A.B.C.D.14. （分数：4.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：45.00)15. （分数：1.00）_16.设 试证明：() ()级数_17.设 f(x，y)在区域 D：x 2+y21 上有二阶连续偏导数，且设 Cr是以原点为心，半径为 r的圆周，取逆时针方向，求（分数：11.00）_18.设 ，证明：级数 （分数：10.00）_19._20. （分数：10.00）_21.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 （分数：11.00）_22. （分数：1.00）_23.求下列函数的 n阶导数(n1)：() y=
4、ln(6x 2+7x-3)； () y=xcos4x（分数：1.00）_考研数学一-212 答案解析(总分：79.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：18.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*3. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*4. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：lna）解析：*5.(n为正整数)=_ （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 * 评注 由定积分的定义可知，若 f(x)在a，b上可积，则 *
5、6. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*二、B选择题/B(总题数：8，分数：16.00)7. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*8. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*9. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*10. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*11.设函数 f(x)在a，b上有界，把a，b任意分成 n个小区间， i为每个小区间x i-1，x i上任取的一点，则 所表示的和式极限是（分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 由定积分的定义可知(D)正确，应选(D)12.设函数 f(x)在 x=0处连续可导，则 f(|x|)
6、在 x=0处 A. 连续且可导 B. 连续但不一定可导 C. 一定不可导 D. 不一定连续（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 令 f(x)=x，则 f(x)在 x=0处连续可导，而 f(|x|)=|x|在 x=0处连续但不可导，因此(A)不正确由 f(x)在 x=0处连续，可得*，从而*所以 f(|x|)在 x=0处连续，因此(D)不正确令 f(x)=x2，则 f(x)在 x=0处连续可导，且 f(|x|)=x2在 x=0处同样连续可导，因此(C)不正确由排除法可知，应选(B)13.下列命题不正确的是 (A) 初等函数在其定义区间(a，b)内必定存在原函数 (B) 设 acb，f(
7、x)定义在(a，b)上，若 x=c是 f(x)的第一类间断点，则 f(x)在(a，b)不存在原函数 (C) 若函数 f(x)在区间，上含有第二类间断点，则该函数在区间，上不存在原函数 (D) 设函数 （分数：0.50）A.B.C. D.解析：解析 对于(A)：由于初等函数在其定义区间内必定为连续函数，而连续函数必定存在原函数，因此(A)正确 对于(B)：设 f(x)在(a，b)存在原函数记为 F(x)，则它在(a，b)可导、连续另一方面 * 若 x=c是 f(x)的跳跃间断点*，这与 F(x)在 x=c可导矛盾 若 x=c是 f(x)的可去间断点，则*，也与 F(x)是 f(x)在(a，b)的
8、原函数矛盾 因此，f(x)在(a，b)不存在原函数故(B)正确 对于(C)：例如函数*的导函数为 * 显然，x=0 是 f(x)的第二类间断点，但 F(x)却是 f(x)的原函数故(C)不正确 对于(D)：设 f(x)在(-，+)存在原函数 F(x)，则 * 由此可知，F(x)在点 x=0处不可导，这与F(0)存在矛盾因此 f(x)在(-，+)不存原函数 故(D)正确 综上分析，应选(C)14. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*三、B解答题/B(总题数：9，分数：45.00)15. （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：16.设 试证明：() ()级数_正确答案：(解 ()
9、因为*所以*又*又因 ana n+2，所以 2ana n+an+2，从而*因 2an+2a n+an+2，从而*，于是*()证毕*)解析：17.设 f(x，y)在区域 D：x 2+y21 上有二阶连续偏导数，且设 Cr是以原点为心，半径为 r的圆周，取逆时针方向，求（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 记 Cr围成的圆域为 Dr，从线积分*的形式看，可在 Dr上用格林公式，将此线积分化为二重积分，即*因此，*)解析：18.设 ，证明：级数 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查数项级数的敛散性判别，需要综合运用多种知识，是一道具有一定计算量的综合题 令*，则* 因为*，f(x)单调
10、减，即 f(n)f(n+1)，且 * 所以*收敛又 * 于是*，级数*发散，故级数*条件收敛)解析：19._正确答案：(*)解析：20. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：21.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()当|x|1 时，有 * 当|x|1 时，有 fx(x)=0。 当|x|1 时，有 * ()设 X2的分布函数为 F1(x)当 x0 时，有 F1(x)=0； 当 0x1 时，有 * 同理可得(X,Y)关于 Y的概率密度为 * 从而可得 Y2的分布函数 * 设二维随机变量(X 2，Y 2)的分布函数为 F(x,y)当 x0 或 y0 时，
11、有 F(x,y)=PX2x，Y 2y)=P(*)=0； 当 0x1，0y1 时，有 * 当 z1，y1 时，有 F(x,y)=1，即(X 2，Y 2)的分布函数为 * 因为对于任意实数 x和 y，有 F(x,y)=F1(x)F2(y)，所以 X2与 Y2相互独立)解析：解析 先求出(X,Y)关于 X的边缘概率密度 fx(x)，就可以求得 fY|X(y|x)。设 X2，Y 2及(X 2，Y 2)的分布函数分别为 F1(x)，F(x)及 F(x,y)，由 F(x,y)=F1(x)F2(y)可以得出 X2与 Y2相互独立22. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：23.求下列函数的 n阶导数(
12、n1)：() y=ln(6x 2+7x-3)； () y=xcos4x（分数：1.00）_正确答案：() 因为 6x2+7x-3=(3x-1)(2x+3)，所以y=ln(6x2+7x-3)=ln|3x-1|+ln|2x+3|故*() 由于 y=cos4x+x(cos4x)=1cos4x+x(cos4x)，y“=(cos4x)+(cos4x)+x(cos4x)“=2(cos4x)+x(cos4x)“，*从而猜想 y(n)=n,(cos4x)(n-1)+x(cos4x)(n) (n=1，2，)， (*)由此可得y(n+1)=n(cos4x)(n)+(cos4x)(n)+x(cos4x)(n+1)=(n+1)(cosax)(n)+x(cos4x)(n+1)按数学归纳法知公式(*)成立故 y(n)=n(cos4x)(n-1+)+x(cos4x)(n)*)解析：
