1、考研数学一-208 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在0，1连续且非负但不恒等于零，记 ， 3= （分数：4.00）A.B.C.D.3.若 f(-1，0)为函数 f(x，y)=e -x(ax+b-y2)的极大值，则常数 a，b 应满足的条件是Aa0，b=a+1. Ba0，b=2a.Ca0，b=a+1. Da0，b=2a.（分数：4.00）A.B.C.D.4.设积分区域 D=(x，y)|-1x1，-1y1，则二重积分A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A
2、 是 mn 矩阵，且方程组 Ax=b 有解，则A当 Ax=b 有唯一解时，必有 m=n. B当 Ax=b 有唯一解时，必有 r(A)=n. C当 Ax=b 有无穷多解时，必有 mn. D当 Ax=b 有无穷多解时，必有 r(A)m.（分数：4.00）A.B.C.D.6.下列矩阵中不能相似对角化的是A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 的密度函数关于 x= 对称，F(x)为其分布函数，则有AF(+x)=F(-x). BF(+x)+F(-x)1. C0F(+x)+F(-x)1. DF(+x)+F(-x)=1.（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X
3、 n+1是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，记 ，1kn，则A B （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(1)=a，则数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 u=u(x，y)满足 （分数：4.00）填空项 1:_11.设平面上连续曲线 y=f(x)(axb，f(x)0)和直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的质心是( ，0，0)，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.若将柱坐标系中的三重累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X
4、，Y 分别服从参数为 与 的 0-1 分布，且它们的相关系数 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e -t，y=2t+e -2t(t0). ()证明该参数方程确定连续函数 y=y(x)，x1，+).()证明 y=y(x)在1，+)单调上升且是凸的.()求 y=y(x)的渐近线.（分数：10.00）_16.()设 f(x)，g(x)在(a，b)可微，g(x)0，且 ，求证：存在常数 C，使得 f(x)= Cg(x)( x(a，b)；()设 f(x)在(-，+)二阶可导，且 f(x)0，f(x)0(x(-，+
5、). 求证：f(x)为常数(（分数：11.00）_17.设 u=f(xy，x 2-y2，x)，其中函数 f 有二阶连续偏导数，试求：()du；() （分数：9.00）_18.设 A(2，2)，B(1，1)， 是从点 A 到点 B 的线段 下方的一条光滑定向曲线 y=y(x)，且它与围成的面积为 2，又 (y)有连续导数，求曲线积分（分数：10.00）_19.求幂级数 （分数：10.00）_20.已知 1=(1，3，5，-1) T， 2=(2，7，a，4) T，a 3=(5，17，-1，7) T,()若 1， 2， 3线性相关，求 a 的值；()当 a=3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向
6、量 4；()当 a=3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个 4 维列向量.（分数：11.00）_21.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1=- 1-3 2-3 3，A 2=4 1+4 2+ 3，A 3=-2 1+3 3.()求矩阵 A 的特征值；()求矩阵 A 的特征向量；()求矩阵 A*-6E 的秩.（分数：11.00）_22.袋中装有 5 个白球，3 个红球，第一次从袋中任取一球，取后不放回，第二次从袋中任取 2 球，用 Xi表示第 i 次取到的白球数，i=1，2.()求(X 1，X 2)的联合分布；()求 PX1=0，X 20，PX
7、1X2=0；()判断 X1，X 2是否相关，是正相关还是负相关.（分数：11.00）_23.设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且 X，Y 相互独立，记随机变量 Z=X+2Y.()求 Z 的概率密度；()求 EZ，DZ.（分数：11.00）_考研数学一-208 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：这是考察如下的 型极限，由洛必达法则与等价无穷小因子替换得其中用了下面的等价无穷小因子替换：x0 时ln(1+sin2x2)sin 2x2x 42.设 f
8、(x)在0，1连续且非负但不恒等于零，记 ， 3= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一因此 3 1 2，故选 B. 分析二3.若 f(-1，0)为函数 f(x，y)=e -x(ax+b-y2)的极大值，则常数 a，b 应满足的条件是Aa0，b=a+1. Ba0，b=2a.Ca0，b=a+1. Da0，b=2a.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：应用二元函数取极值的必要条件得所以 b=2a. 由于=AC-B 2=2e2(3a-b)，再由二元函数取极值的必要条件 0 得 3a-b0. 于是常数 a，b 应满足的条件为 a0，b=2a. 故应选B.设 f(x，y)在点 P0(x
9、0，y 0)的某邻域有连续的二阶偏导数，又记则 f(x，y)在 P0点取极值的必要条件是4.设积分区域 D=(x，y)|-1x1，-1y1，则二重积分A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：D 是如图所示的正方形区域，它关于原点对称，用直线 x+y=0 将 D 分成 D1与 D2(D1，D 2关于原点对称， y|对(x，y)是偶函数(f(-x，-y)=f(x，y)，于是D1关于 y=x 对称，用直线 y=x 将 D1分成 D11与 D12，D 1=D11D 12， ，于是因此5.设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax=b 有解，则A当 Ax=b 有唯一解时，必有 m=n. B
10、当 Ax=b 有唯一解时，必有 r(A)=n. C当 Ax=b 有无穷多解时，必有 mn. D当 Ax=b 有无穷多解时，必有 r(A)m.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：方程组 Ax=b 有唯一解 的列数，所以 B 正确，注意方程组有唯一解不要求方程的个数 m 和未知数的个数 n 必须相等，可以有 mn. 例如方程组 Ax=b 有无穷多解 的列数，当方程组有无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不要求秩 r(A)必小于方程的个数，例如和6.下列矩阵中不能相似对角化的是A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析： 有 n 个线性无关的特征向量. 记 C 项
11、的矩阵为 C，由可知矩阵 C 的特征值为 =1(三重根)，而7.设随机变量 X 的密度函数关于 x= 对称，F(x)为其分布函数，则有AF(+x)=F(-x). BF(+x)+F(-x)1. C0F(+x)+F(-x)1. DF(+x)+F(-x)=1.（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：利用分布函数与密度函数的关系及密度函数的对称性，作积分变量替换可导出所需要的结论.又 f(-u)=f(+u)，u(-，+)所以8.设 X1，X 2，X n+1是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，记 ，1kn，则A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于 X1，X 2，X n+1相互
12、独立，当 ij 时，cov(X i，X j)=0；当 i=j 时，cov(X i，X i)= 2，所以 . 故选 B.该题是选择题，不要求写出计算过程，因此可以用 k=1，2 进行验算，即当 k=1 时， ；当 k=2 时，二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(1)=a，则数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a）解析：=f(1)1-f(1)0=a若假设 f(x)在 x=1 邻域可导且 f(x)在 x=1 连续，我们可把该 型数列极限转化为函数极限，然后用洛必达法则.10.设 u=u(x，y)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：，c(y)为 y
13、 的任意函数. ）解析：偏导数实质上是一元函数函数的导数，当 y 任意给定时就是一阶线性常微分方程两边乘 ex2得对 x 积分得(c(y)为 y 的任意函数)11.设平面上连续曲线 y=f(x)(axb，f(x)0)和直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的质心是( ，0，0)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：在空间 Oxyz 中，设该旋转体为 ，不妨设体密度为 1，按质心公式其中 V 为 的体积，按旋转体体积公式现按先二后一化三重积分为累次积分公式，过 x 轴上 xa，b处作平面与 x 轴垂直与 相交的截面区域记为 D(x)，它是
14、圆域：y 2+z2f 2(x)，面积为 f 2(x)，则因此12.若将柱坐标系中的三重累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：这是三重积分 在柱坐标变换(x=rcos，y=rsin，z=z)后的累次积分. 将 的柱坐标表示：变换为 Oxyz 中的直角坐标表示：于是13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：因为 ，所以那么14.设 X，Y 分别服从参数为 与 的 0-1 分布，且它们的相关系数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：依题意，设(X，Y)的联合分布与边缘分布如下表：由于 X，Y 只取 0，1 两个值，所以，即再由
15、(X，Y)的联合分布与边缘分布的关系，可得p12=0，三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e -t，y=2t+e -2t(t0). ()证明该参数方程确定连续函数 y=y(x)，x1，+).()证明 y=y(x)在1，+)单调上升且是凸的.()求 y=y(x)的渐近线.（分数：10.00）_正确答案：()因为 =1-e-t0(t0)， 在0，)单调上升，值域为1，+) x=t+e-t在0，+)存在反函数，记为 t=t(x)，它在1，+)连续(单调连续函数的反函数连缤). 再由连续的复合函数的连续性 y(x)在1，+)连续.()由参数式求
16、导法(t0，即 x1)于是 y=y(x)在1，+)单调上升，又(t0 即 x1)因此 y=y(x)在1，+)是凸的. ()解析：16.()设 f(x)，g(x)在(a，b)可微，g(x)0，且 ，求证：存在常数 C，使得 f(x)= Cg(x)( x(a，b)；()设 f(x)在(-，+)二阶可导，且 f(x)0，f(x)0(x(-，+). 求证：f(x)为常数(（分数：11.00）_正确答案：()即证 f(x)/g(x)在(a，b)为常数. 由f(x)/g(x)在(a，b)为常数，即 常数 C，使，即 f(x)=Cg(x)( x(a，b). ()只需证 f(x)=0( x(-，+).若 f(
17、x)0 x0(-，+)，f(x 0)0. 类似于凹函数性质，有f(x)f(x 0)+f(x 0)(x-x0)( x(-，+). 当 f(x 0)0 时 ；当 f(x 0)0 时 ，均与 f(x)0(x(-，+)矛盾.因此，f(x)=0( x)，即 f(x)为常数( x). )解析：若 f(x)0(x(-，+)，则 x，x 0，有f(x)f(x 0)+f(x 0)(x，x 0).证法 1由泰勒公式得其中 f 在 x 与 x0之间，证法 2其中 在 x 与 x0之间，f(x)单调不减，证明函数 f(x)在给定的区间内恒等于零，常利用导数为零、最大值等于最小值、微分中值定理、泰勒公式等方法. 本题中
18、 f(x)为抽象函数，又17.设 u=f(xy，x 2-y2，x)，其中函数 f 有二阶连续偏导数，试求：()du；() （分数：9.00）_正确答案：()利用一阶全微分形式不变性，直接求全微分得()由 du 表达式中 dx 的系数可得上式再对 y 求偏导数，即得由于它们仍是复合函数，求它们关于 y 的偏导数与求 f(xy，x 2-y2，x)关于 y 的偏导数的方法是相同的，同样由复合函数求导法有代入 的表达式，并利用 (因为它们连续)，得)解析：18.设 A(2，2)，B(1，1)， 是从点 A 到点 B 的线段 下方的一条光滑定向曲线 y=y(x)，且它与围成的面积为 2，又 (y)有连续
19、导数，求曲线积分（分数：10.00）_正确答案：(把该曲线积分分成两部分，其中一个积分的被积表达式易求原函数，另一积分可添加辅助线后用格林公式.其中为用格林公式求 2，添加辅助线 . 与 围成区域 D，并构成 D 的负向边界，于是又 的方程：y=x，x1，2，则因此=-4+3=-.故 = 1+ 2=. )解析：将 表成 ，也可添加辅助线 ，对整个积分 在 与 围成的区域 D 上用格林公式得其中=(y)cosx-(y)cosx+2=2.又在 上，y=x(x1，2)，19.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(求 及其收敛域，令 ，转化为求及其收敛域，由于f(0)=1.因为逐项求导数保持幂级
20、数的收敛半径不变 与有相同的收敛半径 R=1，回到原问题 有收敛半径 ，且于是在收敛区间端点 ，幂级数为 是收敛的，又 在 处连续，因此)解析：利用逐项求导或逐项积分的方法求幂级数的收敛域与和函数时，往往可以不必先求收敛半径，而是利用逐项求导或逐项积分保持收敛半径不变的性质，由已知逐项求导或逐项积分后幂级数的收敛半径而求导得原幂级数的收敛半径，然后再验证收敛区间端点的敛散性而求得收敛域.这是缺项幂级数(有无穷多项系数为零)，若先求它的收敛半径时，不能直接用求 R 公式，只能用如下两种方法：方法 1把级数表为 ，用根值判别法得当 即 收敛，当 即 时 发散. 收敛半径 .方法 2变量替换法. 令
21、 t=x2，对 用求 R 公式原幂级数收敛半径20.已知 1=(1，3，5，-1) T， 2=(2，7，a，4) T，a 3=(5，17，-1，7) T,()若 1， 2， 3线性相关，求 a 的值；()当 a=3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向量 4；()当 a=3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个 4 维列向量.（分数：11.00）_正确答案：() 1， 2， 3线性相关 秩 r( 1， 2， 3)3. 由于所以 a=-3. ()设 4=(x1，x 2，x 3，x 4)T，则有( 1， 4)=0，( 2， 4)=0，( 3， 4)=0，即所以 4=k(19，-6，0，1)
22、 T，其中 k0. ()由于所以 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4= 恒有解，即任-4 维列向量必可由 1， 2， 3， 4线性表出. 或者由()知 a=3 时， 1， 2， 3必线性无关，那么：若k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0,用 左乘上式两端并利用 ，有 )解析：21.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1=- 1-3 2-3 3，A 2=4 1+4 2+ 3，A 3=-2 1+3 3.()求矩阵 A 的特征值；()求矩阵 A 的特征向量；()求矩阵 A*-6E 的秩.（分数：11.00）_正确答案：()据已知条件，有A( 1，
23、 2， 3)=(- 1-3 2-3 3，4 1+4 2+ 3，-2 1+3 3)记 及 P1=( 1， 2， 3)，那么由 1， 2， 3线性无关知矩阵 P1可逆，且 ，即 A 与 B 相似.由矩阵 B 的特征多项式得矩阵 B 的特征值是 1，2，3. 从而知矩阵 A 的特征值是 1，2，3.()由(E-B)x=0 得基础解系 1=(1，1，1) T，即矩阵 B 属于特征值 =1 的特征向量，由(2E-B)x=0 得基础解系 2=(2，3，3) T，即矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，由(3E-B)x=0 得基础解系 3=(1，3，4) T，即矩阵 B 属于特征值 =3 的特征向量，那么
24、令 P2=( 1， 2， 3)，则有 于是令=( 1+ 2+ 3，2 1+3 2+3 3， 1+3 2+4 3)，则有所以矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的线性无关的特征向量依次为k1( 1+ 2+ 3)，k 2(2 1+3 2+3 3)，k 3( 1+3 2+4 3)，k i0(i=1，2，3).()由 及|A|=6 知，从而 )解析：本题综合性强，知识点与方法多，考生需很好地思考与总结. 例如在特征值的求法上既有用特征多项式，又有用相似矩阵有相同的特征值，还有相关联矩阵特征值之间的联系等方法；在求特征向量时既有齐次方程组( iE-A)x=0 的解，又有 P-1AP=A 中，P 是 A 的
25、特征向量. 本题还涉及相似时可逆矩阵 P 的求法以及相关联矩阵间相似问题等等.22.袋中装有 5 个白球，3 个红球，第一次从袋中任取一球，取后不放回，第二次从袋中任取 2 球，用 Xi表示第 i 次取到的白球数，i=1，2.()求(X 1，X 2)的联合分布；()求 PX1=0，X 20，PX 1X2=0；()判断 X1，X 2是否相关，是正相关还是负相关.（分数：11.00）_正确答案：()X 1的可能取值为 0，1；X 2的取值为 0，1，2. 由乘法公式可得得联合分布与边缘分布如下()PX 1=0，X 20=PX 1=0，X 2=1+PX1=0，X 2=2=PX1X2=0=1-PX1X
26、20=1-PX 1=1，X 2=1+PX1=1，X 2=2或PX1X2=0=PX1=0，X 2=0+PX1=0，X 20+PX 10，X 2=0()由边缘分布知 ，而故 )解析：23.设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且 X，Y 相互独立，记随机变量 Z=X+2Y.()求 Z 的概率密度；()求 EZ，DZ.（分数：11.00）_正确答案：()由题设 X，Y 相互独立，且故先求 Z 的分布函数. 当 z0 时，F Z(z)=0；当 0z2 时，当 z2 时，所以于是()直接用期望、方差的运算性质. 由于 EX=1， ，且 X，Y 相互独立，故EZ=E(X+2Y)=EX+2EY=1+1=2，DZ=D(X+2Y)=DX+4DY= )解析：该题()问在实际考试中是送分题，但若用 Z 的密度函数 fZ(z)按定义求 EZ，DZ，则会事锫功半，且极易出现错误，所以在解题时一定要注意选择方法.
