1、考研数学一-196 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 P(x)在(-，+)连续，且以 T 为周期，则 是方程（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在-，有定义，且 f(0)=f(0)=0，f(0)=a0，又 收敛，则 p 的取值范围是A B （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列命题中不正确的是A 在区域 D=(x，y)|(x，y)(1，0)内与路径无关.B 在区域 D=(x，y)|(x，y)(0
2、，0)内不是与路径无关.C 设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 ，则 Qdy 在区域 D 内与路径无关.D （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 1， 2， 3， 4是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是A如果 4不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3线性相关. B如果 1， 2， 3线性相关， 2， 3， 4线性相关，那么 1， 2， 4也线性相关. C如果 3不能由 1， 2线性表出， 4不能由 2， 3线性表出，则 1可以由 2， 3， 4线性表出.D如果秩 r( 1， 1+ 2， 2+ 3)
3、=r( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)，则 4可以由 1， 2， 3线性表出.（分数：4.00）A.B.C.D.7.商店出售 10 台洗衣机，其中恰有 3 台次品，现已售出一台洗衣机，在余下的洗衣机中任取两分发现均为正品，则原先售出的一台是次品的概率为A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2，X 25是取自总体 X 的简单随机样本， 为样本均直，若 ，则 a=A. B5-. C （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_10.函数
4、（分数：4.00）填空项 1:_11.若 的收敛域是(-8，8，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有定义，且满足：f(x，y)=f(x 0，y 0)+a(x-x0)+b(y-y0)+o()(0)，其中 a，b 为常数， ，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.设每次试验的成功率为 p(0p1)，不断进行独立重复试验，直到首次成功为止，令随机变量（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知极限（分数：10.00）_16.设有摆线 (-)，试求：()L 绕 x
5、轴旋转一周所得旋转面的面积；()L 与 x 轴所围平面图形的形心 （分数：10.00）_17.求空间曲线积分 （分数：10.00）_18.设 z=z(x，y)有二阶连续的偏导数且满足（分数：10.00）_19.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 f(0)=0，f(1)=1，求证： (0，1)使得（分数：10.00）_20.已知 A 是 3 阶矩阵， i(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若 A i=i i(i=1，2，3)，令 = 1+ 2+ 3.()证明：，A，A 2 线性无关；()设 P=(，A，A 2)，求 P-1AP.（分数：11.00）_21.设二次型矩阵 A 满足
6、AB=0，其中 （分数：11.00）_22.设某地区在一处内发生一般性交通事故的次数 X 和发生重大交通事故的次数 Y 相互独立，且分别服从参数为 1和 2的泊松分布. 试求在一年内共发生了 n(n0)次交通事故的条件下，重大交通事故 Y 的条件概率分布.（分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为其中 0，a0 为已知参数. 记()求 的矩估计量 和最大似然估计量 ；()求 Y 的数学期望 EY 的最大似然估计量 （分数：11.00）_考研数学一-196 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：
7、32.00)1.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有A BC D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析一 考察 f(x)与 f(x)的关系，设 x0，1，则由牛顿-莱布尼兹公式及 f(0)=0，有由积分基本性质，并考虑到 ，有于是 故选 A.分析二 同样考察 f(x)与 f(x)的关系. 由拉格朗日中值定理知当 x0，1时f(x)=f(x)-f(0)=f()x，(0，x). 2.设 P(x)在(-，+)连续，且以 T 为周期，则 是方程（分数：4.00）A.B.C. D.解析：方程(*)的解 y(x)0 以 T 为周期 且 C0，又故选 C.注意周期函数的积
8、分性质：设 P(t)在(-，+)连续，以 T 为周期，则上述分析中用到了性质 1. 若用性质 2，则可更简单地选到 C，即以 T 为周期 以 T 为周期3.设 f(x)在-，有定义，且 f(0)=f(0)=0，f(0)=a0，又 收敛，则 p 的取值范围是A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：实质上是确定 n+时无穷小 关于 的阶. 方法 1 由泰勒公式，方法 2 用洛必达法则确定 n0 使得因此 与 有相同的敛散性，即仅当 收敛时 收敛 p 的取值范围是4.下列命题中不正确的是A 在区域 D=(x，y)|(x，y)(1，0)内与路径无关.B 在区域 D=(x，y)|(x，y)(0
9、，0)内不是与路径无关.C 设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 ，则 Qdy 在区域 D 内与路径无关.D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 若熟悉积分与路径无关的判别法则，则可知 C 不正确. 在 C 中的条件下，若又有区域 D是单连通的，则 在区域 D 与路径无关；若 D 不是单连通的，则积分 不一定与路径无关，分析二 关于 A：易求原函数因此 在 D 内与路径无关.当 P(x，y)，Q(x，y)在 D 连续时， 在 D 内与路径无关 在 D 原函数. 因而 B，D 或均正确或均不正确，由于这四个结论中只有一个不正确，因而 B，D 均正确.故
10、应选 C.关于 B：取 L 为单位圆 x2+y2=1，逆时针方向，则，因此积分不是与路径无关. 从而5.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：对行列式|A|按第 2 行展开，有2A21+2A22+A23+A24=9 构造行列式则|A|和|B|第 2 行元素代数余子式相同，对|B|按第 2 行展开，又有A21+A22+2A23+2A24=|B|=0. 联立，可得 A21+A22=6. 故选 B.作为复习，请你求解：设 n 阶矩阵试求：()|A|中所有元素的代数余子式之和，即()|A|中第 k 行元素代数余子式之和，即分析直接求|A|中代数余子式之和比较麻烦. 由于 A 的伴随矩阵 A*
11、=(Aij)nn=|A|A-1，因此只要计算出|A|和 A-1，就可以通过 A*=|A|A-1求代数余子式之和.()按照第 1 列最后一个元素展开，可得将矩阵 A 分块求逆矩阵 A-1.其中根据分块矩阵求逆公式，有于是所以()根据第()小题结果，由于因此6.已知 1， 2， 3， 4是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是A如果 4不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3线性相关. B如果 1， 2， 3线性相关， 2， 3， 4线性相关，那么 1， 2， 4也线性相关. C如果 3不能由 1， 2线性表出， 4不能由 2， 3线性表出，则 1可以由 2， 3， 4线性表出.D如果秩
12、 r( 1， 1+ 2， 2+ 3)=r( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)，则 4可以由 1， 2， 3线性表出.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：例如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，2，0) T， 4=(0，0，1) T，可知 B 不正确，应选 B.关于 A：如果 1， 2， 3线性无关，又因 1， 2， 3， 4是 4 个 3 维向量，它们必线性相关而知 4必可由 1， 2， 3线性表出，关于 C：由已知条件，有()r( 1， 2)r( 1， 2， 3)，()r( 2， 3)r( 2， 3， 4).若 r( 2， 3)=1，则必有 r( 1
13、， 2)=r( 1， 2， 3)，与条件()矛盾. 故必有 r( 2， 3)=2. 那么由()知 r( 2， 3， 4)=3，从而 r( 1， 2， 3， 4)=3. 因此 1可以由 2， 3， 4线性表出.关于 D：经初等变换有( 1， 1+ 2， 2+ 3)( 1， 2， 2+ 3)( 1， 2， 3),( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)( 4， 1， 2， 3)( 1， 2， 3， 4)，从而 r( 1， 2， 3)=r( 1， 2， 3， 4). 因而 4可以由 1， 2， 3线性表出.7.商店出售 10 台洗衣机，其中恰有 3 台次品，现已售出一台洗衣机，在余下的洗衣机中任
14、取两分发现均为正品，则原先售出的一台是次品的概率为A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：设 A 表示“第一次取出是次品”，B 表示“在余下的洗衣机中任取两台为正品”，则由全概率公式，有由贝叶斯公式，可得8.设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2，X 25是取自总体 X 的简单随机样本， 为样本均直，若 ，则 a=A. B5-. C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于 XN(， 2)，故有而依题意二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析一 按题意， ，为先求 f(x)
15、，将 求导得分析二 同前，求出 令 x=sint，则由 F(1)=0，定出10.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：由题设知 F(x)是(-，+)上连续的偶函数，且由F(x)在(-，0，在0，+).由于 F(0)=0，又因此，函数 F(x)的值域区间是11.若 的收敛域是(-8，8，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2.）解析：由 的收敛域是(-8，8可知， 有收敛域-8x 38 即-2x2. 幂级数 的收敛半径是 2，从而幂级数 的收敛半径也是 2. 又因幂级数 是幂级数 两次逐项求导所得，由幂级数的分析性质知，幂级数 的收敛半径是 2.应掌握幂级数
16、收敛性的如下特点：幂级数 与其逐项求导、逐项求积分后的幂级数有相同的收敛半径.本题还考查间接求导幂级数的收敛域的方法.求幂级数 的收敛半径时，考生错解为：由 的收敛域是(-8，8可知，幂级数 的收敛半径是 8，所以于是幂级数 的收敛半径是 8，从而 的收敛半径是 . 错在何处？因为已知和定理是：若 的收敛半径为 ，但反过来不一定时，即若 的收敛半径为 R，则不一定有 因极限 可能不存在，因此前面的解法是加强了条件即假设 存在的前提下获得的结果，作为填空题，不看解题过程，也可填上正确答案.另一常见的错误是，由 得 的收敛半径为 8.这是缺项幂级数(有无穷多项系数为零). 若把此级数记为 ，这里
17、不是 bn，而是 b3n，其余 b3n-1=0，b 3n-2=0(n=1，2，3) 不 ，求缺项幂级数的收敛半径，不能套用收敛半径计算公式，通常用：1变量替换法化为不缺项的情形，该题用了这种方法.2把幂级数表为 对每个 x，用比值或根判别法求 或12.设 f(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有定义，且满足：f(x，y)=f(x 0，y 0)+a(x-x0)+b(y-y0)+o()(0)，其中 a，b 为常数， ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：由 f(x，y)=f(x 0，y 0)+a(x-x0)+b(y-y0)+o() (0)f(x,y)在点(x 0，y 0)处
18、可微且13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：对 Ax=0 的系数矩阵 A 作初等行变换，有得基础解系 1=(1，5，3，0) T， 2=(-2，-1，0，3) T.正交化有单位化得14.设每次试验的成功率为 p(0p1)，不断进行独立重复试验，直到首次成功为止，令随机变量（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：设 X 表示“取得首次成功所需进行的试验次数”，则 X 服从几何分布，即PX=n=pqn-1，n=1，2，其中 q=1-p.而故三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知极限（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解一 用洛必达法
19、则. 由(否则 =，不合题意).继续用洛必达法则(否则 =，不合题意). 再用洛必达法则由，式分析与求解二 用泰勒公式. 已知代入得)解析：16.设有摆线 (-)，试求：()L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积；()L 与 x 轴所围平面图形的形心 （分数：10.00）_正确答案：()这是由参数方程给出的曲线. 由于x()=1-cos，y()=sin，则按旋转面面积计算公式，可得该旋转面的面积()由平面图形的形心公式，有当 x=-sin 时 -，对应 -，相应地 y(x)=1-cos因此由对称性知， . 故所求平面图形的质心为 )解析：本题有如下变式：()求 L 的弧长 l.解：按弧长计算公
20、式：()求 L 上任意点的曲率.解：按参数式求导法，先求出再求出最后按曲率公式，L 上 点处的曲率为()求曲线型物体 L 的形心解：按形心公式得由对称性同样得17.求空间曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解一 L 的方程是 L 的参数方程是z=cost，y=1+sint，z=2+sint.按 L 的定向 t 从 0 到 2，于是代公式得其中分析与求解二 L 是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分，圆柱面所截平面 y=z-1 部分记为，按右手法则取上侧，用斯托克斯公式，将曲线积分，化为上的第二类曲面积分，有在 xy 平面的投影区域易求，即 Dxy：x 2+
21、(y-1)21. 将此曲面积分 J 投影到 xy 平面化为二重积分，则的方程为分析与求解三 L 是母线平行于 z 轴的柱面与平面的交线，可投影到 xy 平面上，然后用格林公式.由 L 的方程 z=y+1，dz=dy，L 在 xy 平面上的投影曲线记为 ：x 2+(y-1)2=1，z=0. 相应地也取逆时针方向，于是代入积分表达式得)解析：在分析与求解二中，斯托克斯公式也可用第一类曲面积分表示，即由的方程 y=z-1 及的法向量朝上可知，的方向余弦其中 是的面积，它在 xy 平面上的投影面积是 J=当空间曲线 L 的参数方程易写出且被积表达式又较简单时可考虑直接代公式化为定积分来计算空阅曲线积分
22、，计算定积分时要注意利用周期函数与奇偶函数的积分性质来简化计算.当空间曲线是平面曲线或特殊的曲面(如球面)上的曲线时，常可考虑用斯托克斯公式将空间曲线积分化为平面或特殊曲面(如球面)上的面积分，以简化计算当空间曲线 L 是以 Oxy 平面曲线 l 为准线，母线平行于 z 轴的柱面与曲面 z=f(x，y)的交线时，它们的定向相同，求可投影到 xy 平面，转化为求平面曲线积分就是将 z=f(x，y)代入被积表达式，其中本题的分析与求解三就是用的这种方法.18.设 z=z(x，y)有二阶连续的偏导数且满足（分数：10.00）_正确答案：()z=xy-w，由复合函数微分法则，得再求导代入原方程即 (*
23、)()解方程(*)，对 u 积分得 再对 u 积分其中 (v)， 是任意的有二阶连续导数的函数，则)解析：设 z=z(x，y)作为 x，y 的函数，它和它的偏导数满足某个方程，作自变量替换 x=x(u，v)，y=(u，v)换为 u，v 的函数，利用复合函数求导法，就可导出 z 作为 u，v 函数所满足的相应方程，若它很简单的话，就可求出函数 z=z(x，y)，本题就是这种情形.设 u=u(t)是一元函数，作变量替换 t=t(x，y，z)(或 t=t(x，y)，u 就变换为 x，y，z 的三元函数(x，y 的二元函数). 若 u 和它的偏导数满足某方程，由复合函数求导法，在某些情形下就可导出 u
24、=u(t)满足的常微分方程并求出 u=ut).设 u=u(r)，设 u=u(r)，19.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 f(0)=0，f(1)=1，求证： (0，1)使得（分数：10.00）_正确答案：(因为 ，由连续函数的介值定理可知存在 c(0，1)，使得对此 c，在0，c与c，1上分别应用拉格朗日中值定理 ，(c，1)，使得又左端为 )解析：按题设与要证的结论，要在0，1的某两个区间上用拉格朗日中值定理 取 c(0，1)，分别在0，c与c，1上用拉格朗日中值定理 ，(c，1)使得即关键是取 c(0，1)及 f(c)使得左端为 2，只需取 f(c)使得f(c)-f(0)=f
25、(1)-f(c)，即20.已知 A 是 3 阶矩阵， i(i=1，2，3)是 3 维非零列向量，若 A i=i i(i=1，2，3)，令 = 1+ 2+ 3.()证明：，A，A 2 线性无关；()设 P=(，A，A 2)，求 P-1AP.（分数：11.00）_正确答案：()由 A 1= 1，A 2=2 2，A 3=3 3，且 1， 2， 3非零可知， 1， 2， 3是 A 的不同特征值的特征向量，故 1， 2， 3线性无关.又 A= 1+2 2+3 3，A 2= 1+4 2+9 3，若 k1+k 2A+k 3A2=0，即k1( 1+ 2+ 3)+k2( 1+2 2+3 3)+k3( 1+4 2
26、+9 3)=0,则(k 1+k2+k3) 1+(k1+2k2+4k3) 2+(k1+3k2+9k3) 3=0. 由 1， 2， 3线性无关，得齐次线性方程组因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为 0，所以必有 k1=k2=k3=0，即 ，A，A 2 线性无关.()因为 A3= 1+8 2+27 3=6-11A+6A 2，所以AP=A(，A，A 2)=(A，A 2，6-11A+6A 2)故 )解析：证明向量组的线性无关性有多种方法，本题是用定义法，要掌握这种证明方法. 即先设k1 1+k2 2+ks s=0，然后根据已知条件作恒等变形，证明必有 k1=0，k 2=0，k s=0. 从而 1， 2
27、， s线性无关，对于 A3 要会 ，A，A 2 线性表出，要会把矩阵 AP=(A，A 2，A 3)恒等变形为 PB 形式.21.设二次型矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：11.00）_正确答案：()由 知，矩阵 B 的列向量是齐次方程组 Ax=0 的解向量.记 则 A 1=0=0 1，A 2=0=0 2. 由此可知 =0 是矩阵 A 的特征值(至少是二重)， 1， 2是 =0 的线性无关的特征向量. 根据 ，有 0+0+ 3=1+4+1，故知矩阵 A 有特征值 =6. 因此，矩阵 A 的特征值是 0，0，6.设 =6 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，那么由实对称矩阵不同特征
28、值的特征向量相互正交，有解出 3=(1，2，-1)T.对 1， 2正交化，令 1=(1，0，1) T，则再对 1， 2， 3单位化，得那么经坐标变换 x=Qy，即二次型化为标准形()因为 ，有 ，进而 又 所以由 得 于是)解析：要会用 AB=0，即由 AB=0 要联想到 B 的列向量是 Ax=0 的解，进而可转换出特征值、特征向量的信息，要掌握用正交变换法化二次型为标准形.本题也可由 AB=0 先求出 a、b、c 的值，然后再求解.22.设某地区在一处内发生一般性交通事故的次数 X 和发生重大交通事故的次数 Y 相互独立，且分别服从参数为 1和 2的泊松分布. 试求在一年内共发生了 n(n0
29、)次交通事故的条件下，重大交通事故 Y 的条件概率分布.（分数：11.00）_正确答案：(由条件知，n 的取值为 0，1，2，在一年内发生 X+Y=n 次交通事故的概率为对任意整数 k(0kn)，有由上面计算可知，在一年内发生 n 次交通事故的条件下，重大交通事故 Y 的发生次数服从二项分布 )解析：若随机变量 X( 1)，Y( 2)，且 X，Y 相互独立，则 X+Y( 1+ 2).23.设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为其中 0，a0 为已知参数. 记()求 的矩估计量 和最大似然估计量 ；()求 Y 的数学期望 EY 的最大似然估计量 （分数：11.00）_正确答案：()令 ，得 A 的矩估计量样本的似然函数取对数 ，令解得 ，从而 A 的最大似然估计量()由于 EY 是 的单调函数，根据最大似然估计的不变性，故 EY 的最大似然估计量为)解析：
