1、考研数学一-191 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是_。Asinf(x) B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在(-，+)存在二阶导数，且 f(x)=-f(-x)，当 x0 时有 f(x)0，f“(x)0，则当 x0时有_。Af(x)0，f“(x)0 Bf(x)0，f“(x)0Cf(x)0，f“(x)0 Df(x)0，f“(x)0（分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)连续，且 f
2、(0)0，则存在 0，使得_。A在(0，)内 f(x)单调增加 B在(-，0)内 f(x)单调减少C对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) D对任意的 x(-，0)，有 f(x)f(0)（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 1， 2为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1， 2为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 均是 n 阶可逆矩阵，则行列式 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意实数 x，有_。AF(
3、x)+F(-x)=1 BF(1+x)+F(1-x)=1CF(x+1)+F(x-1)=1 DF(1-x)+F(x-1)=1（分数：4.00）A.B.C.D.8.在假设检验中，H 0为原假设，下列选项中犯第一类错误(弃真)的是_。AH 0为假，接受 H0 BH 0为真，拒绝 H0CH 0为假，拒绝 H0 DH 0为真，接受 H0（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 y“(0)=_。（分数：4.00）填空项 1:_10.方程 yy“=1+y2满足初始条件 y(0)=1，y(0)=0 的特解为
4、_。（分数：4.00）填空项 1:_11.设微分方程 的通解为 （分数：4.00）填空项 1:_12.方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1=1， 2=-1， 3=2。A *是 A 的伴随矩阵，E 是三阶单位阵，则（分数：4.00）填空项 1:_14.已知随机变量 X 的概率分布为 ，当 X=k 时随机变量 Y 在(0，k)上服从均匀分布，即 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 。确定 a，b 的值，使等式在变换=x+ay，=x+by 下简化为 （分数：10
5、.00）_（分数：10.00）(1).求幂级数*的收敛域及其在收敛域内的和函数；（分数：5.00）_(2).将所求得的和函数展开成(x+1)的幂级数。（分数：5.00）_16.计算 （分数：10.00）_17.判断 （分数：10.00）_18.计算 （分数：10.00）_设 n 阶矩阵 A=( 1， 2， n)的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，且 1+2 2+(n-1) n-1=0，b= 1+ 2+ n。（分数：11.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：5.50）_(2).求方程组 AX=b 的通解。（分数：5.50）_19.设二次型 经过正交
6、变换 X=QY 化为标准形 f= （分数：11.00）_20.设连续型随机变量 X 的分布函数为 ，其中 a0，(x)，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 （分数：11.00）_21.设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为 1、标准差(均方差)为 （分数：11.00）_考研数学一-191 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是_。Asinf(x) B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的奇偶性解析 由题设知，f(t)si
7、nt 为偶函数，故2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的间断点解析 因为3.设 f(x)在(-，+)存在二阶导数，且 f(x)=-f(-x)，当 x0 时有 f(x)0，f“(x)0，则当 x0时有_。Af(x)0，f“(x)0 Bf(x)0，f“(x)0Cf(x)0，f“(x)0 Df(x)0，f“(x)0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 导数的应用解析 f(x)为奇函数，当 x0 时，f(x)的图形为递减的凹曲线；当 x0 时，f(x)的图形为递减的凸曲线，故选(D)。4.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得_。A在(0，)内 f(x
8、)单调增加 B在(-，0)内 f(x)单调减少C对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) D对任意的 x(-，0)，有 f(x)f(0)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 利用导数的定义和极限的保号性解析 ，由极限的的保号性， ，在此邻域内，5.设 1， 2为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1， 2为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 非齐次线性方程组的解解析 因为 1， 1+ 2为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而6.设 A，B 均是 n 阶可逆矩阵，则
9、行列式 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 行列式的计算解析 7.设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意实数 x，有_。AF(x)+F(-x)=1 BF(1+x)+F(1-x)=1CF(x+1)+F(x-1)=1 DF(1-x)+F(x-1)=1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 考查随机变量的分布函数解析 由于 XN(1， 2)，所以 。由此可知相应的四个选项是ABCD ，因为 xR 它们都要成立，因此选(B)。8.在假设检验中，H 0为原假设，下列选项中犯第一类错误(弃真)的是_。AH 0为假，接受 H0 BH 0为真，拒绝
10、H0CH 0为假，拒绝 H0 DH 0为真，接受 H0（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 假设检验解析 根据假设检验的基本概念，可知本题选(B)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 y“(0)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：考点 函数方程求二阶导数解析 方程两边对 x 两次求导得eyy+6xy+6y+2x=0 eyy“+eyy2+6xy“+12y+2=0以 x=0 代入原方程得 y(0)=0，以 x=0，y(0)=0 代入式得 y(0)=0，再以 x=y(0)=y(0)=0
11、 代入式得 y“(0)=-2。10.方程 yy“=1+y2满足初始条件 y(0)=1，y(0)=0 的特解为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 高阶微分方程的解解析 令 y=p，则 ，即 ，解得 ln(1+p2)=lny2+lnC1，则 1+p2=C1y2，由 y(0)=1，y(0)=0 得 ，由 y(0)=1 得 C2=0，所以特解为11.设微分方程 的通解为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 微分方程的解解析 将 代入微分方程，得 ，故 (x)=12.方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 方程的零点解析
12、 令 ，f(0)=-20， ，由零点定理知，此方程在区间(0，1)内至少有一个实根，又13.设 A 是三阶矩阵，有特征值 1=1， 2=-1， 3=2。A *是 A 的伴随矩阵，E 是三阶单位阵，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2 11）解析：考点 抽象行列式的计算解析 A 有特征值 1=1， 2=-1， 3=2，故从而有14.已知随机变量 X 的概率分布为 ，当 X=k 时随机变量 Y 在(0，k)上服从均匀分布，即 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 全概率公式解析 由题设知 ，根据全概率公式得三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数
13、 u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 。确定 a，b 的值，使等式在变换=x+ay，=x+by 下简化为 （分数：10.00）_正确答案：(将以上各式代入原等式，得由题意，令 且 6ab+4(a+b)+20，故 或 )解析：考点 函数的偏导数（分数：10.00）(1).求幂级数*的收敛域及其在收敛域内的和函数；（分数：5.00）_正确答案：(由于 ，所以|x-1|1，即 0x2。当 x=0 和 x=2 时幂级数变为 ，均发散，故原级数的收敛域为(0，2)，设 ，则 ，所以 ，则 )解析：(2).将所求得的和函数展开成(x+1)的幂级数。（分数：5.00）_正确答案：(所以)解析：考
14、点 级数的收敛域及和函数16.计算 （分数：10.00）_正确答案：(令 sin(y-x)=0，则 y=x 或 y-x=，如图：D=D 1+D2，且 D1D 2=，D1=(x，y)|0x，x+y2D2=(x，y)|0x，xyx+)+(x，y)|x2，xy2)解析：考点 二重积分17.判断 （分数：10.00）_正确答案：(设 tan=n+1，tan=n，则 ，从而有 ，于是由 ，知级数 收敛，且和为 )解析：考点 判断级数的敛散性，并且求和函数18.计算 （分数：10.00）_正确答案：(投影到 xy 平面，将积分曲面分成上下两部分，分别记为 1与 2，则 。= 1 2。并且在 1上法向量 n
15、 与 z 轴正方向的夹角为锐角；在 2上法向量与 z 轴正方向的夹角为钝角。 1， 2在 xOy 平面上的投影域均为 D：z=0，x0，y0，x 2+y21，所以)解析：考点 曲面积分设 n 阶矩阵 A=( 1， 2， n)的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，且 1+2 2+(n-1) n-1=0，b= 1+ 2+ n。（分数：11.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：5.50）_正确答案：(因为 r(X|A)=n-1，又 b= 1+ 2+ n，所以 r(A)=n-1，即 r( )解析：考点 非齐次线性方程组的解(2).求方程组 AX=b 的通解
16、。（分数：5.50）_正确答案：(因为 1+2 2+(n-1) n-1=0，所以 1+2 2+(n-1) n-1+0 n=0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n-1，0) T，故方程组 AX=b 的通解为 k+=k(1，2，n-1，0) T+(1，1，1) T(k 为任意常数)。)解析：19.设二次型 经过正交变换 X=QY 化为标准形 f= （分数：11.00）_正确答案：(二次型 的矩阵形式为 f=XTAX，其中 ，因为 ，所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为 1，1，4，而|E-A|= 3-(a+4) 2+(4a-b2+2)+(-3a
17、-2b+2b2+2)，所以有 3-(a+4) 2+(4a-b2+2)+(-3a-2b+2b 2+2)=(-1) 2(-4)，解得 a=2，b=1，当 1= 2=1 时，由(E-A)X=0，得 ，由 3=4 时，由(4E-A)X=0 得 ，显然 1， 2， 3两两正交，单位化为 ，则 )解析：考点 二次型及其标准型20.设连续型随机变量 X 的分布函数为 ，其中 a0，(x)，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 （分数：11.00）_正确答案：(当 y0 时，F y(y)=0。当 y0 时， 。所求 Y 的分布函数为将 FY(y)对 Y 求导数，得到 Y 的概率密度为 )解析：考点 随机变量函数的概率密度21.设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为 1、标准差(均方差)为 （分数：11.00）_正确答案：(由于独立的正态变量 X 与 Y 的线性组合仍服从正态分布，且EZ=2EX-EY+3=5，DZ=4DX+DY=9，因此 Z 的概率密度函数为 )解析：考点 随机变量密度函数
