1、考研数学一-189 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设微分方程 y(x)是方程 y“+(x-1)y+x2y=ex满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设在全平面上有 （分数：4.00）A.B.C.D.3.累次积分 可以写成_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 0p1，级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是_。AAB 为对称矩阵 B设 A，B 可逆，则 A-1+B-1为对称矩阵CA+B 为对称矩阵 DkA 为
2、对称矩阵（分数：4.00）A.B.C.D.6.设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，矩阵 A 与 B 相似，则下列矩阵可逆的是_。AB+E BB -1+E CB *-E DB 2-4E（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X1，X 2，X n，相互独立，则 X1，X 2，X n，满足辛钦大数定律的条件是_。AX 1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望与方差BX 1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望CX 1，X 2，X n，为同分布的离散型随机变量DX 1，X 2，X n，为同分布的连续型随机变量（分数：4.00）A.B.C.D.8.总体 XN(，5 2)，则总体参数 的置信
3、度为 1- 的置信区间的长度_。A与 无关 B随 的增加而增加C随 的增大而减少 D与 有关但与 的增减性无关（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，则 f“(2)=_。（分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)=xex，则 f(n)(x)的极小值为_。（分数：4.00）填空项 1:_11.设曲线 L： （分数：4.00）填空项 1:_12.由方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n-2， 1， 2， 3是非齐次线性方程组 Ax=
4、b 的三个线性无关的解，则 Ax=b 的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设 Yn是 n 次伯努利试验中事件 A 出现的次数，p 为 A 在每次试验中出现的概率，则对任意 0，有（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在(-，0上连续，且满足 （分数：10.00）_设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上二阶可导，且 f(a)=0，f(b)0，f +(a)0，证明：（分数：10.00）(1).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=0；（分数：5.00）_(2).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()0。（分数：
5、5.00）_16.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15g/L，用管子以 2L/min 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2L/min 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1L/min 的速度输出，求出任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程。（分数：10.00）_17.设 f(u，v)具有连续偏导数，且 fu(u，v)+f v(u，v)=sin(u+v)e u+v，求 y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。（分数：10.00）_设 （分数：10.00）(1).a、b 为何值时，g(
6、x)在 x=0 处连续?（分数：5.00）_(2).a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处可导?（分数：5.00）_设 A 是实矩阵，证明：（分数：11.00）(1).ATAx=0 与 Ax=0 是同解方程组；（分数：5.50）_(2).秩(A TA)=秩(A)。（分数：5.50）_18.已知三元二次型 xTAx 经正交变换化为 ，又知 A*=，其中 （分数：11.00）_19.已知随机变量 （分数：11.00）_20.设总体 XU( 1， 2)， 2 1，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的样本，求 1， 2的矩估计和最大似然估计。（分数：11.00）_考研数学一-189 答案解析(总
7、分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设微分方程 y(x)是方程 y“+(x-1)y+x2y=ex满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的极限解析 ，将 x=0 代入方程，得 y“(0)+(x-1)y(0)+x2y(0)=1，又 y(0)=0，y(0)=1，故 y“(0)=2，所以2.设在全平面上有 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 二元函数的性质解析 关于 x 单调减少，3.累次积分 可以写成_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 二重积分解析 由
8、题设可知积分区域在极坐标系 x=rcos，y=rsin 下是 ，D 的图形如图所示。它在直角坐标系下是 或 ，因此，这个二重积分在直角坐标下化为累次积分应为 ，由此可见(D)是正确的。4.设 0p1，级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 级数的敛散性解析 当 0p1 时，由积分中值定理得所以而 发散，所以原级数非绝对收敛。又 ，而 n(n，n+1)，即5.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是_。AAB 为对称矩阵 B设 A，B 可逆，则 A-1+B-1为对称矩阵CA+B 为对称矩阵 DkA 为对称矩阵（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 对称阵的性质解析
9、 由(A+B) T=AT+BT=A+B 得 A+B 为对称矩阵由(A -1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得 A-1+B-1为对称矩阵；由(kA) T=kAT=kA 得知 kA 为对称矩阵，选(A)。6.设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，矩阵 A 与 B 相似，则下列矩阵可逆的是_。AB+E BB -1+E CB *-E DB 2-4E（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵可逆的判断解析 由题意知，B 的特征值也是-1，1，2，从而由|B|=-20 知，B 是可逆阵，且 B*=|B|B-1=-2B-1。据此，可知 B2的特征值为 1，1，4；B -
10、1的特征值为-1，1， ；B *的特征值为 2，-2，-1，进而可知，B+E 的特征值为 0，2，3；B -1+E 的特征值为 0，2，7.设 X1，X 2，X n，相互独立，则 X1，X 2，X n，满足辛钦大数定律的条件是_。AX 1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望与方差BX 1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望CX 1，X 2，X n，为同分布的离散型随机变量DX 1，X 2，X n，为同分布的连续型随机变量（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 辛钦大数定律解析 根据辛钦大数定律的条件，应选(B)。8.总体 XN(，5 2)，则总体参数 的置信度为 1- 的置
11、信区间的长度_。A与 无关 B随 的增加而增加C随 的增大而减少 D与 有关但与 的增减性无关（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 置信区间解析 总体方差已知，参数 的置信度为 1- 的置信区间为 ，其中 n 为样本容量，长度为 ，因为 越小，则二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，则 f“(2)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2e 3）解析：考点 一元复合函数求导法则解析 已知 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，f(x)=e f(x)，所以 f(x)在 x=2 的同一邻
12、域内可导，即在该邻域内函数 f(x)二阶可导，且 f“(x)=ef(x)=-f(x)ef(x)=e2f(x)。于是 f“(x)也在 x=2 的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x)三阶可导，且 f“(x)=e2f(x)=2f(x)e2f(x)=2e3f(x)，将 f(2)=1 代入可得 f“(2)=2e3。10.设 f(x)=xex，则 f(n)(x)的极小值为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 先求 n 阶导数，再求极值解析 f(x)=xe xf(n)(x)=(n+x)exf(n+1)(x)=(n+1+x)exf(n+2)(x)=(n+2+x)ex令 f(n
13、+1)(x)=0，解得 f(n)(x)的驻点 x=-(n+1)，又 f(n+2)-(n+1)=n+2-(n+1)e-(n+1)=e-(n+1)0，故 x=-(n+1)为 f(n)(x)的极小值点，11.设曲线 L： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 第一类曲线积分解析 12.由方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 复合函数求导数解析 两边求微分得 ，把(1，0，-1)代入上式得13.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n-2， 1， 2， 3是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 Ax=b 的通解为_。（分数：4.00）填空项 1
14、:_ （正确答案： 1+k1( 2- 1)+k2( 3- 1)，k 1，k 2R）解析：考点 非齐次线性方程的解解析 1， 2， 3是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 2- 1， 3- 1是 Ax=0 的两个解，且它们线性无关，又 n-r(A)=2，故 2- 1， 3- 1是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 1+k1( 2- 1)+k2( 3- 1)，k 1，k 2R。14.设 Yn是 n 次伯努利试验中事件 A 出现的次数，p 为 A 在每次试验中出现的概率，则对任意 0，有（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点 伯努利大数定律解析 三
15、、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在(-，0上连续，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(令 u=t2-x2，du=2tdt， ，故 。再令 y=-x2， ，即 。对 t 求导，得 ，故 。当 x-3 时，f(x)0，当-3x0 时，f(x)0，所以 x=-3，f(x)取得极小值 )解析：考点 函数的极值设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上二阶可导，且 f(a)=0，f(b)0，f +(a)0，证明：（分数：10.00）(1).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=0；（分数：5.00）_正确答案：(，由极限的保号性知，存在 0，当 x(a，a+)时
16、， ，f(x)0，取 c(a，a+)，则 f(c)0，f(x)在c，b上连续，又 f(c)0，f(b)0，由零点定理知，存在 (c，b) (a，b)，使得 f()=0。 )解析：(2).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()0。（分数：5.00）_正确答案：(对 f(x)在a，c，c，b上用拉格朗日中值定理，存在 r(a，c)，s(c，b)，使得再对 f(x)在r，s上用拉格朗日定理，存在 (r，s) (a，b)，使得 f“()= )解析：考点 零点定理与拉格朗日中值定理16.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15g/L，用管子以 2L/min 的速度将净水输入到
17、第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2L/min 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1L/min 的速度输出，求出任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程。（分数：10.00）_正确答案：(设有任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m1(t)，m 2(t)，在时间t，t+dt内有 ，即 ，且满足初始条件 m1(0)=150，解得 ；在时间t，t+dt内有 ，即 )解析：考点 微分方程的应用17.设 f(u，v)具有连续偏导数，且 fu(u，v)+f v(u，v)=sin(u+v)e u+v，求 y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分
18、方程，并求其通解。（分数：10.00）_正确答案：(由 y(x)=e-2xf(x，x)，有 y(x)=-2e-2xf(x，x)+e -2xf1(x，x)+f 2(x，x)，又条件 fu(u，v)+f v(u，v)=sin(u+v)e u+v，即 f1(u，v)+-f 2(u，v)=sin(u+v)e u+v，令 u=x，v=x 得 f1(x，x)+f 2(x，x)=sin(2x)e 2x，于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y(x)+2y(x)=sin2x。通解为 y(x)=e-2xsin2xe 2xdx+c，由分部积分公式，可得 ，所以 )解析：考点 微分方程的解设 （分数：10.00）(1
19、).a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处连续?（分数：5.00）_正确答案：(若要 g(x)在 x=0 处连续，必须 )解析：(2).a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处可导?（分数：5.00）_正确答案：(若要 g(x)在 x=0 处可导，则必须 g(x)在 x=0 处连续(b=-1)，且 g-(0)=g+(0)所以，所以 )解析：考点 函数的连续与可导设 A 是实矩阵，证明：（分数：11.00）(1).ATAx=0 与 Ax=0 是同解方程组；（分数：5.50）_正确答案：(若 x0是 Ax=0 的解，显然 x0是 ATAx=0 的解；反之，设 x0是 ATAx=0 的解，则 x0
20、TATAx0=0。即(Ax 0)TAx0=0，从而|Ax 0|2=(Ax0，Ax 0)=(Ax0)TAx0=0，于是Ax0=0，即 x0是 Ax=0 的解。A TAx=0 与 Ax=0 是同解方程组。)解析：(2).秩(A TA)=秩(A)。（分数：5.50）_正确答案：(既然 ATAx=0 与 Ax=0 是同解方程组，两者解空间维数相同，故秩(A TA)=秩(A)。)解析：考点 方程组的同解、矩阵的秩18.已知三元二次型 xTAx 经正交变换化为 ，又知 A*=，其中 （分数：11.00）_正确答案：(由 知，A 的特征值为 1=2， 2= 3=-1 且|A|=2，再由 A*= 知，AA *
21、=A，即|A|=A，也即 A=2，说明 是属于特征信 1=2 的特征向量。设 2= 3=-1 对应的特征向量为： ，则 Tx=0，即 x1+x2-x3=0，解得 ，由 A( 1， 2， 3)=(A 1，A 2，A 3)=(2，- 2，- 3)，知再求所用正交变换矩阵 Q。先将 2， 3正交化，得 ，再将 ， 2， 3单位化，得则 即为所求的正交矩阵。 )解析：考点 二次型19.已知随机变量 （分数：11.00）_正确答案：(设 Z 的分布函数为 FZ(z)，利用全概率公式和 X，Y 的独立性有：FZ(z)=P(XYz)=P(X=0)P(XYz|X=0)+P(X=1)P(XYz|X=1)故 ，其中 )解析：考点 二维随机变量的分布函数20.设总体 XU( 1， 2)， 2 1，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的样本，求 1， 2的矩估计和最大似然估计。（分数：11.00）_正确答案：( ，令又而 ，因为 lnL( 1， 2)是 1的单调增函数，是 2的单调减函数，所以 。 )解析：考点 参数估计
