1、考研数学一-189 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设微分方程 y(x)是方程 y“+(x-1)y+x2y=ex满足 y(0)=0,y(0)=1 的解,则 (分数:4.00)A.B.C.D.2.设在全平面上有 (分数:4.00)A.B.C.D.3.累次积分 可以写成_。A BC D (分数:4.00)A.B.C.D.4.设 0p1,级数 (分数:4.00)A.B.C.D.5.设 A,B 为 n 阶对称矩阵,下列结论不正确的是_。AAB 为对称矩阵 B设 A,B 可逆,则 A-1+B-1为对称矩阵CA+B 为对称矩阵 DkA 为
2、对称矩阵(分数:4.00)A.B.C.D.6.设三阶矩阵 A 的特征值为-1,1,2,矩阵 A 与 B 相似,则下列矩阵可逆的是_。AB+E BB -1+E CB *-E DB 2-4E(分数:4.00)A.B.C.D.7.设 X1,X 2,X n,相互独立,则 X1,X 2,X n,满足辛钦大数定律的条件是_。AX 1,X 2,X n,同分布且有相同的数学期望与方差BX 1,X 2,X n,同分布且有相同的数学期望CX 1,X 2,X n,为同分布的离散型随机变量DX 1,X 2,X n,为同分布的连续型随机变量(分数:4.00)A.B.C.D.8.总体 XN(,5 2),则总体参数 的置信
3、度为 1- 的置信区间的长度_。A与 无关 B随 的增加而增加C随 的增大而减少 D与 有关但与 的增减性无关(分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导,且 f(x)=ef(x),f(2)=1,则 f“(2)=_。(分数:4.00)填空项 1:_10.设 f(x)=xex,则 f(n)(x)的极小值为_。(分数:4.00)填空项 1:_11.设曲线 L: (分数:4.00)填空项 1:_12.由方程 (分数:4.00)填空项 1:_13.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n-2, 1, 2, 3是非齐次线性方程组 Ax=
4、b 的三个线性无关的解,则 Ax=b 的通解为_。(分数:4.00)填空项 1:_14.设 Yn是 n 次伯努利试验中事件 A 出现的次数,p 为 A 在每次试验中出现的概率,则对任意 0,有(分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 f(x)在(-,0上连续,且满足 (分数:10.00)_设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)上二阶可导,且 f(a)=0,f(b)0,f +(a)0,证明:(分数:10.00)(1).在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f()=0;(分数:5.00)_(2).在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f“()0。(分数:
5、5.00)_16.在 t=0 时,两只桶内各装 10L 的盐水,盐的浓度为 15g/L,用管子以 2L/min 的速度将净水输入到第一只桶内,搅拌均匀后的混合液又由管子以 2L/min 的速度被输送到第二只桶内,再将混合液搅拌均匀,然后用 1L/min 的速度输出,求出任意时刻 t0,从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程。(分数:10.00)_17.设 f(u,v)具有连续偏导数,且 fu(u,v)+f v(u,v)=sin(u+v)e u+v,求 y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。(分数:10.00)_设 (分数:10.00)(1).a、b 为何值时,g(
6、x)在 x=0 处连续?(分数:5.00)_(2).a、b 为何值时,g(x)在 x=0 处可导?(分数:5.00)_设 A 是实矩阵,证明:(分数:11.00)(1).ATAx=0 与 Ax=0 是同解方程组;(分数:5.50)_(2).秩(A TA)=秩(A)。(分数:5.50)_18.已知三元二次型 xTAx 经正交变换化为 ,又知 A*=,其中 (分数:11.00)_19.已知随机变量 (分数:11.00)_20.设总体 XU( 1, 2), 2 1,X 1,X 2,X n是来自总体 X 的样本,求 1, 2的矩估计和最大似然估计。(分数:11.00)_考研数学一-189 答案解析(总
7、分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设微分方程 y(x)是方程 y“+(x-1)y+x2y=ex满足 y(0)=0,y(0)=1 的解,则 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 函数的极限解析 ,将 x=0 代入方程,得 y“(0)+(x-1)y(0)+x2y(0)=1,又 y(0)=0,y(0)=1,故 y“(0)=2,所以2.设在全平面上有 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点 二元函数的性质解析 关于 x 单调减少,3.累次积分 可以写成_。A BC D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 二重积分解析 由
8、题设可知积分区域在极坐标系 x=rcos,y=rsin 下是 ,D 的图形如图所示。它在直角坐标系下是 或 ,因此,这个二重积分在直角坐标下化为累次积分应为 ,由此可见(D)是正确的。4.设 0p1,级数 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 级数的敛散性解析 当 0p1 时,由积分中值定理得所以而 发散,所以原级数非绝对收敛。又 ,而 n(n,n+1),即5.设 A,B 为 n 阶对称矩阵,下列结论不正确的是_。AAB 为对称矩阵 B设 A,B 可逆,则 A-1+B-1为对称矩阵CA+B 为对称矩阵 DkA 为对称矩阵(分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点 对称阵的性质解析
9、 由(A+B) T=AT+BT=A+B 得 A+B 为对称矩阵由(A -1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1,得 A-1+B-1为对称矩阵;由(kA) T=kAT=kA 得知 kA 为对称矩阵,选(A)。6.设三阶矩阵 A 的特征值为-1,1,2,矩阵 A 与 B 相似,则下列矩阵可逆的是_。AB+E BB -1+E CB *-E DB 2-4E(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 矩阵可逆的判断解析 由题意知,B 的特征值也是-1,1,2,从而由|B|=-20 知,B 是可逆阵,且 B*=|B|B-1=-2B-1。据此,可知 B2的特征值为 1,1,4;B -
10、1的特征值为-1,1, ;B *的特征值为 2,-2,-1,进而可知,B+E 的特征值为 0,2,3;B -1+E 的特征值为 0,2,7.设 X1,X 2,X n,相互独立,则 X1,X 2,X n,满足辛钦大数定律的条件是_。AX 1,X 2,X n,同分布且有相同的数学期望与方差BX 1,X 2,X n,同分布且有相同的数学期望CX 1,X 2,X n,为同分布的离散型随机变量DX 1,X 2,X n,为同分布的连续型随机变量(分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 辛钦大数定律解析 根据辛钦大数定律的条件,应选(B)。8.总体 XN(,5 2),则总体参数 的置信度为 1- 的置
11、信区间的长度_。A与 无关 B随 的增加而增加C随 的增大而减少 D与 有关但与 的增减性无关(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 置信区间解析 总体方差已知,参数 的置信度为 1- 的置信区间为 ,其中 n 为样本容量,长度为 ,因为 越小,则二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导,且 f(x)=ef(x),f(2)=1,则 f“(2)=_。(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2e 3)解析:考点 一元复合函数求导法则解析 已知 f(x)在 x=2 的某邻域内可导,f(x)=e f(x),所以 f(x)在 x=2 的同一邻
12、域内可导,即在该邻域内函数 f(x)二阶可导,且 f“(x)=ef(x)=-f(x)ef(x)=e2f(x)。于是 f“(x)也在 x=2 的同一邻域内可导,即在该邻域内函数 f(x)三阶可导,且 f“(x)=e2f(x)=2f(x)e2f(x)=2e3f(x),将 f(2)=1 代入可得 f“(2)=2e3。10.设 f(x)=xex,则 f(n)(x)的极小值为_。(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 先求 n 阶导数,再求极值解析 f(x)=xe xf(n)(x)=(n+x)exf(n+1)(x)=(n+1+x)exf(n+2)(x)=(n+2+x)ex令 f(n
13、+1)(x)=0,解得 f(n)(x)的驻点 x=-(n+1),又 f(n+2)-(n+1)=n+2-(n+1)e-(n+1)=e-(n+1)0,故 x=-(n+1)为 f(n)(x)的极小值点,11.设曲线 L: (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 第一类曲线积分解析 12.由方程 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 复合函数求导数解析 两边求微分得 ,把(1,0,-1)代入上式得13.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n-2, 1, 2, 3是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解,则 Ax=b 的通解为_。(分数:4.00)填空项 1
14、:_ (正确答案: 1+k1( 2- 1)+k2( 3- 1),k 1,k 2R)解析:考点 非齐次线性方程的解解析 1, 2, 3是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解,则 2- 1, 3- 1是 Ax=0 的两个解,且它们线性无关,又 n-r(A)=2,故 2- 1, 3- 1是 Ax=0 的基础解系,所以 Ax=b 的通解为 1+k1( 2- 1)+k2( 3- 1),k 1,k 2R。14.设 Yn是 n 次伯努利试验中事件 A 出现的次数,p 为 A 在每次试验中出现的概率,则对任意 0,有(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:0)解析:考点 伯努利大数定律解析 三
15、、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 f(x)在(-,0上连续,且满足 (分数:10.00)_正确答案:(令 u=t2-x2,du=2tdt, ,故 。再令 y=-x2, ,即 。对 t 求导,得 ,故 。当 x-3 时,f(x)0,当-3x0 时,f(x)0,所以 x=-3,f(x)取得极小值 )解析:考点 函数的极值设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)上二阶可导,且 f(a)=0,f(b)0,f +(a)0,证明:(分数:10.00)(1).在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f()=0;(分数:5.00)_正确答案:(,由极限的保号性知,存在 0,当 x(a,a+)时
16、, ,f(x)0,取 c(a,a+),则 f(c)0,f(x)在c,b上连续,又 f(c)0,f(b)0,由零点定理知,存在 (c,b) (a,b),使得 f()=0。 )解析:(2).在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f“()0。(分数:5.00)_正确答案:(对 f(x)在a,c,c,b上用拉格朗日中值定理,存在 r(a,c),s(c,b),使得再对 f(x)在r,s上用拉格朗日定理,存在 (r,s) (a,b),使得 f“()= )解析:考点 零点定理与拉格朗日中值定理16.在 t=0 时,两只桶内各装 10L 的盐水,盐的浓度为 15g/L,用管子以 2L/min 的速度将净水输入到
17、第一只桶内,搅拌均匀后的混合液又由管子以 2L/min 的速度被输送到第二只桶内,再将混合液搅拌均匀,然后用 1L/min 的速度输出,求出任意时刻 t0,从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程。(分数:10.00)_正确答案:(设有任意时刻 t0,第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m1(t),m 2(t),在时间t,t+dt内有 ,即 ,且满足初始条件 m1(0)=150,解得 ;在时间t,t+dt内有 ,即 )解析:考点 微分方程的应用17.设 f(u,v)具有连续偏导数,且 fu(u,v)+f v(u,v)=sin(u+v)e u+v,求 y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分
18、方程,并求其通解。(分数:10.00)_正确答案:(由 y(x)=e-2xf(x,x),有 y(x)=-2e-2xf(x,x)+e -2xf1(x,x)+f 2(x,x),又条件 fu(u,v)+f v(u,v)=sin(u+v)e u+v,即 f1(u,v)+-f 2(u,v)=sin(u+v)e u+v,令 u=x,v=x 得 f1(x,x)+f 2(x,x)=sin(2x)e 2x,于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y(x)+2y(x)=sin2x。通解为 y(x)=e-2xsin2xe 2xdx+c,由分部积分公式,可得 ,所以 )解析:考点 微分方程的解设 (分数:10.00)(1
19、).a、b 为何值时,g(x)在 x=0 处连续?(分数:5.00)_正确答案:(若要 g(x)在 x=0 处连续,必须 )解析:(2).a、b 为何值时,g(x)在 x=0 处可导?(分数:5.00)_正确答案:(若要 g(x)在 x=0 处可导,则必须 g(x)在 x=0 处连续(b=-1),且 g-(0)=g+(0)所以,所以 )解析:考点 函数的连续与可导设 A 是实矩阵,证明:(分数:11.00)(1).ATAx=0 与 Ax=0 是同解方程组;(分数:5.50)_正确答案:(若 x0是 Ax=0 的解,显然 x0是 ATAx=0 的解;反之,设 x0是 ATAx=0 的解,则 x0
20、TATAx0=0。即(Ax 0)TAx0=0,从而|Ax 0|2=(Ax0,Ax 0)=(Ax0)TAx0=0,于是Ax0=0,即 x0是 Ax=0 的解。A TAx=0 与 Ax=0 是同解方程组。)解析:(2).秩(A TA)=秩(A)。(分数:5.50)_正确答案:(既然 ATAx=0 与 Ax=0 是同解方程组,两者解空间维数相同,故秩(A TA)=秩(A)。)解析:考点 方程组的同解、矩阵的秩18.已知三元二次型 xTAx 经正交变换化为 ,又知 A*=,其中 (分数:11.00)_正确答案:(由 知,A 的特征值为 1=2, 2= 3=-1 且|A|=2,再由 A*= 知,AA *
21、=A,即|A|=A,也即 A=2,说明 是属于特征信 1=2 的特征向量。设 2= 3=-1 对应的特征向量为: ,则 Tx=0,即 x1+x2-x3=0,解得 ,由 A( 1, 2, 3)=(A 1,A 2,A 3)=(2,- 2,- 3),知再求所用正交变换矩阵 Q。先将 2, 3正交化,得 ,再将 , 2, 3单位化,得则 即为所求的正交矩阵。 )解析:考点 二次型19.已知随机变量 (分数:11.00)_正确答案:(设 Z 的分布函数为 FZ(z),利用全概率公式和 X,Y 的独立性有:FZ(z)=P(XYz)=P(X=0)P(XYz|X=0)+P(X=1)P(XYz|X=1)故 ,其中 )解析:考点 二维随机变量的分布函数20.设总体 XU( 1, 2), 2 1,X 1,X 2,X n是来自总体 X 的样本,求 1, 2的矩估计和最大似然估计。(分数:11.00)_正确答案:( ,令又而 ,因为 lnL( 1, 2)是 1的单调增函数,是 2的单调减函数,所以 。 )解析:考点 参数估计