1、考研数学一-188 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x+1)=af(x)总成立，f(0)=b，a、b 为非零常数，则 f(x)在 x=1 处_。A不可导 B可导且 f(1)=aC可导且 f(1)=b D可导且 f(1)=ab（分数：4.00）A.B.C.D.2.下列命题正确的是_。A若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B若 f(x)在 x=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续C若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处的一个邻域内连续D若 （分数：4.00）A.B.C
2、.D.3.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)=3x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_。A0 B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 n 阶方阵 A=( 1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组(1) 1， 2， n，(2) 1， 2， n，(3) 1， 2， n，如果向量组(3)线性相关，则_。A向量组(1)与(2)都线性相关B向量组(1)线性相关C向量组(2)线性相关D向量组(1)与(2)中至少有一个线性相关（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式|
3、A|=0，则 A_。A必有一列元素全为 0B必有两列元素对应成比例C必有一列向量是其余列向量的线性组合D任一列向量是其余列向量的线性组合（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 服从-1，1上的均匀分布，则 X 与 Y=e-|X|_。A不相关 B相关 C独立 D相关且不独立（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有_AF(a+)+F(a-)=1 BF(+a)+F(-a)=1CF(a)+F(-a)=1 DF(a-)+F(-a)=1（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设一平面
4、经过原点及(6，-3，2)，且与平面 4x-y+2z=8 垂直，则此平面方程为_。（分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 y=y(x)是由 （分数：4.00）填空项 1:_12.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 是三阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，B 与 A 相似，则 B 的相似对角阵为_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9
5、，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，又设连接(a，f(a)，(b，f(b)两点的直线和曲线y=f(x)相交于点(c，f(c)，(acb)。求证：在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=0。（分数：10.00）_16.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=asinx(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从点 O 到 A 的积分I= L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的最小值。（分数：10.00）_17.设 f(x)在(-，+)连续， ，证明： (A，B)， （分数：10.00）_18.已知 （分数：10.00）_19.求三重积分： （
6、分数：10.00）_20.设 1， 2， n为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2， n线性无关的充分必要条件是 （分数：11.00）_设矩阵 （分数：11.00）(1).已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；（分数：5.50）_(2).求矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵。（分数：5.50）_设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 ，Y 的概率密度 ，记 Z=X+Y。（分数：11.00）(1).求*：（分数：5.50）_(2).求 Z 的概率密度。（分数：5.50）_设 X1，X n是取自总体 X 一个简单随机样本，X 的概率密度为（分数：11.00）(1).求未知
7、参数 的矩估计量；（分数：5.50）_(2).求未知参数 的最大似然估计量。（分数：5.50）_考研数学一-188 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x+1)=af(x)总成立，f(0)=b，a、b 为非零常数，则 f(x)在 x=1 处_。A不可导 B可导且 f(1)=aC可导且 f(1)=b D可导且 f(1)=ab（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 复合函数的导数解析 由题设，令 t=x+1，则 f(t)=af(t-1)。由复合函数可导性及求导法则知，f(t)在 t=1 处可导且f(t)|t=1=af(t
8、-1)(t-1)|t=1=af(0)=ab，因此，应选(D)。2.下列命题正确的是_。A若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B若 f(x)在 x=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续C若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处的一个邻域内连续D若 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的连续性解析 令 ，|f(x)|=1 处连续，然而 f(x)处间断，(A)不对；令 ，f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x)都是间断的，故(C)不对；令 ，但 f(x)在 x=0 处不连续，(D)不对；若 f(x)在 x=
9、a 处连续，则 ，又 0|f(x)|-|f(a)|f(x)-f(a)|，根据夹逼定理3.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 渐近线的求法解析 ，则 x=0 是曲线的垂直渐近线；，则 y=0 是曲线的水平渐近线；4.设 f(x)=3x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_。A0 B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 分段函数的高阶导数解析 3x 3处处任意阶可导，只需考查 (x)=x 2|x|，它是分段函数，x=0 是连接点。又 +(0)=(x3)+|x=0=0， -(0)=(-x3)-|x=0=0 (0)=0；同理可得 ；即 ，
10、因 y=|x|在 x=0 处不可导5.设 n 阶方阵 A=( 1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组(1) 1， 2， n，(2) 1， 2， n，(3) 1， 2， n，如果向量组(3)线性相关，则_。A向量组(1)与(2)都线性相关B向量组(1)线性相关C向量组(2)线性相关D向量组(1)与(2)中至少有一个线性相关（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 向量组的线性相关性解析 因为向量组(3)线性相关，所以矩阵 AB 不可逆，即|AB|=|A|B|=0。因此|A|、|B|中至少有一个为0，即 A 与 B 中至少有一个不可逆，亦即量组(1)
11、与(2)中至少有一个线性相关，所以选(D)。6.设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式|A|=0，则 A_。A必有一列元素全为 0B必有两列元素对应成比例C必有一列向量是其余列向量的线性组合D任一列向量是其余列向量的线性组合（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵、行列式、向量的综合题解析 本题考查|A|=0 的充分必要条件，而选项(A)(B)(D)都是充分条件，以 3 阶矩阵为例，若 ，条件(A)，(B)均不成立，但|A|=0。若7.设随机变量 X 服从-1，1上的均匀分布，则 X 与 Y=e-|X|_。A不相关 B相关 C独立 D相关且不独立（分数：4.00）A. B.C.D
12、.解析：考点 随机变量的相关性解析 经计算得，cov(X，Y)=cov(X，e -|X|)=E(Xe-|X|)-EXEe-|X|=0， XY=0。应选(A)。8.设随机变量 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有_AF(a+)+F(a-)=1 BF(+a)+F(-a)=1CF(a)+F(-a)=1 DF(a-)+F(-a)=1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 正态分布解析 因为 XN(， 2)，所以 ，选(B)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设一平面经过原点及(6，-3，2)，且与平面 4x-y+2z=8 垂直，则此平面方程为_。（分数：4.
13、00）填空项 1:_ （正确答案：2x+2y-3z=0）解析：考点 空间平面的方程解析 由题意设所求平面法向量为 n，则 n 应垂直于原点与点(6，-3，2)所成的向量，且垂直已知平面的法向量4，-1，2，故可取 n=6，-3，24，-1，2=-4，-4，6。由点法式得所求平面方程为-4x-4y+6z=0，即 2x+2y-3z=0。10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 用积分中值定理求二重积分的极限解析 由积分中值定理知，存在(，)D：x 2+y22r 2，使得11.设 y=y(x)是由 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e-e 4）解析：考点 隐函
14、数的导数解析 在方程中令 x=0 可得 ，y(0)=e 2，将方程两边对 x 求导数，得 ，将 x=0，y(0)=e 2代入，有12.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1，5)）解析：考点 幂级数的收敛域解析 由公式 ，所以 R=3，收敛区间(2-3，2+3)，即(-1，5)。再考虑端点 x=-1，x=5 处。在 x=-1处，原级数成为 ，收敛；在 x=5 处。原级数为13.设 A 是三阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，B 与 A 相似，则 B 的相似对角阵为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 矩阵的对角化解析
15、由|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，知 A 的特征值为 1=-1， 2=-2， 3=-3，相似矩阵具有相同的特征值，所以 B 的特征值也为 1=-1， 2=-2， 3=-3，故 B 相似的对角阵为14.设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 古典概率解析 设 A：“所取的两件产品中至少有一件是不合格品”，B：“所取的两件都是不合格品”。因为， ，所以三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b
16、)内二阶可导，又设连接(a，f(a)，(b，f(b)两点的直线和曲线y=f(x)相交于点(c，f(c)，(acb)。求证：在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=0。（分数：10.00）_正确答案：(对函数 f(x)分别在a，c和c，b上应用拉格朗日中值定理：存在 1(a， c)，使得 ，存在 2(c，b)，使得 ，由题设(a，f(a)，(b，f(b)，(c，f(c)共线，从而 )解析：考点 拉格朗日中值定理的应用16.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=asinx(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从点 O 到 A 的积分I= L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的最小
17、值。（分数：10.00）_正确答案：( )解析：考点 曲线积分及函数的极值17.设 f(x)在(-，+)连续， ，证明： (A，B)， （分数：10.00）_正确答案：(由 及极限的不等式性质，得 ，使得 f(x1)。由 ，使得 f(x2)。因 f(x)在x 1，x 2连续，f(x 1)f(x 2)，由连续函数中间值定理，得 )解析：考点 极限的性质及中值定理18.已知 （分数：10.00）_正确答案：(根据题意，我们分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数。当 x0 时，当 x0 时，取 C1=0，随之必取 C2=1，得到 f(x)的一个原函数)解析：考点 不定积分
18、，连续函数的性质19.求三重积分： （分数：10.00）_正确答案：(由题设，知区域 的边界面分别是旋转抛物面 x2+y2=2z 与平面 z=2，作柱坐标变换：x=rcos，y=rsin，z=z，则边界面的方程是 ，z=2。 在 xOy 平面上投影区域的极坐标表示为D(r，)|0r2，02，于是)解析：考点 三重积分20.设 1， 2， n为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2， n线性无关的充分必要条件是 （分数：11.00）_正确答案：(令 A=( 1， 2， n)， ，r(A)=r(A TA)，向量组 1， 2， n线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 r(ATA)=n 或|A
19、 TA|0，从而 1， 2， n线性无关的充分必要条件是 )解析：考点 向量的线性无关性设矩阵 （分数：11.00）(1).已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；（分数：5.50）_正确答案：(因为 。当 =3 时，代入上式解得 y=2，于是 )解析：(2).求矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵。（分数：5.50）_正确答案：(由 AT=A，得(AP) T(AP)=PTA2P，而矩阵 。考虑二次型 。令 y1=x1，y 2=x2， ，y 4=x4，得 ，取 ，则有 )解析：考点 由定义有|3E-A|=0，由此可定出参数 y。考虑到 A2为对称矩阵，而(AP) T(AP)=PTA2P，
20、化其对角矩阵方法有两种：转化为对应二次型 xTA2x，通过非退化线性变换 x=Py 化为标准形，相应求出 P；或者求出 A2的特征值、单位化，最后构造出正交矩阵 P，本题所求 P 不唯一。设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 ，Y 的概率密度 ，记 Z=X+Y。（分数：11.00）(1).求*：（分数：5.50）_正确答案：(因为 Z=X+Y，所以)解析：(2).求 Z 的概率密度。（分数：5.50）_正确答案：(因为 Z=X+Y，故随机变量 Z 的分布函数 F(Z)=PZz=PX+Yz。显然当 z2 时，X，Y 的所有取值均满足上式，即(z)=1；相反当 z-1 时，有 F(z)=0；而当-1z2 时，F(z)=PX+Yz=PYz+1|X=-1PX=-1+PYz|X=0PX=0+PYz-1|X=1PX=1。当-1z0 时， ；当 0z1 时， ；当 1z2 时，故可得到随机变量 z 的分布函数和概率密度分别为)解析：考点 随机变量的条件概率与概率密度设 X1，X n是取自总体 X 一个简单随机样本，X 的概率密度为（分数：11.00）(1).求未知参数 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：( ，所以 的矩估计为 )解析：(2).求未知参数 的最大似然估计量。（分数：5.50）_正确答案：(似然函数解得 ，所以 的最大似然估计为 )解析：考点 参数估计
