1、考研数学一-187 及答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 x0是多项式 P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d 的最小实根，则_。AP(x 0)0 BP(x 0)0 CP(x 0)0 DP(x 0)0（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.有下列命题正确的是_。若 收敛，则 收敛；若 收敛，则 收敛；若 ，则 发散；若 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 ，则_。Aa=1， Ba=0，b=-2Ca=0， （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B，A+B，A -1+
2、B-1均为 n 阶可逆方阵，则(A -1+B-1)-1等于_。AA -1+B-1 BA+B CA(A+B) -1B D(A+B) -1（分数：4.00）A.B.C.D.6.矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 也发生，则_。AP()P()+P()-1 BP()P()+P()-1CP()=P() DP()=P()（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 n 个随机变量 X1，X 2，X n是独立同分布，且 D(Xi)= 2， ，S 2= ，则_。AS 是 的无偏估计量 BS 是 的最大似然估计量CS 是 的一致估计量 DS 与 （分数：4.00）
3、A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x，y)具有连续偏导数，且 f(x，2x 2-3x+4)=x，f x(1，3)=2，则 fy(1，3)=_。（分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 y+(e-x-1)y=1 的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_11.设 z=z(x，y)由方程 xy=xf(z)+yg(z)确定，且 xf(z)+yg(z)0，则 =_。（分数：4.00）填空项 1:_12.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且 F(0)=1，F(x)f(x)=cos2x，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 =(1，0，-1) T
4、，矩阵 A= T，n 为正整数，则行列式|aE-A n|=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设 XN(1， 2)，YN(2， 2)为两个相互独立的总体，X 1，X 2，X m与 Y1，Y 2，Y n分别为来自两个总体的简单样本， ，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_16.设 f(x)在(a，b)内连续，ax 1x 2x nb， （分数：10.00）_17.计算 （分数：11.00）_18.已知连续函数 f(x)满足条件 （分数：10.00）_19.设函数 f(x)在a，b上满足 af(x)b，|f(x)|q1，
5、令 un=f(un-1)，n=1，2，3，u 0a，b，证明： （分数：10.00）_设向量组 1， 2， 3线性相关，向量组 2， 3， 4线性无关，问：（分数：11.00）(1). 1能否由 2， 3线性表出?证明你的结论。（分数：5.50）_(2). 4能否由 1， 2， 3线性表出?证明你的结论。（分数：5.50）_设 A，P 为 n 阶矩阵，P 可逆，且 AP=PA，证明：（分数：11.00）(1).若 是 A 的特征向量，则 P 也是 A 的特征向量；（分数：5.50）_(2).若 A 有 n 个不同的特征值， 是 A 的特征向量，则 也是 P 的特征向量。（分数：5.50）_20
6、.假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周 5 个工作日里无故障，可获利润 10 万元，发生一次故障仍可获利润 5 万元；发生二次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求一周内期望利润是多少?（分数：11.00）_设两随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：9.99）(1).常数 k 的值；（分数：3.33）_(2).(X，Y)的边缘密度和条件密度；（分数：3.33）_(3).PX+Y1的值。（分数：3.33）_考研数学一-187 答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.
7、设 x0是多项式 P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d 的最小实根，则_。AP(x 0)0 BP(x 0)0 CP(x 0)0 DP(x 0)0（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 函数零点的性质解析 由于2.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 函数可导性与极值的判定解析 由极限的保号性知，存在 ，当 时， ；当 xa 时，f(x)f(a)；当 xa 时，f(x)f(a)，故 f(x)在点 x=a 不取极值。3.有下列命题正确的是_。若 收敛，则 收敛；若 收敛，则 收敛；若 ，则 发散；若 收敛，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 级数的敛散性解
8、析 因级数 删除前 1000 项而得，故当 收敛时，去掉有限项依然收敛，因此 收敛，若 ，则存在正整数 N，使得 nN 时，u n不变号。若 un0，有正项级数的比值判别法知 发散。同理可知，如果 un0，则正项级数 发散，因此4.设 ，则_。Aa=1， Ba=0，b=-2Ca=0， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 函数的极限解析 ，因 ，则 ，故 a=1。而 ，故 ，所以5.设 A，B，A+B，A -1+B-1均为 n 阶可逆方阵，则(A -1+B-1)-1等于_。AA -1+B-1 BA+B CA(A+B) -1B D(A+B) -1（分数：4.00）A.B.C. D.解析
9、：考点 矩阵的性质，逆矩阵解析 因为 A(A+B)-1B=(A-1)-1(A+B)-1(B-1)-1=B-1(A+B)A-1-1=(B-1AA-1+B-1BA-1)-1=(B-1+A-1)-1=(A-1+B-1)-1故(C)正确。6.矩阵 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵相似解析 因为矩阵 是实对称矩阵，所以一定可以相似对角化，它与矩阵 相似的充分必要条件为的特征值为 2，b，0。又特征多项式7.设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 也发生，则_。AP()P()+P()-1 BP()P()+P()-1CP()=P() DP()=P()（分数：4.00）A.B. C.D
10、.解析：考点 利用随机事件之间的关系及其概率性质解析 由 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)，知 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)。又 P(AB)1，故 P(C)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)-1。故应选(B)。8.设 n 个随机变量 X1，X 2，X n是独立同分布，且 D(Xi)= 2， ，S 2= ，则_。AS 是 的无偏估计量 BS 是 的最大似然估计量CS 是 的一致估计量 DS 与 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 随机变量的无偏估计量解析 因为 由辛钦大数定律可知根据依概率收敛的性质可知得二、填空题(总题数：6，分数：
11、24.00)9.设函数 f(x，y)具有连续偏导数，且 f(x，2x 2-3x+4)=x，f x(1，3)=2，则 fy(1，3)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：考点 求二元函数的偏导数解析 方程 f(x，2x 2-3x+4)=x 两边对 x 求导，得fx(x，2x 2-3x+4)+fy(x，2x 2-3x+4)(4x-3)=1令 x=1，得 fx(1，3)+f y(1，3)=1，又 fx(1，3)=2，故 fy(1，3)=-1。10.微分方程 y+(e-x-1)y=1 的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 微分方程的解解析
12、由已知11.设 z=z(x，y)由方程 xy=xf(z)+yg(z)确定，且 xf(z)+yg(z)0，则 =_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点 二元函数的偏导数解析 方程为 F(x，y，z)=xf(z)+yg(z)-xy=0，12.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且 F(0)=1，F(x)f(x)=cos2x，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 定积分的计算解析 F(x)=f(x)，2F(x)f(x)dx=2cos2xdx，2F(x)dF(x)=2cos2xdx，F 2(x)=sin2x+C，又 F(0)=1，故 C=1，F
13、2(x)=sin2x+1， ，13.设 =(1，0，-1) T，矩阵 A= T，n 为正整数，则行列式|aE-A n|=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a 2(a-2n)）解析：考点 行列式的计算解析 由于An=( T)( T)( T)=( T)( T) T=2 n-1 T=2n-1 T故 ，所以14.设 XN(1， 2)，YN(2， 2)为两个相互独立的总体，X 1，X 2，X m与 Y1，Y 2，Y n分别为来自两个总体的简单样本， ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：F(m-1，n-1)）解析：考点 统计量的分布解析 且 相互独立，则三、解答题(总题数：
14、9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：(原式= )解析：考点 反常积分16.设 f(x)在(a，b)内连续，ax 1x 2x nb， （分数：10.00）_正确答案：(由 。设 f(x)在区间x 1，x n上的最小值与最大值分别为 m 与 M，而 为 f(x)在点x=x1，x 2，x n处的平均值，从而有即 m1M，存在 (x 1，x n) )解析：考点 中值定理的应用17.计算 （分数：11.00）_正确答案：(令 ，显然 。令 Lr：x 2+y2=r2，其中 r0，L r在 L 内，方向取逆时针，由格林公式得，其中 D 为 L 与 所围成的平面区域，则而=-2所以
15、 )解析：考点 格林公式18.已知连续函数 f(x)满足条件 （分数：10.00）_正确答案：(方程 )解析：考点 先在等式两边对 x 求导，消去变限积分，将原方程化为关于未知函数 f(x)的微分方程，再求解该微分方程。19.设函数 f(x)在a，b上满足 af(x)b，|f(x)|q1，令 un=f(un-1)，n=1，2，3，u 0a，b，证明： （分数：10.00）_正确答案：(因为|u n+1-un|=|f(un)-f(un-1)|=|f( 1)|un-un-1|q|u n-un-1|=q|f(un-1)-f(un-2)|=q|f( 2)|un-1-un-2|q 2|un-1-un-2
16、|q n|u1-u0|0q1，故级数 绝对收敛，所以，级数 )解析：考点 级数收敛的证明设向量组 1， 2， 3线性相关，向量组 2， 3， 4线性无关，问：（分数：11.00）(1). 1能否由 2， 3线性表出?证明你的结论。（分数：5.50）_正确答案：( 1能由 2， 3线性表出。因为已知 2， 3， 4线性无关，所以 2， 3线性无关，又因为 1， 2， 3线性相关，所以 1能由 2， 3线性表出。)解析：(2). 4能否由 1， 2， 3线性表出?证明你的结论。（分数：5.50）_正确答案：(设 4=k1 1+k2 2+k3 3，由(1)知，可设 1=l2 2+l3 3，那么代入上
17、式整理得 4=(k1l2+k2) 2+(k1l3+k3) 3。即 4可以由 2， 3线性表出，从而 2， 3， 4线性相关，这与已知矛盾。因此， 4不能由 1， 2， 3线性表出。)解析：考点 向量组线性相关性的证明设 A，P 为 n 阶矩阵，P 可逆，且 AP=PA，证明：（分数：11.00）(1).若 是 A 的特征向量，则 P 也是 A 的特征向量；（分数：5.50）_正确答案：(设 A=，则 A(P)=P(A)=P()=(P)，故 P 也是 A 的特征向量。)解析：(2).若 A 有 n 个不同的特征值， 是 A 的特征向量，则 也是 P 的特征向量。（分数：5.50）_正确答案：(由
18、 A 有 n 个不同的特征值知，A 的每个特征值只对应一个线性无关的特征向量，又 ，P 是对应同一个特征值的特征向量，故它们线性相关，存在常数 C，使得 P=c，故 也是 P 的特征向量。)解析：考点 特征值与特征向量20.假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周 5 个工作日里无故障，可获利润 10 万元，发生一次故障仍可获利润 5 万元；发生二次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求一周内期望利润是多少?（分数：11.00）_正确答案：(假设 X 表示一周内发生故障的天数，则 XB(5，0.8)P(X=0)=(0.8)50.33，P(X=1)=50.2(0.8) 40.41)解析：考点 二项分布、期望设两随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：9.99）(1).常数 k 的值；（分数：3.33）_正确答案：(，故 k=2。 )解析：(2).(X，Y)的边缘密度和条件密度；（分数：3.33）_正确答案：(又 fx(X)0，即 0x1 时，fY(y)0，即 0y1 时， )解析：(3).PX+Y1的值。（分数：3.33）_正确答案：( )解析：考点 二维随机变量的概率分布
