1、考研数学一-185 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.方程 x4+4x+b=0 有两个不等的实根，则 b 的取值满足_。Ab3 Bb3 Cb-3 Db-3（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 D 是以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1是 D 的第一象限部分，则=_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设常数 0，且级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A
2、为反对称矩阵，且|A|0，B 可逆，A、B 为同阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则A TA*(B-1)T-1=_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设向量组(1) 1， 2， s，其秩为 r1，向量组(2) 1， 2， s，其秩为 r2，且 i(i=1，2，s)均可以由 1， s线性表示，则_。A向量组 1+ 1， 2+ 2， s+ s的秩为 r1+r2B向量组 1- 1， 2- 2， s- s的秩为 r1-r2C向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1+r2D向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B
3、 为两个事件，且 P(AB)=0，则_。AA，B 互斥 BAB 是不可能事件CAB 未必是不可能事件 DP(A)=0 或 P(B)=0（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n为来自总体 N(0， 2)的样本，则样本二阶原点矩 的方差为_。A 2 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设直线 （分数：4.00）填空项 1:_10.f(x)为以 2 为周期的函数，当-x 时， （分数：4.00）填空项 1:_11.经过点 A(-1，2，3)，垂直于直线 L： （分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 z=z(x，y)是
4、由方程 z=2y+e2x-3z确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9，若 Z=X-0.4，则 Y 与 Z 的相关系数为_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.将函数 展开成 x 的幂级数，并求级数 （分数：10.00）_16.已知二元函数 f(x，y)满足 ，作变换 ，且 f(x，y)=g(u，v)，若 （分数：10.00）_17.设球体 x2+y2+z22az(a0)的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比(比例系数 k0)，求球体的质量 M 及球体绕
5、 z 轴旋转的转动惯量 Iz。（分数：10.00）_18.设函数 f(x)在2，4上连续，在(2，4)内可导，且 ，证明：存在 (2，4)，使得 （分数：10.00）_19.一质量为 m 的物体以速度 v0从原点沿 y 轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比(比例系数 k0)，试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度。（分数：10.00）_20.设 1=(1，2，3，1) T， 2=(1，1，2，-1) T， 3=(1，3，a，3) T， 4=(3，5，7，-1)T，=(0，1，1，b) T。(1)当 a，b 满足什么条件时， 可由 1， 2， 3，
6、4线性表示，且表示式唯一?(2)当 a，b 满足什么条件时， 可由 1， 2，3， 4线性表示，且表示式不唯一?并求出 的表示式。（分数：11.00）_设二次型 （分数：11.01）(1).试用正交变换将二次型-厂化为标准形，并写出所用正交变换；（分数：3.67）_(2).求 f 在条件*下的最小值，并求最小值点(x 1，x 2，x 3)；（分数：3.67）_(3).如果 A*+kE 是正定矩阵，求 k 的取值。（分数：3.67）_21.设两随机变量(X，Y)在区域 D 上均匀分布，其中 D=(x，y)：|x|+|y|1。又设 U=X+Y，V=X-Y，试求：(1)U 与 V 的概率密度 fU(
7、u)与 fV(v)；(2)U 与 V 的协方差 cov(U，V)的相关系数 UV。（分数：11.00）_设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1). 的矩估计；（分数：5.50）_(2). 的最大似然估计。（分数：5.50）_考研数学一-185 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.方程 x4+4x+b=0 有两个不等的实根，则 b 的取值满足_。Ab3 Bb3 Cb-3 Db-3（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 函数的零点解析 令 f(x)=x4+4x+b，则2.设 D 是以(1，1)，(-1，1)和(-1，
8、-1)为顶点的三角形区域，D 1是 D 的第一象限部分，则=_。A BC D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 二重积分解析 连接原点和(-1，1)，设与 D1关于 y 轴对称的区域为 D2，故在 D1+D2上，xy 的二重积分为零；再设 D 的第三象限部分为 D4，与 D4关于 x 轴对称的部分为 D3，在 D3+D4上，cosxsiny 的积分为零，所以3.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 考查方程实根的个数解析 记 ，则 ，又4.设常数 0，且级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.B.C. D.
9、解析：考点 级数的收敛性解析 直接推演，由不等式 得 ，而由级数 均收敛及比较判别法知级数 绝对收敛，故选(C)。5.设 A 为反对称矩阵，且|A|0，B 可逆，A、B 为同阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则A TA*(B-1)T-1=_。A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的计算解析 A TA*(B-1)T-1=(B-1)T-1(A*)-1(AT)-16.设向量组(1) 1， 2， s，其秩为 r1，向量组(2) 1， 2， s，其秩为 r2，且 i(i=1，2，s)均可以由 1， s线性表示，则_。A向量组 1+ 1， 2+ 2， s+ s的秩为 r1+r
10、2B向量组 1- 1， 2- 2， s- s的秩为 r1-r2C向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1+r2D向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 向量组的秩解析 设 1， 2，7.设 A，B 为两个事件，且 P(AB)=0，则_。AA，B 互斥 BAB 是不可能事件CAB 未必是不可能事件 DP(A)=0 或 P(B)=0（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 事件的基本性质解析 概率理论中，P(A)=0 不能推出 A 为不可能事件，所以(C)是答案。8.设 X1，X 2，X n为来自总体 N(0， 2)的样
11、本，则样本二阶原点矩 的方差为_。A 2 B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 统计量的方差解析 X 1，X 2，X n来自总体 N(0， 2)，所以二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设直线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 点到直线的距离解析 过直线 的平面束为(x+2y-z-2)+k(2x-y+z-3)=0，即(1+2k)x+(2-k)y+(k-1)z-2-3k=0，由1+2k，2-k，k-11，1，1=0，得 k=-1，则投影直线为 L： ，S=1，1，11，-3，2=5，-1，-4。对称式方程为 L： 。令 M0M1的坐标分
12、别为(-1，0，1)，(1，2，1)， =2，2，0，则 d=10.f(x)为以 2 为周期的函数，当-x 时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 傅里叶级数解析 因为 f(x)的间断点为 x=(2k+1)(kZ)，所以11.经过点 A(-1，2，3)，垂直于直线 L： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 求空间直线的方程解析 用交面式所求直线在过点 A 以 L 的方向向量 s 为法向量的平面 H1上，也在过 A 点以 H 的法向量 n为法向量的平面 H2上。H1：4(x+1)+5(y-2)+6(z-3)=0H2：7(x+1)+8(y-2)
13、+9(z-3)=0故所求直线方程为12.设函数 z=z(x，y)是由方程 z=2y+e2x-3z确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 隐函数求导解析 将方程改写为 2y+e2x-3z-z=0，令 F(x，y，z)=2y+e 2x-3z-z，于是有 ，于是有13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：考点 矩阵的秩解析 由题设，r(A)=3，则|A|=0，即从而 k=-3 或 k=1。当 k=1 时，14.设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9，若 Z=X-0.4，则 Y 与 Z 的相关系数为_。（分数：4.00）填空项 1:_
14、 （正确答案：0.9）解析：考点 相关系数解析 由题设，D(Z)=D(X)，cov(Z，Y)=cov(X-0.4，Y)=E(X-0.4)-E(X-0.4)(Y-E(Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)=cov(X，Y)因此三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.将函数 展开成 x 的幂级数，并求级数 （分数：10.00）_正确答案：(1)因为 f(x)简单，先求 f(x)的展开式，然后逐项积分得 f(x)的展开式。因 ，又 ，两边积分得 ，因为 f(x)在 处连续， 收敛，所以 。(2)令 ，得 。又 )解析：考点 幂级数求和16.已知二元函数 f(x，y)满足 ，作变换 ，且 f(x
15、，y)=g(u，v)，若 （分数：10.00）_正确答案：(又 ，所以于是 ，故 )解析：考点 多元函数求偏导17.设球体 x2+y2+z22az(a0)的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比(比例系数 k0)，求球体的质量 M 及球体绕 z 轴旋转的转动惯量 Iz。（分数：10.00）_正确答案：(由题设知，球体 上任一点的密度 ，球体的质量转动惯量)解析：考点 重积分在物理学中的应用18.设函数 f(x)在2，4上连续，在(2，4)内可导，且 ，证明：存在 (2，4)，使得 （分数：10.00）_正确答案：(令 F(x)=(x-1)2f(x)，则 F(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)
16、2f(x)，由积分中值定理知，存在 c3，4，使得 ，即 F(2)=F(c)。由罗尔定理知，存在 (2，c) (2，4)，使得 F()=0，即 2(-1)f()+(-1) 2f()=0，即 )解析：考点 中值定理的应用19.一质量为 m 的物体以速度 v0从原点沿 y 轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比(比例系数 k0)，试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度。（分数：10.00）_正确答案：(根据牛顿第二定律，物体上升的高度 y=y(t)所满足的微分方程为 ，初始条件为 y(0)=0，y(0)=v 0。将 代入方程，得 ，记 a2=g， ，积分
17、得 ，t=0 时，v=v 0，故 ，令 v=0，得上升到最高点的时间为 ，上升的最大高度为 )解析：考点 微积分在物理中的应用20.设 1=(1，2，3，1) T， 2=(1，1，2，-1) T， 3=(1，3，a，3) T， 4=(3，5，7，-1)T，=(0，1，1，b) T。(1)当 a，b 满足什么条件时， 可由 1， 2， 3， 4线性表示，且表示式唯一?(2)当 a，b 满足什么条件时， 可由 1， 2，3， 4线性表示，且表示式不唯一?并求出 的表示式。（分数：11.00）_正确答案：(设 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4= (1)，其增广矩阵 。(1)当 a4 时，r(
18、1， 2， 3， 4，)=r( 1， 2， 3， 4)=4，方程组(1)有唯一解，即 可由 1， 2， 3， 4线性表示，且表示式唯一。(2)当 a=4 时，故当 a=4，b=2 时，r( 1， 2， 3， 4，)=r( 1， 2， 3， 4)=3，方程组(1)有无穷多解，即 可由 1， 2， 3， 4线性表示，且表示式不唯一， ，同解方程组为 )解析：考点 向量间的线性表示设二次型 （分数：11.01）(1).试用正交变换将二次型-厂化为标准形，并写出所用正交变换；（分数：3.67）_正确答案：(二次型 f 的矩阵由 =-2 是 A 的特征值， 得到 a=6。由矩阵 A 的特征多项式 ，得到
19、矩阵 A 的特征值是 1= 2=7， 3=-2。对 =7，解齐次方程组(7E-A)x=0 得基础解系 1=(1，-2，0) T， 2=(1，0，-1) T，对 =-2，解齐次方程组(-2E-A)x=0 得基础解系 3=(2，1，2) T。因为 1， 2不正交，故需 Schmidt 正交化，有再单位化，得那么令 ，则在正交变换 x=Qy 下，有 )解析：(2).求 f 在条件*下的最小值，并求最小值点(x 1，x 2，x 3)；（分数：3.67）_正确答案：(条件 ，即 xTx=1。而 xTx=(Qy)T(Qy)=yTQTQy=yTy，可知 f 在条件 的极小值，即厂在条件 下的极小值。由于 ，
20、所以 。而极小值点是 )解析：(3).如果 A*+kE 是正定矩阵，求 k 的取值。（分数：3.67）_正确答案：(因为矩阵 A 的特征值：7，7，-2。所以|A|=-98，那么 A*的特征值为：-14，-14，49。从而A*+kE 的特征值为 k-14，k-14，k+49。因此，k14 时，A *+kE 正定。)解析：考点 二次型21.设两随机变量(X，Y)在区域 D 上均匀分布，其中 D=(x，y)：|x|+|y|1。又设 U=X+Y，V=X-Y，试求：(1)U 与 V 的概率密度 fU(u)与 fV(v)；(2)U 与 V 的协方差 cov(U，V)的相关系数 UV。（分数：11.00）
21、_正确答案：(区域 D 是以(-1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，-1)为顶点的正方形区域，D 的面积为 2，(X，Y)的联合密度为 ，此可以求 fU(u)和 fV(v)，利用 f(x，y)的对称性。(1)U=X+Y，当 u-1 时，F U(u)=0；当-1u1 时， ；当 u1 时，F U(u)=1。当 v-1 时，F V(v)=0；当-1v1 时， ；当 v1 时， 。(2)cov(U，V)=E(UV)-EUEV。显然 EU=EV=0，而 E(UV)=E(X+Y)(X-Y)=E(X2-Y2)=EX2-EY2，由于 X，Y 的对称性得 EX2=EY2，所以 cov(U，V)=0， )解析：考点 随机变量的概率密度及相关系数设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1). 的矩估计；（分数：5.50）_正确答案：(由于 ，令 ，解得 ，所以参数 的矩估计为： )解析：(2). 的最大似然估计。（分数：5.50）_正确答案：(似然函数为 ，取对数，得 lnL()=Nln+(n-N)ln(1-)，两边对 求导，得 ，令 ，得 ，所以 的最大似然估计为： )解析：考点 参数估计
