1、考研数学一-184 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设当 x0 时，(x-sinx)ln(1+x)是比 高阶的无穷小，而 是比 高阶的无穷小，则 n 为_。A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)连续，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在(-，+)内连续且严格单调递增，f(0)=0。常数 n 为正奇数，并设 F(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为_。
2、AC 1(x)+ 2(x) BC(x)- 2(x)CC 1(x)- 2(x)+ 2(x) D 1(x)- 2(x)+C 2(x)（分数：4.00）A.B.C.D.5.设矩阵 A 与 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 3 阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1， 2， 3，令P=(3 3， 1，2 2)，则 P-1AP=_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则_。AP(|)=P(|) BP(|)=P(|)CP(|)=P(|) DP(|)=P(|)（分数：4.0
3、0）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n是总体 N(0，1)的简单随机样本，记 ，则 E(T)的值为_。A0 B1 C2 D4（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.方程 （分数：4.00）填空项 1:_11.积分 （分数：4.00）填空项 1:_12.设连续函数 f(x)满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.在函数 （分数：4.00）填空项 1:_14.投掷 n 枚骰子，则出现点数之和的数学期望_。（分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 u=f(x，z)，而 z=z
4、(x，y)是由方程 z=x+y(z)所确定的隐函数，其中 f 具有连续偏导数，而 具有连续导数，求 du。（分数：9.00）_设 f(x)在(-，+)上连续，且 （分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_(2).设 an=f(0)，求级数*的和。（分数：5.00）_16.设 f(x)和 g(x)在区间(a，b)处可导，并设在(a，b)内 f(x)g(x)-f(x)0，证明在(a，b)内至多存在一点 ，使得 f()=O。（分数：10.00）_设有抛物线 ：y=a-bx 2，试确定常数 a，b 的值，使得（分数：10.00）(1). 与直线 y=x+1 相切；（分数：5.00）
5、_(2). 与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积最大。（分数：5.00）_17.求幂级数 （分数：11.00）_设 A33是实对称矩阵，|A|=-12，A 的三个特征值之和为 1，且 =(1，0，-2) T是方程组(A *-4E)x=0 的一个解向量。（分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).求方程组(A *+6E)x=0 的通解。（分数：5.50）_设 A 为三阶方阵， 1， 2， 3为三维线性无关列向量组，且有A 1= 2+ 3，A 2= 1+ 3，A 3= 1+ 2。（分数：11.00）(1).求 A 的全部特征值。（分数：5.50）_(2).A 是
6、否可以对角化?（分数：5.50）_设随机变量 X 的概率密度为 ，令随机变量 （分数：11.00）(1).求 Y 的分布函数；（分数：5.50）_(2).求概率 PXY（分数：5.50）_18.某种食品防腐剂含量 Y 服从 N(， 2)分布，从总体中任取 20 件产品，测得其防腐剂平均含量为（分数：11.00）_考研数学一-184 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设当 x0 时，(x-sinx)ln(1+x)是比 高阶的无穷小，而 是比 高阶的无穷小，则 n 为_。A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C. D.解析：
7、考点 无穷小解析 因为 ，所以 ，又因为 = ，所以2.设函数 f(x)连续，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 变上限积分求导数解析 因 ，(先凑微分，再作变量代换)故3.设 f(x)在(-，+)内连续且严格单调递增，f(0)=0。常数 n 为正奇数，并设 F(x)= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 函数的单调性解析 用积分中值定理，将有积分号的化为无积分号的。4.设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为_。AC 1(x)+ 2(x) BC(x)- 2(x)CC 1(x)- 2(x)+ 2
8、(x) D 1(x)- 2(x)+C 2(x)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 一阶非齐次线性微分方程的解解析 因为 1(x)， 2(x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以 1(x)- 2(x)为方程 y+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为 C 1(x)- 2(x)+ 2(x)，选(C)。5.设矩阵 A 与 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 矩阵的秩解析 矩阵 A 与 B 相似，则 A-2E 与 B-2E 相似，故 r(A)+r(A-2E)=r(B)+r(B-2E)=2+1=3，应选(A)。6.设 3 阶方阵 A
9、 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1， 2， 3，令P=(3 3， 1，2 2)，则 P-1AP=_。ABCD （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵的相似对角化解析 因为 3 3， 1，2 2分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，故7.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则_。AP(|)=P(|) BP(|)=P(|)CP(|)=P(|) DP(|)=P(|)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 事件间的关系解析 已知 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指：“在 C 发生的条件
10、下，A 与 B 独立”。所以“在 C 发生的条件下，A 发生与否不影响 B 发生的概率”，即 P(B|AC)=P(B|C)，故应选(D)。我们也可以通过计算来确定选项，事实上：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C) P(A|C)P(B|AC)=P(A|C)P(B|C)8.设 X1，X 2，X n是总体 N(0，1)的简单随机样本，记 ，则 E(T)的值为_。A0 B1 C2 D4（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 期望解析 ，E(S 2)=1，且 ，S 2相互独立。所以二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点
11、 方向导数解析 切平面在点(0，1，0)处指向 y 轴正向的法向量为 n=0，2，0，其方向余弦为， ，于是10.方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=f(x)=2(x+1)-2e x）解析：考点 微分方程的解解析 令 x-t=u，原方程变为 ，方程两边对 x 求导得 ，再将两边对 x 求导得 f(x)=2x+f(x)，即11.积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 二重积分解析 积分域 D 如图中阴影部分所示，换积分次序得12.设连续函数 f(x)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2e 2x-ex）解析：考点 积分方程解析 则
12、可化为13.在函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：考点 行列式的计算解析 x 3的系数只要考察14.投掷 n 枚骰子，则出现点数之和的数学期望_。（分数：4.00）解析：考点 随机变量的期望解析 假设 Xi表示第 i 颗骰子的点数(i=1，2，n)。，又设 ，则 E(X)=三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 u=f(x，z)，而 z=z(x，y)是由方程 z=x+y(z)所确定的隐函数，其中 f 具有连续偏导数，而 具有连续导数，求 du。（分数：9.00）_正确答案：(取全微分 du=fxdx+fzdz，故 )解析：考点 求全微分设 f(x)在(-
13、，+)上连续，且 （分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_正确答案：(令 u=x-t，则 ，故 ，即 ，上式两边对 x 求导，得_ )解析：(2).设 an=f(0)，求级数*的和。（分数：5.00）_正确答案：( ，级数 ，|x|1)解析：考点 函数表达式的求法及幂级数的和16.设 f(x)和 g(x)在区间(a，b)处可导，并设在(a，b)内 f(x)g(x)-f(x)0，证明在(a，b)内至多存在一点 ，使得 f()=O。（分数：10.00）_正确答案：(设 (x)=f(x)e -g(x)，则 (x)=e -g(x)(f(x)-f(x)g(x)。若在(a，b)内存在
14、两个不同的点 1， 2，使得 f( 1)=f( 2)=0，则由罗尔定理知，至少存在一点 介于 1， 2之间，使 ()=0，即 e-g() (f()-f()g(x)=0，于是有 f()-f()g()=0，与题设矛盾，故在(a，b)内至多存在一点 ，使得 f()=0。)解析：考点 中值定理的应用设有抛物线 ：y=a-bx 2，试确定常数 a，b 的值，使得（分数：10.00）(1). 与直线 y=x+1 相切；（分数：5.00）_正确答案：(设切点为(x 0，y 0)，y=-2bx，切线斜率 ，代入切线方程，得 )解析：(2). 与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积最大。（分数：5.0
15、0）_正确答案：(旋转体体积 ，V=2(2a-3a 2)=0，解得 a=0 或者 ，V“=2(2-6a)，V“(0)=40， ，故 时，体积 V 最大，将 代入(*)得 ，所以 )解析：考点 微积分在几何中的应用17.求幂级数 （分数：11.00）_正确答案：(收敛半径 ，当 x=1 时，级数 发散，当 x=-1 时，级数 发散，故幂级数 的收敛域为(-1，1)。其和函数)解析：考点 幂级数的收敛域及和函数设 A33是实对称矩阵，|A|=-12，A 的三个特征值之和为 1，且 =(1，0，-2) T是方程组(A *-4E)x=0 的一个解向量。（分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5
16、.50）_正确答案：(=(1，0，-2) T是方程组(A *-4E)x=0 的一个解向量，则(A *-4E)=0，即 A*=4，又A*A=AA*=|A|E=-12E，故 AA*=4A=-12，A=-3，所以 =(1，0，-2) T是 A 的对应特征值 3=-3 的特征向量；设 A 的另外两个特征值为 1， 2，则 1+ 2+ 3=1， 1 2 3=|A|=-12，解得 1= 2=2，设 1= 2=2 对应的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，则它与 =(1，0，-2) T正交，即 x1-2x3=0，其基础解系为 1=(0，1，0) T， 2=(2，0，1) T，令 P=( 1， 2，)
17、，则 ，所以 )解析：(2).求方程组(A *+6E)x=0 的通解。（分数：5.50）_正确答案：(A *+6E)x=0 (AA*+6A)x=0 (A-2E)x=0，同解方程组为 )解析：考点 矩阵的特征值，线性方程的解法设 A 为三阶方阵， 1， 2， 3为三维线性无关列向量组，且有A 1= 2+ 3，A 2= 1+ 3，A 3= 1+ 2。（分数：11.00）(1).求 A 的全部特征值。（分数：5.50）_正确答案：(由已知得，A( 1+ 2+ 3)=2( 1+ 2+ 3)，A( 2- 1)=-( 2- 1)，A( 3- 1)=-( 3- 1)，又因为 1， 2， 3线性无关，所以 1
18、+ 2+ 30， 2- 10， 3- 10，所以-1，2 是 A 的特征值， 1+ 2+ 3， 2- 1， 3- 1是相对应的特征向量。又由 1， 2， 3线性无关，得 1+ 2+ 3， 2- 1， 3- 1也线性无关，所以-1 是矩阵 A 的二重特征值，即 A 的全部特征值为-1，2。)解析：(2).A 是否可以对角化?（分数：5.50）_正确答案：(由 1， 2， 3线性无关，可以证明 1+ 2+ 3， 2- 1， 3- 1也线性无关，即 A 有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵 A 可相似对角化。)解析：考点 特征值与特征向量、矩阵的对角化设随机变量 X 的概率密度为 ，令随机变量 （分
19、数：11.00）(1).求 Y 的分布函数；（分数：5.50）_正确答案：(根据概率的定义可知， ，则 a=9，此时随机变量 X 的概率密度为当 y1 时，F y(y)=0；当 y=1 时，当 1y2 时， ；当 y2 时，F y(y)=1。综上得，Y 的分布函数为 )解析：(2).求概率 PXY（分数：5.50）_正确答案：(因随机变量 ，故满足 xy 的 x 的取决值为 x2，从而概率 )解析：考点 随机变量的分布18.某种食品防腐剂含量 Y 服从 N(， 2)分布，从总体中任取 20 件产品，测得其防腐剂平均含量为（分数：11.00）_正确答案：(令 H0：10，H 1：10，选统计量 ，查表得临界点为 t (n-1)=t0.05(19)=1.7291，而 )解析：考点 假设检验
