1、考研数学一-182 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 f(x)在 x=0 某邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x，y)连续，且满足 f(x，-y)=f(x，y)，则 =_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.4.若|f(x)|g(x)(xa)，则当 xa 时必有_。A|f(x)-f(a)|g(x)-g(a) B|f(x)-f(a)|g(x)-g(a)C|f(x)-f(a)|=g(x)-g(a) D|f(x)-f(a)|a（分
2、数：4.00）A.B.C.D.5.二次型 的规范型是_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.总体 XN(2，4)，X 1，X 2，X n为来自 X 的样本，X 为样本均值，则_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X，Y 相互独立且均服从正态分布 N(， 2)，若概率 ，则_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.级数 （分数：4.00）填空项 1:_11.设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则
3、dz|(1，0) =_。（分数：4.00）填空项 1:_12.曲线 r=3cos，r=1+cos 所围图形的公共部分面积 A=_。（分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为 n 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为 1，则齐次方程组 Ax=O 的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0，1)，则 Pmax(X，Y)10=_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)单调且具有一阶连续导数，z=f(x+(y)满足 （分数：10.00）_16.计算积分 （分数：10.00）_17.求微
4、分方程 xy=3y-6x2的一个解 y=y(x)，使得曲线 y=y(x)与直线 x=1，y=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小。（分数：10.00）_18.计算 ，其中为下半球面 （分数：10.00）_19.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 （分数：11.00）_20.设四维向量组 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，b) T， 3=(-3，-1，a，-9)T，=(1，3，10，a+b) T。问：(1)当 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；(2)当 a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表出，并写出此时的表达式。（分数：10.
5、00）_21.设线性方程组 （分数：11.00）_22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，YN(0， 2)，求 ， （分数：11.00）_23.设总体 XU(1，)，参数 1 未知，X 1，X n是来自 X 的简单随机样本。(1)求 的矩估计和极大似然估计量；(2)求上述两个估计量的数学期望。（分数：11.00）_考研数学一-182 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 f(x)在 x=0 某邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 求函数极值解析 利用等价无穷小的代换
6、求得 f(x)。由于 x0 时，2.曲线 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 求曲线的渐近线解析 因 ，故 是曲线的水平渐近线。又3.设 f(x，y)连续，且满足 f(x，-y)=f(x，y)，则 =_。A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二重积分解析 由题设知4.若|f(x)|g(x)(xa)，则当 xa 时必有_。A|f(x)-f(a)|g(x)-g(a) B|f(x)-f(a)|g(x)-g(a)C|f(x)-f(a)|=g(x)-g(a) D|f(x)-f(a)|a（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 柯西中值定理解析 因为 0|f(x)
7、|g(x)，所以 g(x)0，g(x)单调增加。从而|g(x)-g(a)|=g(x)-g(a)，由柯西中值定理得 。因此5.二次型 的规范型是_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 二次型解析 二次型的规范型由它的正负惯性指数确定，二次型的矩阵 A= ，其特征多项式6.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵的秩解析 ，1r(B)3-r(A)，当 k=1 时，r(A)=1，1r(B)2，排除(A)、(C)；当 k=-2 时，A=7.总体 XN(2，4)，X 1，X 2，X n为来自 X 的样本，X 为样本均值，则_。A BC D （分数：4.00）A.
8、B.C. D.解析：考点 统计量的抽样分布解析 由于 XiN(2，2 2)，所以 ，故8.设随机变量 X，Y 相互独立且均服从正态分布 N(， 2)，若概率 ，则_。A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二维随机变量的概率解析 因为 aX-bY 服从正态分布，故根据题设二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1，0）解析：考点 梯度解析 由10.级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xln(1-x 2)+x3-x3ln(1-x2)(-1x1)）解析：考点 幂级数的和函数解析 而 ，所以11.设二元函数
9、z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz|(1，0) =_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2edx+(e+2)dy）解析：考点 全微分的四则运算、一阶全微分形式不变性解析 因为12.曲线 r=3cos，r=1+cos 所围图形的公共部分面积 A=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 曲线积分解析 解方程组 ，得 ，故13.设 A 为 n 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为 1，则齐次方程组 Ax=O 的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：k(1，1，1) T，kR）解析：考点 解线性方程组解析 由题设知，r(A *)=1，r(
10、a)=n-1，n-r(A)=1 且 AA*=|A|E=O，故 A*的列向量(1，1，1) T是 Ax=0的基础解系。故而通解为 k(1，1，1) T，kR14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0，1)，则 Pmax(X，Y)10=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 最值函数的概率解析 Pmax(X，Y)0=1-Pmax(X，Y)0=1-PX0，Y0=1-PX0PY0=1- 2(0)=三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)单调且具有一阶连续导数，z=f(x+(y)满足 （分数：10.00）_正确答案：( ，代入方程 )解
11、析：考点 二元函数的导数16.计算积分 （分数：10.00）_正确答案：(画出二重积分区域 D，D 1是 D 的第一象限部分，由对称性，得)解析：考点 二重积分17.求微分方程 xy=3y-6x2的一个解 y=y(x)，使得曲线 y=y(x)与直线 x=1，y=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小。（分数：10.00）_正确答案：(方程 xy=3y-6x2化为 ，其通解为旋转体体积 ，)解析：考点 微分方程的解及微积分在几何中的应用18.计算 ，其中为下半球面 （分数：10.00）_正确答案：(以曲面方程代入分母得原式= ，添一块 S1：z=0，x 2+y2a 2，向下。三
12、重积分用球面坐标：而 ，所以原式为 )解析：考点 高斯公式19.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 （分数：11.00）_正确答案：(由于 f(x)在a，b上可导，知 f(x)在a，b上连续，又因为 ab，故从而 F(x)=f(x)cosx 在 上连续，由积分中值定理，知存在一点 使得在c，b上，由罗尔定理得至少存在一点 (c，b) )解析：考点 微分中值定理20.设四维向量组 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，b) T， 3=(-3，-1，a，-9)T，=(1，3，10，a+b) T。问：(1)当 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；(2)当 a，b 取
13、何值时， 能由 1， 2， 3线性表出，并写出此时的表达式。（分数：10.00）_正确答案：(设 x1 1+x2 2+x3 3=，对增广矩阵 =( 1， 2， 3|)作初等行蛮换得(1)当 a-6 且 a+2b4 时，r(A)=3， ，方程组无解， 不能由 1， 2， 3线性表出。(2)当 a=-6 时， )解析：考点 向量的线性表示21.设线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：(设 B=( 1， 2， 3)，其中 i(i=1，2，3)为三维列向量，由于 B0，所以至少有一个非零的列向量，不妨设 10，由于 AB=A( 1， 2， 3)=(A 1，A 2，A 3)=0， A 1=0，即
14、1为齐次线性方程组 AX=0 的非零解，于是系数矩阵的行列式必为零，即 )解析：考点 线性方程组中常数的确定22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，YN(0， 2)，求 ， （分数：11.00）_正确答案：(由题设可知又由于 X 与 Y 相互独立，所以(X，Y)的密度为 ，于是，则上式 。)解析：考点 随机变量独立性23.设总体 XU(1，)，参数 1 未知，X 1，X n是来自 X 的简单随机样本。(1)求 的矩估计和极大似然估计量；(2)求上述两个估计量的数学期望。（分数：11.00）_正确答案：(总体 XU(1，)，其分布密度为(1)由 ，解得 ，故 的矩估计量为 ；似然函数 L()递减，又 X1，X n(1，)，故 的极大似然估计量为 =maxX1，X n。(2) ，而 =maxX1，X n的分布函数)解析：考点 参数估计、期望
