1、考研数学一-181 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(0，0)=0，当(x，y)(0，0)时，f(x，y)为如下形式之一，则 f(x，y)在(0，0)处可偏导的是_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 为常数，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)在a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则_。A当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0B对任何 (a，b)，有 （分数：4.00）A
2、.B.C.D.5.设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B。则下面命题中正确的是_。A|A+B|=|A|B| B(AB) -1=A-1B-1C(A-E)X=0 只有零解 DB-E 不可逆（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知线性方程组 AX=k 1+ 2有解，其中 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则_。AX+Y 服从正态分布 BX 2+Y2服从 2分布CX 2和 Y2都服从 2分布 DX 2/Y2服从 F 分布（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X 与 Y 相互独立，且均服从 N(0，1)，则下列正确的是_。A BC D （
3、分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 S 为锥面 外侧，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设矩阵 A=E+2 T，其中 ， 是 n 维列向量，且 T=2，则 A-1=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X 9是来自正态总体 X 的简单随机样本， ，Y 2= （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在点 x=0 处二阶可导，且满足 （分数：10
4、.00）_16.计算 Lyzdx+3xzdy-xydz，其中 L： （分数：10.00）_17.设 f(x)在0，+)上连续，且 。证明：至少 （分数：10.00）_设点 M(，)是椭圆面 （分数：10.00）(1).求曲面在该点处的切平面方程；（分数：5.00）_(2).设是切平面被三坐标平面夹在第一卦限的部分，问 ， 取何值时，曲面面积*最小。其中cos，cos，cos 是切平面的方向余弦*（分数：5.00）_18.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：10.00）_已知三阶矩阵 A 与三
5、维向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax-2A2x。（分数：11.00）(1).记 P=(x，Ax，A 2x)求三阶矩阵 B，使得 A=PBP-1；（分数：5.50）_(2).计算行列式|A+E|。（分数：5.50）_19.设 （分数：11.00）_20.设二维连续型随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)|0x2，0y1 上服从均匀分布，令Z=max(X，Y)，求 E(Z)与 D(Z)。（分数：11.00）_21.一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10、0.20 和 0.30，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时
6、需要调整的部件数，试求 X 的概率分布、数学期望 E(X)和方差 D(X)。（分数：11.00）_考研数学一-181 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 导数的应用解析 由 ，得 ，而由 f“(x)连续知 f(x)连续，所以 。于是 ，所以 x=0 是 f(x)的驻点。又由 ，得2.设 f(0，0)=0，当(x，y)(0，0)时，f(x，y)为如下形式之一，则 f(x，y)在(0，0)处可偏导的是_。A B C D （分数：4.00）A. B.C.D
7、.解析：考点 二元函数的偏导性解析 取 ，则3.设 为常数，则级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 级数的敛散性解析 发散，4.设函数 f(x)在a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则_。A当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0B对任何 (a，b)，有 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数连续性解析 由于 f(x)在(a，b)内可导，(a，b)则 f(x)在 点可导，因而在 点连续，故 。所以应选(B)。注意本题也可用排除法求解，例如：由函数 ，可知结论(A)不正确，由函数5.设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B。则下面
8、命题中正确的是_。A|A+B|=|A|B| B(AB) -1=A-1B-1C(A-E)X=0 只有零解 DB-E 不可逆（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的性质解析 因 A，B 满足 AB=A+B。两边取行列式，显然有|A+B|=|AB|=|A|B|，成立。又 AB=A+B，移项，提公因子得AB-A=A(B-E)=B，A(B-E)=B-E+E，(A-E)(B-E)=E故 A-E，B-E 都是可逆阵，且互为逆矩阵，从而知方程组(A-E)X=0 只有零解，正确。B-E 不可逆是错误的，又因(A-E)(B-E)=E，故(B-E)(A-E)=E，从而有 BA-A-B+E=E，BA=A
9、+B，得 AB=BA，从而有(AB) -1=(BA)-1=A-1B-1成立，故、是正确的，应选(C)。6.已知线性方程组 AX=k 1+ 2有解，其中 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 线性方程组的解解析 将 AX=k 1+ 2的增广矩阵作初等行变换，7.设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则_。AX+Y 服从正态分布 BX 2+Y2服从 2分布CX 2和 Y2都服从 2分布 DX 2/Y2服从 F 分布（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 多元随机变量的分布解析 由于(X，Y)的联合分布是否为二维正态分布未知，不能确定 X+Y 服从正态分布，又因为 X 与 Y
10、 是否独立未知，因而不能确定 X+Y 服从正态分布，也不能确定 X2+Y2服从 2分布，也不能确定 X2/Y2服从 F分布，故只能选(C)。进一步分析，因 XN(0，1)，故 X2 2(1)，同理 Y2 2(1)，因此选(C)。8.设 X 与 Y 相互独立，且均服从 N(0，1)，则下列正确的是_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 随机变量函数的分布解析 同理可求得：P(max(X，Y)0)=1-P(max(X，Y)0)=1-P(X0，Y0)=1-P(X0)P(Y0)因为所以P(min(X，Y)0)=P(X0，Y0)=P(X0)P(Y0)=二、填空题(总题数：6，分
11、数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n!(2 n-1)）解析：考点 函数的高阶导数解析 f(x)=(x-1) -1-(2x-1)-1f(x)=(-1)(x-1)-2-(-1)21(2x-1)-2，f(n)(x)=(-1)nn!(x-1)-n-1-(-1)nn!2n(2x-1)-n-1=(-1)nn!(x-1)-n-1-2n(2x-1)-n-1f(n)(0)=n!(2n-1)，(n1)10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 不定积分的求法解析 11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 傅里叶级数解析 由
12、已知12.设 S 为锥面 外侧，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点 利用积分性质求曲面积分解析 S 关于 yOx 面反向对称，y 关于 x 为偶函数，故13.设矩阵 A=E+2 T，其中 ， 是 n 维列向量，且 T=2，则 A-1=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 逆矩阵解析 A 2=(E+2 T)2=E+4 T+4( T) T=E+12 T=E+6(A-E)=6A-5E，故 5E=6A-A2=(6E-A)A，所以14.设 X1，X 2，X 9是来自正态总体 X 的简单随机样本， ，Y 2= （分数：4.00）填空项 1:_ （正
13、确答案： ）解析：考点 统计量的分布解析 设正态总体 XN(， 2)，E(Y1-Y2)=0， ，又 Y1-Y2，S 2独立，三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在点 x=0 处二阶可导，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(由题设可知 ，从而)解析：考点 函数的导数16.计算 Lyzdx+3xzdy-xydz，其中 L： （分数：10.00）_正确答案：(设曲线 L 所围的平面为按右手准则，取上侧，n=0，-3，1， ，由 Stokes 公式得，因为 ，D xy：x 2+y24y，所以 )解析：考点 第二类曲线积分，Stokes 公式17.设 f(x)在0，+)
14、上连续，且 。证明：至少 （分数：10.00）_正确答案：(作函数 F(x)=f(x)+x，有所以由积分中值定理，存在 a0，1，使 ，即 F(a)0。又 ，所以，由极限的保号性，存在 ba，使 ，即 F(b)0。因此，由介值定理，至少存在一个 (a，b) )解析：考点 中值定理的应用设点 M(，)是椭圆面 （分数：10.00）(1).求曲面在该点处的切平面方程；（分数：5.00）_正确答案：(设 ，则 ，所以，曲面在点 M(，)处的切平面方程为，即 )解析：(2).设是切平面被三坐标平面夹在第一卦限的部分，问 ， 取何值时，曲面面积*最小。其中cos，cos，cos 是切平面的方向余弦*（分
15、数：5.00）_正确答案：(设 为切平面与三坐标平面所围立体， 1， 2， 3，为其外表面， 1:x=0 的后侧， 2:y=0 的左侧， 3:z=0 的下侧，则显然 最大时，此积分值最小。设 则因为问题本身有最大值，且函数只有一个驻点，故驻点处的函数值即为它的最大值，因此 )解析：考点 曲面的切线方程及曲面积分的计算18.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：10.00）_正确答案：(设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)
16、m，另一段长度为(8-x)m，此时链条受到的重力为 ，即 ，且 x(0)=0，x(0)=0，解得 ，当链条滑过整个钉子时，x=8，由 ，得 )解析：考点 微分方程在物理中的应用已知三阶矩阵 A 与三维向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax-2A2x。（分数：11.00）(1).记 P=(x，Ax，A 2x)求三阶矩阵 B，使得 A=PBP-1；（分数：5.50）_正确答案：(由于 AP=PB，即 ，所以 )解析：(2).计算行列式|A+E|。（分数：5.50）_正确答案：(因为 A=PBP-1，所以 AB，从而(A+E)(B+E)，于是 )解析：考点 矩阵的
17、相似对角化，行列式的计算19.设 （分数：11.00）_正确答案：(由|E-B|=0，得 1=-1， 2=1， 3=2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1=-1， 2=1， 3=2，由 a+1= 1+ 2+ 3，得 a=1，再由|A|=b= 1 2 3=-2，得 b=-2，即由(-E-A)X=0，得 1=(1，1，0) T；由(E-A)X=0，得 2=(-2，1，1) T；由(2E-A)X=0，得 3=(-2，1，0) T，令 ，则 ，由(-E-B)X=0，得 1=(-1，0，1) T；由(E-B)X=0，得 2=(1，0，0) T；由(2E-B)X=0，得 3=(8，3，4) T；令 ，则
18、由 ，得令 )解析：考点 矩阵的相似对角化20.设二维连续型随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)|0x2，0y1 上服从均匀分布，令Z=max(X，Y)，求 E(Z)与 D(Z)。（分数：11.00）_正确答案：(先求出 Z 的分布函数 FZ(z)，再求出 Z 的概率密度 f(z)，然后计算 E(z)与 D(Z)。当 z0 时，FZ(z)=0；当 z2 时，F Z(z)=1，故只需求出当 0z2 时，F Z(z)的表达式，由于(X，Y)在矩形区域 D(该矩形的边平行于坐标轴)上服从均匀分布，所以 X 与 Y 相互独立，且分别服从0，2与0，1上的均匀分布，并且有FZ(Z)=PZz=Pm
19、ax(X，Y)z=PXz，Yz=PXzPYz=F X(z)FY(z)当 0z1 时， ；当 1z2 时， 。综上计算，有)解析：考点 期望和方差21.一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10、0.20 和 0.30，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的概率分布、数学期望 E(X)和方差 D(X)。（分数：11.00）_正确答案：(设事件 Ai=部件 i 需要调整，i=1，2，3，则 A1，A 2，A 3相互独立，并有 P(A1)=01，P(A 2)=0.2，P(A 3)=0.3，由题意知，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 =(1-0.1)(1-0.2)(1-0.3)=0.504=0.1(1-0.2)(1-0.3)+(1-0.1)0.2(1-0.3)+(1-0.1)(1-0.2)0.3=0.398)解析：考点 先确定 X 的所有可能取值，然后分别求出每一取值的概率，再按定义求数学期望和方差即可。
