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    【考研类试卷】考研数学一-181及答案解析.doc

    • 资源ID:1393429       资源大小:210.50KB        全文页数:10页
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    【考研类试卷】考研数学一-181及答案解析.doc

    1、考研数学一-181 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 f(x)有二阶连续导数,且 (分数:4.00)A.B.C.D.2.设 f(0,0)=0,当(x,y)(0,0)时,f(x,y)为如下形式之一,则 f(x,y)在(0,0)处可偏导的是_。A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.3.设 为常数,则级数 (分数:4.00)A.B.C.D.4.设函数 f(x)在a,b上有定义,在开区间(a,b)内可导,则_。A当 f(a)f(b)0 时,存在 (a,b),使 f()=0B对任何 (a,b),有 (分数:4.00)A

    2、.B.C.D.5.设 A,B 是 n 阶可逆矩阵,满足 AB=A+B。则下面命题中正确的是_。A|A+B|=|A|B| B(AB) -1=A-1B-1C(A-E)X=0 只有零解 DB-E 不可逆(分数:4.00)A.B.C.D.6.已知线性方程组 AX=k 1+ 2有解,其中 (分数:4.00)A.B.C.D.7.设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布,则_。AX+Y 服从正态分布 BX 2+Y2服从 2分布CX 2和 Y2都服从 2分布 DX 2/Y2服从 F 分布(分数:4.00)A.B.C.D.8.设 X 与 Y 相互独立,且均服从 N(0,1),则下列正确的是_。A BC D (

    3、分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 (分数:4.00)填空项 1:_10. (分数:4.00)填空项 1:_11.设 (分数:4.00)填空项 1:_12.设 S 为锥面 外侧,则 (分数:4.00)填空项 1:_13.设矩阵 A=E+2 T,其中 , 是 n 维列向量,且 T=2,则 A-1=_。(分数:4.00)填空项 1:_14.设 X1,X 2,X 9是来自正态总体 X 的简单随机样本, ,Y 2= (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设函数 f(x)在点 x=0 处二阶可导,且满足 (分数:10

    4、.00)_16.计算 Lyzdx+3xzdy-xydz,其中 L: (分数:10.00)_17.设 f(x)在0,+)上连续,且 。证明:至少 (分数:10.00)_设点 M(,)是椭圆面 (分数:10.00)(1).求曲面在该点处的切平面方程;(分数:5.00)_(2).设是切平面被三坐标平面夹在第一卦限的部分,问 , 取何值时,曲面面积*最小。其中cos,cos,cos 是切平面的方向余弦*(分数:5.00)_18.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上,链条长 18m,运动开始时链条一边下垂 8m,另一边下垂10m,问整个链条滑过钉子需要多长时间?(分数:10.00)_已知三阶矩阵 A 与三

    5、维向量 x,使得向量组 x,Ax,A 2x 线性无关,且满足 A3x=3Ax-2A2x。(分数:11.00)(1).记 P=(x,Ax,A 2x)求三阶矩阵 B,使得 A=PBP-1;(分数:5.50)_(2).计算行列式|A+E|。(分数:5.50)_19.设 (分数:11.00)_20.设二维连续型随机变量(X,Y)在矩形区域 D=(x,y)|0x2,0y1 上服从均匀分布,令Z=max(X,Y),求 E(Z)与 D(Z)。(分数:11.00)_21.一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10、0.20 和 0.30,假设各部件的状态相互独立,以 X 表示同时

    6、需要调整的部件数,试求 X 的概率分布、数学期望 E(X)和方差 D(X)。(分数:11.00)_考研数学一-181 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 f(x)有二阶连续导数,且 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 导数的应用解析 由 ,得 ,而由 f“(x)连续知 f(x)连续,所以 。于是 ,所以 x=0 是 f(x)的驻点。又由 ,得2.设 f(0,0)=0,当(x,y)(0,0)时,f(x,y)为如下形式之一,则 f(x,y)在(0,0)处可偏导的是_。A B C D (分数:4.00)A. B.C.D

    7、.解析:考点 二元函数的偏导性解析 取 ,则3.设 为常数,则级数 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 级数的敛散性解析 发散,4.设函数 f(x)在a,b上有定义,在开区间(a,b)内可导,则_。A当 f(a)f(b)0 时,存在 (a,b),使 f()=0B对任何 (a,b),有 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 函数连续性解析 由于 f(x)在(a,b)内可导,(a,b)则 f(x)在 点可导,因而在 点连续,故 。所以应选(B)。注意本题也可用排除法求解,例如:由函数 ,可知结论(A)不正确,由函数5.设 A,B 是 n 阶可逆矩阵,满足 AB=A+B。则下面

    8、命题中正确的是_。A|A+B|=|A|B| B(AB) -1=A-1B-1C(A-E)X=0 只有零解 DB-E 不可逆(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 矩阵的性质解析 因 A,B 满足 AB=A+B。两边取行列式,显然有|A+B|=|AB|=|A|B|,成立。又 AB=A+B,移项,提公因子得AB-A=A(B-E)=B,A(B-E)=B-E+E,(A-E)(B-E)=E故 A-E,B-E 都是可逆阵,且互为逆矩阵,从而知方程组(A-E)X=0 只有零解,正确。B-E 不可逆是错误的,又因(A-E)(B-E)=E,故(B-E)(A-E)=E,从而有 BA-A-B+E=E,BA=A

    9、+B,得 AB=BA,从而有(AB) -1=(BA)-1=A-1B-1成立,故、是正确的,应选(C)。6.已知线性方程组 AX=k 1+ 2有解,其中 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 线性方程组的解解析 将 AX=k 1+ 2的增广矩阵作初等行变换,7.设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布,则_。AX+Y 服从正态分布 BX 2+Y2服从 2分布CX 2和 Y2都服从 2分布 DX 2/Y2服从 F 分布(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 多元随机变量的分布解析 由于(X,Y)的联合分布是否为二维正态分布未知,不能确定 X+Y 服从正态分布,又因为 X 与 Y

    10、 是否独立未知,因而不能确定 X+Y 服从正态分布,也不能确定 X2+Y2服从 2分布,也不能确定 X2/Y2服从 F分布,故只能选(C)。进一步分析,因 XN(0,1),故 X2 2(1),同理 Y2 2(1),因此选(C)。8.设 X 与 Y 相互独立,且均服从 N(0,1),则下列正确的是_。A BC D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 随机变量函数的分布解析 同理可求得:P(max(X,Y)0)=1-P(max(X,Y)0)=1-P(X0,Y0)=1-P(X0)P(Y0)因为所以P(min(X,Y)0)=P(X0,Y0)=P(X0)P(Y0)=二、填空题(总题数:6,分

    11、数:24.00)9.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:n!(2 n-1))解析:考点 函数的高阶导数解析 f(x)=(x-1) -1-(2x-1)-1f(x)=(-1)(x-1)-2-(-1)21(2x-1)-2,f(n)(x)=(-1)nn!(x-1)-n-1-(-1)nn!2n(2x-1)-n-1=(-1)nn!(x-1)-n-1-2n(2x-1)-n-1f(n)(0)=n!(2n-1),(n1)10. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 不定积分的求法解析 11.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:1)解析:考点 傅里叶级数解析 由

    12、已知12.设 S 为锥面 外侧,则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:0)解析:考点 利用积分性质求曲面积分解析 S 关于 yOx 面反向对称,y 关于 x 为偶函数,故13.设矩阵 A=E+2 T,其中 , 是 n 维列向量,且 T=2,则 A-1=_。(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 逆矩阵解析 A 2=(E+2 T)2=E+4 T+4( T) T=E+12 T=E+6(A-E)=6A-5E,故 5E=6A-A2=(6E-A)A,所以14.设 X1,X 2,X 9是来自正态总体 X 的简单随机样本, ,Y 2= (分数:4.00)填空项 1:_ (正

    13、确答案: )解析:考点 统计量的分布解析 设正态总体 XN(, 2),E(Y1-Y2)=0, ,又 Y1-Y2,S 2独立,三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设函数 f(x)在点 x=0 处二阶可导,且满足 (分数:10.00)_正确答案:(由题设可知 ,从而)解析:考点 函数的导数16.计算 Lyzdx+3xzdy-xydz,其中 L: (分数:10.00)_正确答案:(设曲线 L 所围的平面为按右手准则,取上侧,n=0,-3,1, ,由 Stokes 公式得,因为 ,D xy:x 2+y24y,所以 )解析:考点 第二类曲线积分,Stokes 公式17.设 f(x)在0,+)

    14、上连续,且 。证明:至少 (分数:10.00)_正确答案:(作函数 F(x)=f(x)+x,有所以由积分中值定理,存在 a0,1,使 ,即 F(a)0。又 ,所以,由极限的保号性,存在 ba,使 ,即 F(b)0。因此,由介值定理,至少存在一个 (a,b) )解析:考点 中值定理的应用设点 M(,)是椭圆面 (分数:10.00)(1).求曲面在该点处的切平面方程;(分数:5.00)_正确答案:(设 ,则 ,所以,曲面在点 M(,)处的切平面方程为,即 )解析:(2).设是切平面被三坐标平面夹在第一卦限的部分,问 , 取何值时,曲面面积*最小。其中cos,cos,cos 是切平面的方向余弦*(分

    15、数:5.00)_正确答案:(设 为切平面与三坐标平面所围立体, 1, 2, 3,为其外表面, 1:x=0 的后侧, 2:y=0 的左侧, 3:z=0 的下侧,则显然 最大时,此积分值最小。设 则因为问题本身有最大值,且函数只有一个驻点,故驻点处的函数值即为它的最大值,因此 )解析:考点 曲面的切线方程及曲面积分的计算18.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上,链条长 18m,运动开始时链条一边下垂 8m,另一边下垂10m,问整个链条滑过钉子需要多长时间?(分数:10.00)_正确答案:(设链条的线密度为 ,取 x 轴正向为垂直向下,设 t 时刻链条下垂 x(t)m,则下垂那段的长度为(10+x)

    16、m,另一段长度为(8-x)m,此时链条受到的重力为 ,即 ,且 x(0)=0,x(0)=0,解得 ,当链条滑过整个钉子时,x=8,由 ,得 )解析:考点 微分方程在物理中的应用已知三阶矩阵 A 与三维向量 x,使得向量组 x,Ax,A 2x 线性无关,且满足 A3x=3Ax-2A2x。(分数:11.00)(1).记 P=(x,Ax,A 2x)求三阶矩阵 B,使得 A=PBP-1;(分数:5.50)_正确答案:(由于 AP=PB,即 ,所以 )解析:(2).计算行列式|A+E|。(分数:5.50)_正确答案:(因为 A=PBP-1,所以 AB,从而(A+E)(B+E),于是 )解析:考点 矩阵的

    17、相似对角化,行列式的计算19.设 (分数:11.00)_正确答案:(由|E-B|=0,得 1=-1, 2=1, 3=2,因为 AB,所以 A 的特征值为 1=-1, 2=1, 3=2,由 a+1= 1+ 2+ 3,得 a=1,再由|A|=b= 1 2 3=-2,得 b=-2,即由(-E-A)X=0,得 1=(1,1,0) T;由(E-A)X=0,得 2=(-2,1,1) T;由(2E-A)X=0,得 3=(-2,1,0) T,令 ,则 ,由(-E-B)X=0,得 1=(-1,0,1) T;由(E-B)X=0,得 2=(1,0,0) T;由(2E-B)X=0,得 3=(8,3,4) T;令 ,则

    18、由 ,得令 )解析:考点 矩阵的相似对角化20.设二维连续型随机变量(X,Y)在矩形区域 D=(x,y)|0x2,0y1 上服从均匀分布,令Z=max(X,Y),求 E(Z)与 D(Z)。(分数:11.00)_正确答案:(先求出 Z 的分布函数 FZ(z),再求出 Z 的概率密度 f(z),然后计算 E(z)与 D(Z)。当 z0 时,FZ(z)=0;当 z2 时,F Z(z)=1,故只需求出当 0z2 时,F Z(z)的表达式,由于(X,Y)在矩形区域 D(该矩形的边平行于坐标轴)上服从均匀分布,所以 X 与 Y 相互独立,且分别服从0,2与0,1上的均匀分布,并且有FZ(Z)=PZz=Pm

    19、ax(X,Y)z=PXz,Yz=PXzPYz=F X(z)FY(z)当 0z1 时, ;当 1z2 时, 。综上计算,有)解析:考点 期望和方差21.一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10、0.20 和 0.30,假设各部件的状态相互独立,以 X 表示同时需要调整的部件数,试求 X 的概率分布、数学期望 E(X)和方差 D(X)。(分数:11.00)_正确答案:(设事件 Ai=部件 i 需要调整,i=1,2,3,则 A1,A 2,A 3相互独立,并有 P(A1)=01,P(A 2)=0.2,P(A 3)=0.3,由题意知,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,且 =(1-0.1)(1-0.2)(1-0.3)=0.504=0.1(1-0.2)(1-0.3)+(1-0.1)0.2(1-0.3)+(1-0.1)(1-0.2)0.3=0.398)解析:考点 先确定 X 的所有可能取值,然后分别求出每一取值的概率,再按定义求数学期望和方差即可。


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