1、考研数学一-17 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：30，分数：100.00)1.设 y=y(x)由方程 y=sin(x+y)确定，则 （分数：3.00）2.作变量替换 x=lnt,方程 （分数：3.00）3.设 （分数：3.00）4.设 y=y(x)是由方程 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 确定的，则 y=y(x)的极值点是 1 （分数：3.00）5.设有界函数 f(x)在(c，+)内可导，且 （分数：3.00）6.设函数 f(x)在(a，+)内可导，且任意 x(a，+)有|f“(x)|M(M 为常数)，则 （分数：3.00）7.数列极限
2、 （分数：3.00）8.函数 （分数：3.00）9.设(1，3)是曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+14 的拐点，则 a= 1，b= 2 （分数：3.00）10.设 f(x)=3 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，则 A 至少为 1 时，有 f(x)20(x0) （分数：3.00）11.函数 f(x)=|4x 3 -18x 2 +27|在0，2上的最小值等于 1，最大值等于 2 （分数：3.50）12. （分数：3.50）13. （分数：3.50）14.已知f“(x 3 )dx=x 3 +C(C 为 （分数：3.50）15. （分数：3.50）16. （分数：3.50）17. （分
3、数：3.50）18.设 a0，则 （分数：3.50）19. （分数：3.50）20.设 （分数：3.50）21.设 （分数：3.50）22.设 f(x)连续，且 ， （分数：3.50）23.设 f(x)有连续的一阶导数， （分数：3.50）24.设 （分数：3.50）25. 则 （分数：3.50）26. （分数：3.50）27.设 f(x)=max1，x 2 )，则 （分数：3.50）28.设星形线方程为 则它所围成的面积 A 为 1，它的弧长 L 为 2，它绕 x 轴旋转而生成的旋转体体积 V 为 3 （分数：3.50）29.在曲线 y=x 2 (0x1)上取一点(t,t 2 )，(0t1)
4、，设 A 1 是曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=0 围成的面积；A 2 是由曲线 y=x 2 (0x1)直线 y=t 2 和 x=1 围成面积，则 t 取 1 时 A=A 1 +A 2 取最小值 （分数：3.50）30.设有曲线 （分数：3.50）考研数学一-17 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：30，分数：100.00)1.设 y=y(x)由方程 y=sin(x+y)确定，则 （分数：3.00）解析： 解析 将方程两边对 x 求导得 解出 再对 x 求导得 代入 1+y“的表达式得 2.作变量替换 x=lnt,方程 （分数：3.
5、00）解析： 解析 把(1)，(2)代入 中，得 3.设 （分数：3.00）解析： n-1 (n-1)!(-2) n -3 n 解析 1 f(x)=ln(1-2x)-1n(1+3x) f (n) (x)=(ln(1-2x) (n) -(1n(1+3x) (n) 由归纳法易得到 (1n(1+ax) (n) =(-1) n-1 a n (n-1)!(1 十 ax) -n 于是 f (n) (x)=(-1) n-1 (n-1)!(-2) n (1-2x) -n -3 n (1+3x) -n f (n) (0)=(-1) n-1 (n-1)!(-2) n -3 n 解析 2 4.设 y=y(x)是由方
6、程 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 确定的，则 y=y(x)的极值点是 1 （分数：3.00）解析：x=1 解析 将方程 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 两边对 x 求导，得 6y 2 y“-4yy“+2y+2xy“-2x=0 整理得 y“(3y 2 -2y+x)=x-y (1) 令 y“=0，有 x=y，将其代入 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 得 2x 3 -x 2 -1=(x 3 -1)+(x 3 -x 2 )=0，即(x-1)(2x 2 +x+1)=0，于是 x=1 是唯一的驻点此时，y=x=1 进一步判断 x=1 是否极值点： 对(1)求导
7、y“(3y 2 -2y+x)+y“(3y 2 -2y+x)“=1-y“ 把 x=1，y=1，y“(1)=0 代入上式，得 5.设有界函数 f(x)在(c，+)内可导，且 （分数：3.00）解析：0 解析 1 本题可用反证法证明 b=0，不妨设 b0，取 a 满足 0ab，由 ，有存在x 0 0，当 xx 0 时 f“(x)a，在x 0 ，x上用拉格朗日中值定理，f(x)-f(x 0 )=f“()(x-x 0 )a(x-x 0 ) (x 0 ，x)，即 f(x)a(x-x 0 )+f(x 0 )，因 所以 ，从而 f(x)在(c，+)上无界，这与 f(x)在(c，+)上是有界函数矛盾 解析 2
8、因 f(x)在(c，+)可导，有界 又 6.设函数 f(x)在(a，+)内可导，且任意 x(a，+)有|f“(x)|M(M 为常数)，则 （分数：3.00）解析：0 解析 1 任取定一点 x 0 (a，+)，对任意的 x 0 (a，+)，有 其中 在 x 与 x 0 之间 显然 由夹逼定理，有 解析 2 用上题中评注结论，用洛必达法则立即得 7.数列极限 （分数：3.00）解析：2 解析 1 这是0 型的数列极限，转化为求 型的函数极限，然后用洛必达法则 解析 2 这是0 型极限，为简化计算设法寻求 的等价无穷小，它是 f(x)=arctanx 的改变量 由拉格朗日中值定理，它可改写成 其中
9、，当 n时， 因此， 8.函数 （分数：3.00）解析：(-，-1，3，+)；-1，1)，(1，3；f(-1)=-2 是极大值，f(3)=0 是极小值；(1，+)是凹区间；(-，1)是凸区间 解析 y“=0 x=3，x=-1，y“0，x=1 处 y 无定义现用 x=-1，x=1，x=3 将定义域分成如下区间并列表： 9.设(1，3)是曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+14 的拐点，则 a= 1，b= 2 （分数：3.00）解析：-3，-9 解析 求出 y“=6x+2a， (1，3)为该曲线拐点 y(1)=1+a+b+14=3 y“(1)=6+2a=0 a=-3，b=-9又 10.设 f(x
10、)=3 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，则 A 至少为 1 时，有 f(x)20(x0) （分数：3.00）解析：64 解析 为使 f(x)20，只要 3x 5 +A20x 3 即 20x 3 -3x 5 A，设 g(x)=20x 3 -3x 5 ，则A 至少是 g(x)在(0，+)内的最大值 因 11.函数 f(x)=|4x 3 -18x 2 +27|在0，2上的最小值等于 1，最大值等于 2 （分数：3.50）解析：0；27 解析 设 (x)=4x 3 -18x 2 +27，则 (x)在0，2单调下降 (0)=27，(2)=-13 唯一 x 0 (0，2)，(x 0 )=0 由于
11、 f(x)=|(x)| 12. （分数：3.50）解析：解析 13. （分数：3.50）解析： 解析 1 解析 2 令 ，解出 ， ，于是 14.已知f“(x 3 )dx=x 3 +C(C 为 （分数：3.50）解析： ，C 为 常数 解析 将f“(x 3 )dx=x 3 +C 两边求导得 f“(x3)=3x2令 ，则 因此 ，(C 为 15. （分数：3.50）解析： 解析 1 解析 2 将 sinx 作如下分解 sinx=(sinx+cosx)+(sinx+cosx)“=(-)sinx+(+)cosx 令 得 于是 16. （分数：3.50）解析： 解析 令 ，则 x=t 2 -1，dx=
12、2tdt， 于是 17. （分数：3.50）解析： 解析 先用分部积分法 再作变量替换， 令 ，则 x=ln(t 2 -1)， ，于是 因此， 18.设 a0，则 （分数：3.50）解析： 解析 由于 是奇函数，所以 由定积分的几何意义 (半径为 a 的半圆的面积) 所以 19. （分数：3.50）解析： 解析 而 (单位圆面积的 ) 因此， 20.设 （分数：3.50）解析：a1；b=0；c=0 或 a=1；b=0；c=-2 解析 因 且 存在，所以必有 ，因此必有b=0 当 a1 时 因此 c=0 当 a=1 时 21.设 （分数：3.50）解析：0； 解析 由 f“(x)=e -x4 2
13、x=0，得 x=0 当 x0 时，f“(x)0，当 x0 时，f“(x)0，所以， 极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=0 由 f“(x)=2e -x4 (1-4x 4 )=0，得 当 或 时，f“(x)0，当 时，f“(x)0，因此，拐点坐标为 22.设 f(x)连续，且 ， （分数：3.50）解析： 解析 对 作换元后，再求 “(x) 由 及 f(x)连续，有 当 x=0 时， 当 x0 时， ，令 xt=u， 则 所以 当 x=0 时， 当 x0 时， 所以 23.设 f(x)有连续的一阶导数， （分数：3.50）解析：1解析 24.设 （分数：3.50）解析： 解析 设 则 f(x
14、)=x 2 -bx+2a 对上式两边分别在0，1和0，2上作定积分 即 (1) 即 (2) 由(1)式和(2)式得 于是 25. 则 （分数：3.50）解析： 解析 先对 换元，再计算 设 x-2=t，dx=dt，当 x=1 时 t=-1；当 x=4 时 t=2 26. （分数：3.50）解析：1 解析 令 x=-t， 因此 27.设 f(x)=max1，x 2 )，则 （分数：3.50）解析： 解析 1 因为 所以这是求分段函数的变限积分 当-1x1 时 当 x时 解析 2 是 f(x)的一个原函数，满足 F(1)=0因而，我们也可用拼接法求得分段函数 f(x)的一个原函数，记为 F 0 (
15、x) 其中 C 1 ，C 2 满足 现定出 C 使得 因此 28.设星形线方程为 则它所围成的面积 A 为 1，它的弧长 L 为 2，它绕 x 轴旋转而生成的旋转体体积 V 为 3 （分数：3.50）解析： 解析 29.在曲线 y=x 2 (0x1)上取一点(t,t 2 )，(0t1)，设 A 1 是曲线 y=x 2 (0x1)，直线 y=t 2 和 x=0 围成的面积；A 2 是由曲线 y=x 2 (0x1)直线 y=t 2 和 x=1 围成面积，则 t 取 1 时 A=A 1 +A 2 取最小值 （分数：3.50）解析： 解析 (0t1)， 因此， 时，A=A 1 +A 2 取最小值 30.设有曲线 （分数：3.50）解析： 解析 设切点为 ，则过原点的切线方程为 把点 代入式得 x 0 =2，y 0 =1所以切线方程为 由切线 (0x2)绕 x 轴旋转一圈旋转体的侧面积为 由曲线 (1x2)绕 x 轴旋转一圈旋转体的侧面积为 所以，所求旋转体表面积为
