1、考研数学一-178 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.直线 与平面 ：x+y+2z-7=0 的夹角为_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)|x 2+y22x，则 等于A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 的收敛半径 r=1，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设其中 A 是可逆矩阵，则 B-1等于_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.6.向量组 1=(0，1，-1) T， 2=(x，2，1
2、) T， 3=(y，1，0) T与向量组 1=(1，2，-3) T， 2=(3，0，1)T， 3=(9，6，-7) T有相同的秩，且 3可由 1， 2， 3线性表示，则 x，y 的值为_Ax=12，y=4 Bx=15，y=5Cx=-12，y=-4 Dx=-15，y=-5（分数：4.00）A.B.C.D.7.设一批零件长度 X 服从正态分布 N(， 2)，其中 ， 2未知. 现从中随机抽取 16 个零件测得样本均值 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 Xi(1i8)和 Yj(1j10)分别是来自两个独立总体 XN(-1，2 2)与 YN(2，5)的简单随机样本，分别是两个样本的样本方差，则
3、统计量 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 0=(x，y，z)|x 2+y2+z21，z0，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程：ydx+(x-3x 3y2)dy=0 的解为_.（分数：4.00）填空项 1:_12.曲线 L 是以点(1，0)为圆心，R(1)为半径的圆，L 为逆时针方向，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.行列式 （分数：4.00）填空项 1:_14.一发高射炮弹击落、击伤和不能击中敌机的概率分别为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94
4、.00)15.设抛物线 y=ax2+bx+c 满足两个条件：()过(0，0)和(1，2)两点，且 a0；()与曲线 y=-x2+2x 围成图形面积最小，求此抛物线方程.（分数：9.00）_16.将 （分数：10.00）_（分数：10.00）(1).验证函数*满足微分方程：y+y+y=-e x；（分数：5.00）_(2).用上题中结论求幂级数*的和函数 S(x).（分数：5.00）_17.设函数 z=(1+ey)cosx-yey. 试证此函数有无穷多个极大值点，而没有极小值点.（分数：10.00）_（分数：11.00）(1).设 f(x，y，z)是连续函数，当 t0 +时，*是否为无穷小量？如果
5、是，指出它的阶.（分数：5.50）_(2).曲线 C 为*从上往下看 C 的方向是顺时针的，求向量场*沿 C 的环量.（分数：5.50）_设 d 是线性方程组 AX=b 的解， 1， 2， t是其导出组的基础解系，令 1=+ 1， 2=+ 2， t=+ t试证：（分数：11.00）(1).， 1， 2， t线性无关；（分数：5.50）_(2).方程组 Ax=b 的任一解 可表示为 =l 0+l 1 1+l2 2+lt t，其中 l0+l1+lt=1.（分数：5.50）_18.设 ，求极限 ， （分数：11.00）_19.设二维随机变量(，)的概率密度为（分数：11.00）_20.设 X 在(-
6、a，0)(a0)上服从均匀分布，Y 在(0，a)(a0)上服从均匀分布，且 X，Y 相互独立. 求Z=X+Y 的概率密度.（分数：11.00）_考研数学一-178 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.直线 与平面 ：x+y+2z-7=0 的夹角为_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 空间直线与平面的夹角解析 l 的方向向量为 ， 的法向量为 ，设直线 l 与平面 的夹角为 ，则 .故2.已知 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 二元函数的全微分解析 因为存在函数 z=f(x，y)，使 ，即有
7、. 分别对 y，x 再求偏导数，得 . 由右端解析式知， 和 连续，故 . 得(2-a)x-ay=-2y，即(2-a)x=(a-2)y，而 x，y 是独立的自变量，故 2-a=a-2=0，即 a=2. 选 A.3.设函数 f(u)连续，区域 D=(x，y)|x 2+y22x，则 等于A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 将二重积分化为二次积分解析 A 不正确，对 x 积分的上下限错误.B 不正确，不知 f(u)的奇偶性，只有区域关于 x 轴的对称性. C 不正确，4.已知 的收敛半径 r=1，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 幂级数的收敛域解析 对任意
8、的 x0，0|x 0|1， 收敛，其必要条件为 ，而收敛数列必有界，即存在 M0，使 .于是对任意的 x(-，+)，有(*)而 ，由式(*)及正项级数比较判别法知5.设其中 A 是可逆矩阵，则 B-1等于_A BC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的初等变换解析 将 A 的 2，3 列互换后，再换 1，4 列就得到 B，即 B=AP2P1，注意，对初等矩阵 P1，P 2有 ，故 ，而进行奇数次初等变换，相当于进行一次这种变换，故6.向量组 1=(0，1，-1) T， 2=(x，2，1) T， 3=(y，1，0) T与向量组 1=(1，2，-3) T， 2=(3，0，1)
9、T， 3=(9，6，-7) T有相同的秩，且 3可由 1， 2， 3线性表示，则 x，y 的值为_Ax=12，y=4 Bx=15，y=5Cx=-12，y=-4 Dx=-15，y=-5（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 确定向量组线性表示中的参数解析 易知 1， 2线性无关，且 3=3 1+2 2，则 r( 1， 2， 3)=2， 1， 2是它的最大线性无关组，从 r( 1， 2， 3)=r( 1， 2， 3)=23 知， . 于是 x=3y，又从 3可由 1， 2， 3线性表示知 3可由 1， 2线性表示，从而 1， 2， 3线性相关，故 -(10-2y)=0，故y=5，x=3y=
10、15. 选 B.7.设一批零件长度 X 服从正态分布 N(， 2)，其中 ， 2未知. 现从中随机抽取 16 个零件测得样本均值 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 未知方差正态总体均值的区间估计解析 2未知，=0.10，此时 ，则今知 n=16，t /2 (n-1)=t0.05(15)=1.753， ， ，从而 的置信水平为 0.90 的置信区间为8.设 Xi(1i8)和 Yj(1j10)分别是来自两个独立总体 XN(-1，2 2)与 YN(2，5)的简单随机样本，分别是两个样本的样本方差，则统计量 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 来自两个独立正态总体的抽象分布解
11、析 ，则二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：14-ln7!）解析：考点 定积分计算解析 当 ln nxln(n+1)时，e x=n，由 7e 28 知 ln 72ln 8，故10.设 0=(x，y，z)|x 2+y2+z21，z0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 计算三重积分解析 记 =(x，y，z)|x 2+y2+z21，即 0是 在 xOy 面的上半球. 由于 f(x，y，z)=7x 2+6y2+5z2关于 z 是偶函数，故注意到积分区域 对 x，y，z 有轮换对称性，而积分值仅与积分域及被积
12、函数有关，因此从而11.微分方程：ydx+(x-3x 3y2)dy=0 的解为_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(c 为任意常数)与 y=0 ）解析：考点 解一阶微分方程解析 将方程写为 ydx+xdy-3x3y2dy=0，即 d(xy)-3x3y2dy=0，两端同乘以 (y0)，得方程通解为12.曲线 L 是以点(1，0)为圆心，R(1)为半径的圆，L 为逆时针方向，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：考点 计算关于坐标的曲线积分解析 L 围成的区域 D 内包含原点作一小椭圆 C ：4x 2+y2= 2(0 充分小)，使 C 含于 D 内，记 L 与 C
13、 围成的区域为 D . 在 D 上依格林公式. 有故13.行列式 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(3-ab)a 2b2）解析：考点 计算 6 阶行列式的值解析 14.一发高射炮弹击落、击伤和不能击中敌机的概率分别为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.998解析 记 A1=一发炮弹击落敌机，A 2=一发炮弹击伤敌机，A 3=一发炮弹不能击中敌机，则 .设 B=5 发炮弹击落敌机，则 发炮弹未能击落敌机.=“5 发均未击中”“5 发仅击伤一次”.于是 ，故）解析：三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设抛物线 y=ax2+bx+c 满足两个条件：()过(0
14、，0)和(1，2)两点，且 a0；()与曲线 y=-x2+2x 围成图形面积最小，求此抛物线方程.（分数：9.00）_正确答案：(y=ax 2+bx+c 过(0，0)，(1，2)两点，得 ，即 c=0，b=2-a. y=-x 2+2x=-(x-1)2+1，抛物线开口向下，顶点为(1，1)，过(0，0)，(2，0)两点.设二抛物线另一交点为 A，由 得 x1=0， ，即 A 点横坐标为 . 二曲线所围图形面积为令 ，则 a=-3(-，0)为唯一驻点(a=0 与 a0 矛盾，舍之).且 )解析：考点 定积分应用16.将 （分数：10.00）_正确答案：(故 ，由 )解析：考点 将函数展成幂级数（分
15、数：10.00）(1).验证函数*满足微分方程：y+y+y=-e x；（分数：5.00）_正确答案：( ，幂级数在收敛区间内可逐项求导，有)解析：(2).用上题中结论求幂级数*的和函数 S(x).（分数：5.00）_正确答案：(二阶常系数齐次方程的特征方程为 2+1=0， . 故齐次方程通解为 (C1，C 2为任意常数).设非齐次方程有特解，形如：y *=Aex，代入式，得 . 于是得代入初值 y(0)=1，y(0)=0，得 ，故 ，幂级数的和函数为)解析：考点 求幂级数的和函数17.设函数 z=(1+ey)cosx-yey. 试证此函数有无穷多个极大值点，而没有极小值点.（分数：10.00）
16、_正确答案：(令 ，驻点为(x，y)=(2n，0)或(x，y)=(2n+1)，-2(n=0，1，2，). 从而(2n，0)(n=0，1，2，)无穷多个点为函数极大值点.)解析：考点 二元函数极值点（分数：11.00）(1).设 f(x，y，z)是连续函数，当 t0 +时，*是否为无穷小量？如果是，指出它的阶.（分数：5.50）_正确答案：(f(x，y，z)是连续函数，依积分中值定理，存在点(，)(x，y，z)|x 2+y2+z2t 2，使 . 当 t0 +时，(，)(0，0，0).于是， )解析：(2).曲线 C 为*从上往下看 C 的方向是顺时针的，求向量场*沿 C 的环量.（分数：5.50
17、）_正确答案：(用 表示球面 z2+y2+z2=1(z0)被 C 围成的内部，它的法向量为依照斯托克斯公式，环量为注意：关于 y=0 对称，xy 是 y 的奇函数，得 ；关于 y=0 对称，yz 是 y 的奇函数，得 ，从而由 知于是)解析：考点 无穷小的阶；向量场的环量设 d 是线性方程组 AX=b 的解， 1， 2， t是其导出组的基础解系，令 1=+ 1， 2=+ 2， t=+ t试证：（分数：11.00）(1).， 1， 2， t线性无关；（分数：5.50）_正确答案：(设 x，x 1，x 2，x t是一组数，使x+x 1 1+x2 2+xt t=0.将 i=+ i(i=1，2，t)代
18、入整理得(x+x1+xt)+x 1 1+x2 2+xt t=0. 用矩阵 A 左乘式，因为 i(i=1，2，t)是 AX=0 的解，故 A i=0 (i=1，2，t)，于是得(x+x1+xt)A=(x 1+x2+xt)b=0.但 b0，所以x+x1+x2+xt=0. 将式代入式得 x1 1+x2 2+xt t=0. 由于 1， 2， t是 AX=0 的基础解系，故线性无关，得x1=x2=xt=0. 再将式代入式，知 x=0，于是 ， 1， 2， t线性无关.)解析：(2).方程组 Ax=b 的任一解 可表示为 =l 0+l 1 1+l2 2+lt t，其中 l0+l1+lt=1.（分数：5.5
19、0）_正确答案：(由非齐次方程组解的结构知，若 是 AX=b 的解，其可表示为=+k 1 1+k2 2+kt t=+k 1( 1-)+k 2( 2-)+k t( t-)=(1-k1-k2-kt)+k 2 1+k2 2+kt t 令 l0=1-k1-k2-kt，l 1=k1，l 2=k2，l t=kt. 式可表示为=l 0+l 1 1+l2 2+lt t且 l0+l1+l2+lt=1.)解析：考点 非齐次线性方程的解与其导出组的基础解系的关系18.设 ，求极限 ， （分数：11.00）_正确答案：(记 ，由 . 知 A 的特征值为 1=1， 2=0， .对应 1=1 的特征向量为 .对应 2=0
20、 的特征向量为 .对应 的特征向量为 .令 ，求得 ，则于是从而故)解析：考点 矩阵对角化的应用19.设二维随机变量(，)的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(故从而 )解析：考点 条件数学期望及方差20.设 X 在(-a，0)(a0)上服从均匀分布，Y 在(0，a)(a0)上服从均匀分布，且 X，Y 相互独立. 求Z=X+Y 的概率密度.（分数：11.00）_正确答案：(X，Y 的概率密度分别为由于 X，Y 相互独立，因此 Z=X+Y 的概率密度由卷积公式有将 z(-，+)视为参数，被积函数的非零域满足即当 z-a 时，f Z(z)=0；当 za 时 fZ(z)=0. 当-az0 时 .当 0za 时 .从而 Z=X+Y 的概率密度为)解析：考点 求随机变量和的概率密度
