1、考研数学一-175 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.方程 （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.位于两圆 x2+y2=2y 与 x2+y2=4y 之间的质量分布均匀的薄板重心坐标是_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.4. 的值等于_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A *是它的伴随矩阵，则行列式 （分数：4.00）A.B.C.D.6.A 为 n 阶矩阵，A T是 A 的转置矩阵，则_A 是 AT的特征值，则 必是 A 的特
2、征值B 是 AT的特征值，则 必不是 A 的特征值C 是 AT的特征向量，则 必是 A 的特征向量D 是 AT的特征向量，则 必不是 A 的特征向量（分数：4.00）A.B.C.D.7.A，B 为二随机事件，且 P(C|AB)=1，则下列结论正确的是_AP(C)P(A)+P(B)-1 BP(C)P(A)+P(B)-1CP(C)=P(AB) DP(C)=P(AB)（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X 10是取自正态总体 N(2， 2)的样本，记 ，S= ，已知 ，则 P(S)的值为_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)
3、9. （分数：4.00）填空项 1:_10.函数 在点 (a0，b0)处沿曲线 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 x+z=yf(x2-z2). 则 （分数：4.00）填空项 1:_12.将累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A，B，AB-E 都是 n 阶可逆矩阵，则(A-B -1)-1-A-1-1等于_.（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 关于随机变量 Y 的条件概率密度为而 Y 的概率密度为则 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.试证：对任意实数 a1，有 （分数：9.00）_16.设求 （分数：10.00
4、）_17.求数项级数 （分数：10.00）_18.设平面图形 A 由 x2+y22x 与 yx 围成，求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积.（分数：10.00）_19.设曲面 为：z=x 2+(y-1)2+1 被平面 ：2y+z=3 截下的有限部分，其法向量与 z 轴正向夹角为锐角，求曲面积分 （分数：11.00）_设 A 为 n 阶矩阵，r(A)=n-1，且代数余子式 A110.（分数：11.00）(1).求 AX=0 的通解；（分数：5.50）_(2).求 A*X=0 的通解.（分数：5.50）_已知矩阵 （分数：11.00）(1).求坐标变换 X=CY，化二次型 f=XT
5、AX 为标准形.（分数：5.50）_(2).指出 XTAX=0 表示什么曲面.（分数：5.50）_设某种商品一周的需求量 X 是一随机变量，其概率密度为（分数：11.00）(1).以 Yk表示前 k 周的需求量(k=1，2，3)，求 Y2和 Y3的概率密度 f2(y)和 f3(y)；（分数：5.50）_(2).以 Z 表示前 3 周中各周需求量的最大值，求 Z 的概率密度 fZ(z).（分数：5.50）_已知产品某项指标 X 的概率密度为（分数：11.00）(1).求 的矩估计值；（分数：5.50）_(2).求 的最大似然估计值.（分数：5.50）_考研数学一-175 答案解析(总分：150.
6、00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.方程 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 讨论方程根的个数解析 令 ，由于 f(x)在(-，+)为偶函数，只要讨论 f(x)在0，+)内零点情形，而当 x1时，f(x)0，因此讨论 f(x)在0，1的零点即可.，依闭区间连续函数零值定理，f(x)在(0，1)内至少有一实根，但 .即 f(x)在0，1严格单调增加，故 f(x)=0 在2.函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 二元函数的连续，偏导数存在，可微，方向导数存在的关系解析 ，故函数在(0，0)连续.不存在.同理 不存在.因此 f(x，y
7、)在点(0，0)也不可微. A，B，C 不正确.对任一方向 ，3.位于两圆 x2+y2=2y 与 x2+y2=4y 之间的质量分布均匀的薄板重心坐标是_A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 平面上均匀薄板重心的坐标解析 薄板占有的平面区域为D=(x，y)|2yx 2+y24y=(r，)|0，2sin r4sin .不妨设面密度 =1，则 .D 关于 x=0(y 轴)对称，故 ；于是 . 从而重心的坐标为4. 的值等于_A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 定积分的计算解析 令 .从而 2J=0，J=0. 于是. 选 A.注：也可以绘出 (x)在
8、 的图形，由 及定积分几何意义，易知5.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A *是它的伴随矩阵，则行列式 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 分块矩阵的行列式解析 分块矩阵是 2n 阶矩阵，由 AA*=A*A=|A|E 知|A|A *|=|A|n.于是6.A 为 n 阶矩阵，A T是 A 的转置矩阵，则_A 是 AT的特征值，则 必是 A 的特征值B 是 AT的特征值，则 必不是 A 的特征值C 是 AT的特征向量，则 必是 A 的特征向量D 是 AT的特征向量，则 必不是 A 的特征向量（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 n 阶矩阵与其转置矩阵特征值、特征向量的关系解析 A
9、 正确. |E-A T|=|(E-A) T|=|E-A|. 表明 AT与 A 有相同的特征多项式，故有相同的特征值，由此即知 B 不正确.C 不正确. 反例：取 ，此时有 ，即 是 AT属于特征值 =1 的特征向量. 但是，7.A，B 为二随机事件，且 P(C|AB)=1，则下列结论正确的是_AP(C)P(A)+P(B)-1 BP(C)P(A)+P(B)-1CP(C)=P(AB) DP(C)=P(AB)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 随机事件的概率解析 由8.设 X1，X 2，X 10是取自正态总体 N(2， 2)的样本，记 ，S= ，已知 ，则 P(S)的值为_A B C D
10、 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 正态总体样本均值，样本方差相关的抽样分布解析 来自正态总体 N(， 2)的样本，样本均值 与样本方差 S2相互独立，因此有而 ，故 .由此可得二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 含有变上限积分定义函数的极限解析 于是10.函数 在点 (a0，b0)处沿曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 求方向导数解析 令 ，则 (x，y)=0 在点 处的法向量为单位内法向量为 .从而11.设 x+z=yf(x2-z2). 则 （分数：4.00）填空项 1:
11、_ （正确答案：x）解析：考点 复合函数，隐函数的偏导数解析 在方程 x+z=yf(x2-z2)两边取微分，得 dx+dz=fdy+yf(2xdx-2zdz)，即(2yzf+1)dz=(2xyf-1)dx+fdy.从而 ，则 .于是12.将累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 三重积分的累次积分交换次序解析 被积函数含 z，最后对 z 积分为好，先换 y，z 次序.则再交换 z，x 次序： . 因此有13.设 A，B，AB-E 都是 n 阶可逆矩阵，则(A-B -1)-1-A-1-1等于_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(AB-E)A）解析：考
12、点 抽象可逆矩阵求逆矩阵解析 |A-B -1|=|ABB-1-B-1=|(AB-E)B-1|=|AB-E|B-1|0.故 A-B-1可逆，而(A-B-1)-1-A-1=(A-B-1)-1-(A-B-1)-1(A-B-1)A-1=(A-B-1)-1E-(A-B-1)A-1.=(A-B-1)-1(E-E+B-1A-1)=AB(A-B-1)-1=(ABA-A)-1，从而(A-B -1)-1-A-1-1=ABA-A=(AB-E)A.14.设随机变量 X 关于随机变量 Y 的条件概率密度为而 Y 的概率密度为则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 随机变量(X，Y)的联合概率密
13、度、条件概率密度及边缘密度解析 (X，Y)的联合概率密度为于是关于 X 的边缘概率密度为从而 .三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.试证：对任意实数 a1，有 （分数：9.00）_正确答案：(令 ，即 x2=t，2xdx=dt. 于是 ，在等式右端第二项中，令 ，则 . 于是代回式(*)中，注意定积分的值与积分变量字母无关，得)解析：考点 证明积分等式16.设求 （分数：10.00）_正确答案：(记 G=(x，y)|1x2，0yx. D1=GD=(x，y)|1x2， .则)解析：考点 计算二重积分17.求数项级数 （分数：10.00）_正确答案：(考察幂级数 ，收敛半径 r=+.
14、对任意实数 x(-，+)级数都收敛. 和函数记为s(x)，有(|x|+). 由于 (|x|+).(|x|+).故 (|x|+).因此 (|x|+).取 x=，得 )解析：考点 求数项级数的和18.设平面图形 A 由 x2+y22x 与 yx 围成，求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积.（分数：10.00）_正确答案：(以 y 为积分变量，则 A 的边界曲线为x2=y(0y1).所求体积为曲线 x1=x1(y)和 x2=x2(y)绕直线 x=2 所得旋转体体积之差，取 y，y+dy0，1，由微元法知)解析：考点 定积分应用19.设曲面 为：z=x 2+(y-1)2+1 被平面 ：
15、2y+z=3 截下的有限部分，其法向量与 z 轴正向夹角为锐角，求曲面积分 （分数：11.00）_正确答案：(从 消 z，得 x2+y2=1.表明它是二曲面 与 交线向 xOy 平面投影的柱面方程.记 Dxy=(x，y)|x 2+y21.添上平面 被曲面 截下部分，记作 1，其法向量向下，由 与 1围成的立体为 ，依高斯公式有)解析：考点 计算关于坐标的曲面积分设 A 为 n 阶矩阵，r(A)=n-1，且代数余子式 A110.（分数：11.00）(1).求 AX=0 的通解；（分数：5.50）_正确答案：(由于 r(A)=n-1n，故 AX=0 必有非零解 X=(x1，x 2，x n)T0.
16、且它的基础解系含有 n-r(A)=n-(n-1)=1 个解向量. 将此非零解代入 AX=0，有当考查 n-1 元方程组：)解析：(2).求 A*X=0 的通解.（分数：5.50）_正确答案：(当 r(A)=n-1 时，r(A *)=1，于是即它的基础解系为)解析：考点 求齐次线性方程组的通解已知矩阵 （分数：11.00）(1).求坐标变换 X=CY，化二次型 f=XTAX 为标准形.（分数：5.50）_正确答案：(=(-6)( 2-4-12)=(-6) 2(+2)=0，得 A 的特征值为 1= 2=6， 3=-2.由 A 与对角矩阵相似知 A 属于 1= 2=6 的有两个线性无关的特征向量.即
17、(6E-A)X=0 的基础解系有 2 个解向量：3-r(6E-A)=2，故 r(6E-A)=1.得 a=0.此时二次型为令 ，即 ，亦即 ，则有)解析：(2).指出 XTAX=0 表示什么曲面.（分数：5.50）_正确答案：(X TAX=0 即 )解析：考点 求坐标变换，化二次型为标准形设某种商品一周的需求量 X 是一随机变量，其概率密度为（分数：11.00）(1).以 Yk表示前 k 周的需求量(k=1，2，3)，求 Y2和 Y3的概率密度 f2(y)和 f3(y)；（分数：5.50）_正确答案：(以 Xi(i=1，2，3)表示第 i 周需求量，则 Xi(1i3)相互独立，同分布，均以 f(
18、x)为概率密度.Y2=X1+X2；Y 3=X1+X2+X3=Y2+X3.当 y0 时，显然 f2(y)=0. 当 y0 时，由卷积公式即同理，当 y0 时，f 3(y)=0. 当 y0 时，由卷积公式即 )解析：(2).以 Z 表示前 3 周中各周需求量的最大值，求 Z 的概率密度 fZ(z).（分数：5.50）_正确答案：(Z=max(X 1，X 2，X 3)，对任意实数 z，有FZ(z)=P(Zz)=P(max(X 1，X 2，X 3)z)=P(X1z，X 2z，X 3z)=P(X1z)P(X 2z)P(X 3z)=F X(z)3.当 z0 时，F X(z)=0.当 z0 时， ，即 从而
19、)解析：考点 求独立随机变量函数的概率密度已知产品某项指标 X 的概率密度为（分数：11.00）(1).求 的矩估计值；（分数：5.50）_正确答案：(X 的一阶中心矩为而样本均值为 .令 )解析：(2).求 的最大似然估计值.（分数：5.50）_正确答案：(基于 x1=1026，x 2=966，x 3=1011 的似然函数为欲求 lnL()的最大值点，即求 的最小值点.记 ，当 966 时，l=(1026-)+(966-)+|1011-|=3(1001-)3(1001-966)=105.当 1026 时，l=(-1026)+(-966)+(-1011)=3(-1001)3(1026-1001)=75.当 9661026 时，l=(1026-)+(-966)+(1011-)=60+|1011-|60.(等号在 =1011 时成立).即 =1011 时，l 取最小值，lnL()取最大值. 从而 )解析：考点 求矩估计值和最大似然估计值
