1、考研数学一-175 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.方程 (分数:4.00)A.B.C.D.2.函数 (分数:4.00)A.B.C.D.3.位于两圆 x2+y2=2y 与 x2+y2=4y 之间的质量分布均匀的薄板重心坐标是_A BC D (分数:4.00)A.B.C.D.4. 的值等于_A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.5.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A *是它的伴随矩阵,则行列式 (分数:4.00)A.B.C.D.6.A 为 n 阶矩阵,A T是 A 的转置矩阵,则_A 是 AT的特征值,则 必是 A 的特
2、征值B 是 AT的特征值,则 必不是 A 的特征值C 是 AT的特征向量,则 必是 A 的特征向量D 是 AT的特征向量,则 必不是 A 的特征向量(分数:4.00)A.B.C.D.7.A,B 为二随机事件,且 P(C|AB)=1,则下列结论正确的是_AP(C)P(A)+P(B)-1 BP(C)P(A)+P(B)-1CP(C)=P(AB) DP(C)=P(AB)(分数:4.00)A.B.C.D.8.设 X1,X 2,X 10是取自正态总体 N(2, 2)的样本,记 ,S= ,已知 ,则 P(S)的值为_A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)
3、9. (分数:4.00)填空项 1:_10.函数 在点 (a0,b0)处沿曲线 (分数:4.00)填空项 1:_11.设 x+z=yf(x2-z2). 则 (分数:4.00)填空项 1:_12.将累次积分 (分数:4.00)填空项 1:_13.设 A,B,AB-E 都是 n 阶可逆矩阵,则(A-B -1)-1-A-1-1等于_.(分数:4.00)填空项 1:_14.设随机变量 X 关于随机变量 Y 的条件概率密度为而 Y 的概率密度为则 (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.试证:对任意实数 a1,有 (分数:9.00)_16.设求 (分数:10.00
4、)_17.求数项级数 (分数:10.00)_18.设平面图形 A 由 x2+y22x 与 yx 围成,求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积.(分数:10.00)_19.设曲面 为:z=x 2+(y-1)2+1 被平面 :2y+z=3 截下的有限部分,其法向量与 z 轴正向夹角为锐角,求曲面积分 (分数:11.00)_设 A 为 n 阶矩阵,r(A)=n-1,且代数余子式 A110.(分数:11.00)(1).求 AX=0 的通解;(分数:5.50)_(2).求 A*X=0 的通解.(分数:5.50)_已知矩阵 (分数:11.00)(1).求坐标变换 X=CY,化二次型 f=XT
5、AX 为标准形.(分数:5.50)_(2).指出 XTAX=0 表示什么曲面.(分数:5.50)_设某种商品一周的需求量 X 是一随机变量,其概率密度为(分数:11.00)(1).以 Yk表示前 k 周的需求量(k=1,2,3),求 Y2和 Y3的概率密度 f2(y)和 f3(y);(分数:5.50)_(2).以 Z 表示前 3 周中各周需求量的最大值,求 Z 的概率密度 fZ(z).(分数:5.50)_已知产品某项指标 X 的概率密度为(分数:11.00)(1).求 的矩估计值;(分数:5.50)_(2).求 的最大似然估计值.(分数:5.50)_考研数学一-175 答案解析(总分:150.
6、00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.方程 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 讨论方程根的个数解析 令 ,由于 f(x)在(-,+)为偶函数,只要讨论 f(x)在0,+)内零点情形,而当 x1时,f(x)0,因此讨论 f(x)在0,1的零点即可.,依闭区间连续函数零值定理,f(x)在(0,1)内至少有一实根,但 .即 f(x)在0,1严格单调增加,故 f(x)=0 在2.函数 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 二元函数的连续,偏导数存在,可微,方向导数存在的关系解析 ,故函数在(0,0)连续.不存在.同理 不存在.因此 f(x,y
7、)在点(0,0)也不可微. A,B,C 不正确.对任一方向 ,3.位于两圆 x2+y2=2y 与 x2+y2=4y 之间的质量分布均匀的薄板重心坐标是_A BC D (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 平面上均匀薄板重心的坐标解析 薄板占有的平面区域为D=(x,y)|2yx 2+y24y=(r,)|0,2sin r4sin .不妨设面密度 =1,则 .D 关于 x=0(y 轴)对称,故 ;于是 . 从而重心的坐标为4. 的值等于_A B C D (分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点 定积分的计算解析 令 .从而 2J=0,J=0. 于是. 选 A.注:也可以绘出 (x)在
8、 的图形,由 及定积分几何意义,易知5.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A *是它的伴随矩阵,则行列式 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点 分块矩阵的行列式解析 分块矩阵是 2n 阶矩阵,由 AA*=A*A=|A|E 知|A|A *|=|A|n.于是6.A 为 n 阶矩阵,A T是 A 的转置矩阵,则_A 是 AT的特征值,则 必是 A 的特征值B 是 AT的特征值,则 必不是 A 的特征值C 是 AT的特征向量,则 必是 A 的特征向量D 是 AT的特征向量,则 必不是 A 的特征向量(分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点 n 阶矩阵与其转置矩阵特征值、特征向量的关系解析 A
9、 正确. |E-A T|=|(E-A) T|=|E-A|. 表明 AT与 A 有相同的特征多项式,故有相同的特征值,由此即知 B 不正确.C 不正确. 反例:取 ,此时有 ,即 是 AT属于特征值 =1 的特征向量. 但是,7.A,B 为二随机事件,且 P(C|AB)=1,则下列结论正确的是_AP(C)P(A)+P(B)-1 BP(C)P(A)+P(B)-1CP(C)=P(AB) DP(C)=P(AB)(分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 随机事件的概率解析 由8.设 X1,X 2,X 10是取自正态总体 N(2, 2)的样本,记 ,S= ,已知 ,则 P(S)的值为_A B C D
10、 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 正态总体样本均值,样本方差相关的抽样分布解析 来自正态总体 N(, 2)的样本,样本均值 与样本方差 S2相互独立,因此有而 ,故 .由此可得二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 含有变上限积分定义函数的极限解析 于是10.函数 在点 (a0,b0)处沿曲线 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 求方向导数解析 令 ,则 (x,y)=0 在点 处的法向量为单位内法向量为 .从而11.设 x+z=yf(x2-z2). 则 (分数:4.00)填空项 1:
11、_ (正确答案:x)解析:考点 复合函数,隐函数的偏导数解析 在方程 x+z=yf(x2-z2)两边取微分,得 dx+dz=fdy+yf(2xdx-2zdz),即(2yzf+1)dz=(2xyf-1)dx+fdy.从而 ,则 .于是12.将累次积分 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 三重积分的累次积分交换次序解析 被积函数含 z,最后对 z 积分为好,先换 y,z 次序.则再交换 z,x 次序: . 因此有13.设 A,B,AB-E 都是 n 阶可逆矩阵,则(A-B -1)-1-A-1-1等于_.(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:(AB-E)A)解析:考
12、点 抽象可逆矩阵求逆矩阵解析 |A-B -1|=|ABB-1-B-1=|(AB-E)B-1|=|AB-E|B-1|0.故 A-B-1可逆,而(A-B-1)-1-A-1=(A-B-1)-1-(A-B-1)-1(A-B-1)A-1=(A-B-1)-1E-(A-B-1)A-1.=(A-B-1)-1(E-E+B-1A-1)=AB(A-B-1)-1=(ABA-A)-1,从而(A-B -1)-1-A-1-1=ABA-A=(AB-E)A.14.设随机变量 X 关于随机变量 Y 的条件概率密度为而 Y 的概率密度为则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点 随机变量(X,Y)的联合概率密
13、度、条件概率密度及边缘密度解析 (X,Y)的联合概率密度为于是关于 X 的边缘概率密度为从而 .三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.试证:对任意实数 a1,有 (分数:9.00)_正确答案:(令 ,即 x2=t,2xdx=dt. 于是 ,在等式右端第二项中,令 ,则 . 于是代回式(*)中,注意定积分的值与积分变量字母无关,得)解析:考点 证明积分等式16.设求 (分数:10.00)_正确答案:(记 G=(x,y)|1x2,0yx. D1=GD=(x,y)|1x2, .则)解析:考点 计算二重积分17.求数项级数 (分数:10.00)_正确答案:(考察幂级数 ,收敛半径 r=+.
14、对任意实数 x(-,+)级数都收敛. 和函数记为s(x),有(|x|+). 由于 (|x|+).(|x|+).故 (|x|+).因此 (|x|+).取 x=,得 )解析:考点 求数项级数的和18.设平面图形 A 由 x2+y22x 与 yx 围成,求图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积.(分数:10.00)_正确答案:(以 y 为积分变量,则 A 的边界曲线为x2=y(0y1).所求体积为曲线 x1=x1(y)和 x2=x2(y)绕直线 x=2 所得旋转体体积之差,取 y,y+dy0,1,由微元法知)解析:考点 定积分应用19.设曲面 为:z=x 2+(y-1)2+1 被平面 :
15、2y+z=3 截下的有限部分,其法向量与 z 轴正向夹角为锐角,求曲面积分 (分数:11.00)_正确答案:(从 消 z,得 x2+y2=1.表明它是二曲面 与 交线向 xOy 平面投影的柱面方程.记 Dxy=(x,y)|x 2+y21.添上平面 被曲面 截下部分,记作 1,其法向量向下,由 与 1围成的立体为 ,依高斯公式有)解析:考点 计算关于坐标的曲面积分设 A 为 n 阶矩阵,r(A)=n-1,且代数余子式 A110.(分数:11.00)(1).求 AX=0 的通解;(分数:5.50)_正确答案:(由于 r(A)=n-1n,故 AX=0 必有非零解 X=(x1,x 2,x n)T0.
16、且它的基础解系含有 n-r(A)=n-(n-1)=1 个解向量. 将此非零解代入 AX=0,有当考查 n-1 元方程组:)解析:(2).求 A*X=0 的通解.(分数:5.50)_正确答案:(当 r(A)=n-1 时,r(A *)=1,于是即它的基础解系为)解析:考点 求齐次线性方程组的通解已知矩阵 (分数:11.00)(1).求坐标变换 X=CY,化二次型 f=XTAX 为标准形.(分数:5.50)_正确答案:(=(-6)( 2-4-12)=(-6) 2(+2)=0,得 A 的特征值为 1= 2=6, 3=-2.由 A 与对角矩阵相似知 A 属于 1= 2=6 的有两个线性无关的特征向量.即
17、(6E-A)X=0 的基础解系有 2 个解向量:3-r(6E-A)=2,故 r(6E-A)=1.得 a=0.此时二次型为令 ,即 ,亦即 ,则有)解析:(2).指出 XTAX=0 表示什么曲面.(分数:5.50)_正确答案:(X TAX=0 即 )解析:考点 求坐标变换,化二次型为标准形设某种商品一周的需求量 X 是一随机变量,其概率密度为(分数:11.00)(1).以 Yk表示前 k 周的需求量(k=1,2,3),求 Y2和 Y3的概率密度 f2(y)和 f3(y);(分数:5.50)_正确答案:(以 Xi(i=1,2,3)表示第 i 周需求量,则 Xi(1i3)相互独立,同分布,均以 f(
18、x)为概率密度.Y2=X1+X2;Y 3=X1+X2+X3=Y2+X3.当 y0 时,显然 f2(y)=0. 当 y0 时,由卷积公式即同理,当 y0 时,f 3(y)=0. 当 y0 时,由卷积公式即 )解析:(2).以 Z 表示前 3 周中各周需求量的最大值,求 Z 的概率密度 fZ(z).(分数:5.50)_正确答案:(Z=max(X 1,X 2,X 3),对任意实数 z,有FZ(z)=P(Zz)=P(max(X 1,X 2,X 3)z)=P(X1z,X 2z,X 3z)=P(X1z)P(X 2z)P(X 3z)=F X(z)3.当 z0 时,F X(z)=0.当 z0 时, ,即 从而
19、)解析:考点 求独立随机变量函数的概率密度已知产品某项指标 X 的概率密度为(分数:11.00)(1).求 的矩估计值;(分数:5.50)_正确答案:(X 的一阶中心矩为而样本均值为 .令 )解析:(2).求 的最大似然估计值.(分数:5.50)_正确答案:(基于 x1=1026,x 2=966,x 3=1011 的似然函数为欲求 lnL()的最大值点,即求 的最小值点.记 ,当 966 时,l=(1026-)+(966-)+|1011-|=3(1001-)3(1001-966)=105.当 1026 时,l=(-1026)+(-966)+(-1011)=3(-1001)3(1026-1001)=75.当 9661026 时,l=(1026-)+(-966)+(1011-)=60+|1011-|60.(等号在 =1011 时成立).即 =1011 时,l 取最小值,lnL()取最大值. 从而 )解析:考点 求矩估计值和最大似然估计值