1、考研数学一-174 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.在(-，+)上以下函数是初等函数的是_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.2.幂级数 的收敛半径为 2，则幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)满足 f(x)+(f(x) 2=x 且 f(0)=0 则_Af(0)是 f(x)的极大值Bf(0)是 f(x)的极小值Cf(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点Df(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C.D.4.
2、曲线积分 （分数：4.00）A.B.C.D.5.A 为 n 阶矩阵，且 A3=0，则_AA 不可逆，E-A 也不可逆 BA 可逆，E+A 不可逆CA 2-A+E 与 A2+A+E 都可逆 DA 不可逆且 A2=O（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 1， 2， 3， 4是齐次方程组 AX=0 的基础解系，则基础解系还可以是_A 1- 2， 2- 3， 3- 4 B 1+ 2，+ 3， 3+ 4， 4+ 1C 1- 2， 2+ 3， 3- 4， 4+ 1 D 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 与 Y 独立同分布，记 =X-Y，
3、=X+Y. 则随机变量 和 _A不独立 B独立C相关系数 0 D相关系数 =0（分数：4.00）A.B.C.D.8.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 由曲面：z=x 2+y2(0z2)与平面 z=2 围成，f(z)是连续函数，三重积分 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 0，0 为常数，且 （分数：4.00）填空项 1:_12.曲线的极坐标方程为 r=3-2sin，求出 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为 3 阶正交矩阵，|A|0，B 是三
4、阶对称矩阵，已知|A+3B|=16，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 的概率密度为 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.试用 f(x)=x2(x-，)上的傅里叶级数展开式，求 和 （分数：10.00）_设 f(x)在a，b连续，且 f(x)0(xa，b). 令 （分数：9.00）(1).F(x)2(x(a，b).（分数：4.50）_(2).F(x)=0 在(a，b)有且只有一个实根.（分数：4.50）_16.设长 6 米的链条自桌面上无摩擦地向下滑动，假设在运动起始时，链条自桌上垂下部分已有其一半长，问需要多少时间链条才
5、全部滑过桌面.（分数：10.00）_17.已知椭球面 （分数：10.00）_18.试确定函数 g(x). 使得（分数：11.00）_19.设非齐次线性方程组（分数：11.00）_20.设 A，B 都是实对称矩阵，且 A 为正定矩阵，试证：一定存在满秩矩阵 C，使 CTAC，C TBC 都是对角矩阵.（分数：11.00）_设 XB(1，9)，YE()，且 X，Y 相互独立.（分数：11.00）(1).证明 Z=X+Y 是连续型随机变量，并求其概率密度.（分数：5.50）_(2).证明 Z=XY 一定不是连续型随机变量，没有概率密度.（分数：5.50）_（分数：11.00）(1).设x n是独立同
6、分布的随机变量序列且 xn的分布律为P(Xn=2i-2ln i)=2-i(i=1，2，).问x n是否服从大数定律？为什么？（分数：5.50）_(2).设 X1，X 2，X n是独立同分布的随机变量，已知它们的 k 阶原点矩*(k=1，2，3，4；i=1，2，n).试证：随机变量*近似服从正态分布，指出分布参数.（分数：5.50）_考研数学一-174 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.在(-，+)上以下函数是初等函数的是_A BC D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 初等函数概念解析 A 中 f(x)虽然以分段函数
7、形式表示，但由于 故 f(x)= . 即 f(x)是初等函数.B，C 中 f(x)为分段函数，不是初等函数.D 中 是 e-x2的一个原函数，可是2.幂级数 的收敛半径为 2，则幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 幂级数的收敛区间解析 在收敛区间(-2，2)内的和函数记为 s(x)，即在收敛区间内逐项求导之后，再乘以 x2，有由-2x-12 解得-1x3，即3.设 f(x)满足 f(x)+(f(x) 2=x 且 f(0)=0 则_Af(0)是 f(x)的极大值Bf(0)是 f(x)的极小值Cf(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点Df(0)不是
8、 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 导数的应用解析 由于 f(0)=0，将 x=0 代入已知方程得 f(0)=0.故从 f(x)=x-f(x) 2知 f(x)是连续函数，且有4.曲线积分 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 关于弧长的曲线积分解析 c 的极坐标方程为 r=-2sin(2).r()=-2cos，则故5.A 为 n 阶矩阵，且 A3=0，则_AA 不可逆，E-A 也不可逆 BA 可逆，E+A 不可逆CA 2-A+E 与 A2+A+E 都可逆 DA 不可逆且 A2=O（分数：4.00）A.B.C.
9、D.解析：考点 矩阵的逆矩阵解析 对 A3=O 取行列式：|A| 3=0，得|A|=0，故 A 不可逆. 在 A3=O 两边加 E3，得 A3+E3=E3，即(A+E)(A 2-A+E)=E. 故 A+E，A 2-A+E 均可逆.在 A3=O 两边加-E 3，得 A3-E3=-E3，即(A-E)(A 2+A+E)=-E，故 E-A，A 2+A+E 也都可逆. A，B 不正确，C 正确.D 不正确. 反例：6.已知 1， 2， 3， 4是齐次方程组 AX=0 的基础解系，则基础解系还可以是_A 1- 2， 2- 3， 3- 4 B 1+ 2，+ 3， 3+ 4， 4+ 1C 1- 2， 2+ 3
10、， 3- 4， 4+ 1 D 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 齐次线性方程组的基础解系解析 A 不正确，其中只有 3 个解向量，与由 4 个解向量组成不符，注意：到( 1+ 2)-( 2+ 3)+( 3+ 4)-( 4+ 1)=0，( 1- 2)+( 2+ 3)-( 3- 4)-( 4+ 1)=0，从而 B，C 中解向量组都线性相关.D 正确，它是 4 个线性无关的解向量组成. 选 D.7.设随机变量 X 与 Y 独立同分布，记 =X-Y，=X+Y. 则随机变量 和 _A不独立 B独立C相关系数 0 D相关系数 =0（分数：4.00）
11、A.B.C.D. 解析：考点 随机变量的独立与相关解析 cov(，)=E()-E()E(). 注意到E()=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0.故 cov(，)=E()=E(X-Y)(X+Y)=E(X 2)-E(Y2)=0. 从而8.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二维正态分布协方差矩阵的正定性解析 ，则 10， 20，|1. 今知-10. X，Y 的协方差矩阵为其顺序主子式： ，二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 复合函数求导，对数求导法解析 ，两边取对数
12、得 ；两边对 x 求导得整理得 ，故10.设 由曲面：z=x 2+y2(0z2)与平面 z=2 围成，f(z)是连续函数，三重积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 将三重积分化为定积分解析 过 z(0，2)作平行于 xOy 的平面，截得 的平面区域记为 D(z)，用柱坐标计算，有11.设 0，0 为常数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 求极限中的参数解析 记由于 ，从而于是 =2，12.曲线的极坐标方程为 r=3-2sin，求出 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 曲线的法线方程解析 曲线以极角 为参数的
13、参数方程为当 时，曲线切线的切点坐标为所求曲线的法线为 ，即13.设 A 为 3 阶正交矩阵，|A|0，B 是三阶对称矩阵，已知|A+3B|=16，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 抽象行列式的值解析 A 满足 AAT=E，A T=A，B 满足 BT=B，于是|A| 2=1，但|A|0，故|A|=1. 又|A+3B|=16，于是14.设随机变量 X 的概率密度为 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：考点 随机变量函数的数学期望解析 故 .，于是 .从而三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.试用 f(x)=x2(x-，)上的傅里
14、叶级数展开式，求 和 （分数：10.00）_正确答案：(f(x)=x 2在-，上连续，将其延拓成以 2 为周期的周期函数，则其在全直线连续，且f(-x)=f(x). 于是bn=0(n=1，2，).，故 .于是从 f(x)在-，连续，有取 x=，得 ，即 ，从而 .取 x=0，得 ，从而 )解析：考点 函数的傅里叶级数展开式设 f(x)在a，b连续，且 f(x)0(xa，b). 令 （分数：9.00）(1).F(x)2(x(a，b).（分数：4.50）_正确答案：()解析：(2).F(x)=0 在(a，b)有且只有一个实根.（分数：4.50）_正确答案：(知 F(x)在a，b严格单调增加，又因为
15、)解析：考点 讨论函数方程根的个数16.设长 6 米的链条自桌面上无摩擦地向下滑动，假设在运动起始时，链条自桌上垂下部分已有其一半长，问需要多少时间链条才全部滑过桌面.（分数：10.00）_正确答案：(设在时刻 t 链条下垂 s(t)米，链条线密度为 ，依牛顿第二定律有解方程得 ，代入初始条件，得即 .于是故当 s=6 时， )解析：考点 微分方程应用题17.已知椭球面 （分数：10.00）_正确答案：(椭球面方程写为 . 设(x o，y o，z 0)是位于第一卦限曲面上任一点，则x00，y 00，z 00，过该点切平面的法向量为从而切平面方程为注意到 ，故切平面方程可写为 . 它在三坐标轴的
16、截距分别为 ，切平面与三坐标平面围成的四面体体积为 ，今欲求 V 在限制条件 下的最小值. 考虑拉格朗日函数：令解得 ，实际问题最小值存在. 此点即最小点.此时的切平面为 ，相应的四面体的体积是 )解析：考点 多元函数几何应用与条件极值18.试确定函数 g(x). 使得（分数：11.00）_正确答案：(依题设有即比较等式两端(视为关于 y 的一次多项式)有g(x)+9g(x)+2x 2-5x+1=0 由式得 g(x)=c12+c2x+c3，故将 g(x)=2c 1x+c2，g(x)=2c 1代入式，可得(9c1+2)x2+(9c2-5)x+(2c1+9c3+1)=0，即 ，故 ，亦即且 )解析
17、：考点 曲线积分与路径无关19.设非齐次线性方程组（分数：11.00）_正确答案：(对方程组的增广矩阵进行初等行变换化为阶梯形，有由方程组有无穷多解知 . 故 a=0 或 a=-1.当 a=-1 时，矩阵 A 属于 1，-1，0 的三个不同特征值的特征向量分别为(1，-2，-1) T，(-1，2，1) T，(-3，-1，0) T，线性相关，与它们应线性无关矛盾. 应舍之，当 a=0 时，矩阵 A 属于 1，-1，0 的特征向量分别为(1，0，-1) T，(0，3，2) T，(-2，-1，1) T. 它们是线性无关的，符合题意.令 ，则即故 A=PP -1)解析：考点 特征值，特征向量的逆问题2
18、0.设 A，B 都是实对称矩阵，且 A 为正定矩阵，试证：一定存在满秩矩阵 C，使 CTAC，C TBC 都是对角矩阵.（分数：11.00）_正确答案：(由于 A 为正定矩阵，其规范形为 E，即存在满秩矩阵 C1. 使 .B 也是实对称矩阵. 于是从 ，表明 仍为实对称矩阵. 从而存在正交矩阵 C2，使( i(i=1，2，n)是 的特征值).于是 (已知 C2为正交矩阵). 令 C=C1C2，则|C|=|C 1|C2|0，即 C 为满秩矩阵. )解析：考点 实对称矩阵化为对角矩阵设 XB(1，9)，YE()，且 X，Y 相互独立.（分数：11.00）(1).证明 Z=X+Y 是连续型随机变量，
19、并求其概率密度.（分数：5.50）_正确答案：(X 0 1P 1-p p(0p1).对任意实数 z，Z 的分布函数为FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz)=P(“X+Yz”)=P(“X+Yz”“X=0”“X=1”)=P(X+Yz，X=0)+P(X+Yz，X=1)=P(Yz，X=0)+P(Yz-1，X=1)=P(Yz)P(X=0)+P(Yz-1)P(X=1)=(1-p)FY(z)+pFY(z-1).由 Y 为连续型随机变量知 Z=X+Y 也是连续型随机变量，且其概率密度为)解析：(2).证明 Z=XY 一定不是连续型随机变量，没有概率密度.（分数：5.50）_正确答案：(Z=XY，注意到 )解析
20、：考点 随机变量函数的分布（分数：11.00）(1).设x n是独立同分布的随机变量序列且 xn的分布律为P(Xn=2i-2ln i)=2-i(i=1，2，).问x n是否服从大数定律？为什么？（分数：5.50）_正确答案：(因为 ，由于 4ln i=eln iln 4=iln 4(i=1，2，)，即有 (由正项级数的 p 级数审敛法知其收敛).于是x n独立，同分布具有相同的数学期望为 E(xn)=(n=1，2，). 依辛钦大数定律有：对任给0，)解析：(2).设 X1，X 2，X n是独立同分布的随机变量，已知它们的 k 阶原点矩*(k=1，2，3，4；i=1，2，n).试证：随机变量*近似服从正态分布，指出分布参数.（分数：5.50）_正确答案：(由 X1，X 2，X n独立同分布知 也独立同分布，且由独立同分布中心极限定理知， 近似服从正态分布，从而 也近似服从正态分布 N(， 2)，其中亦即近似地有 )解析：考点 大数定律与中心极限定理
