1、考研数学一-173 及答案解析(总分：151.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列命题中正确的是_A设正项级数 发散，则B设级数 收敛，则级数 收敛C设 至少有一个发散，则 发散D设 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2. （分数：4.00）A.B.C.D.3.f(x)=(x2+x-6)|x3-4x|的不可导点个数为_A0 B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x，y)在点(x 0，y 0)的邻域内存在偏导数 ，且偏导数在点(x 0，y 0)不连续，则下列结论正确的是_Af(x，y)在(y 0，y 0)可微，且Bf(x
2、，y)在(x 0，y 0)不可微Cf(x，y)在(x 0，y 0)沿任何方向的方向导数存在D曲线 在点(x 0，y 0，z 0)处切线的方向向量为 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 n 维列向量组： 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组 1， 2， m线性无关的充分必要条件是_A向量组 1， 2， m可由向量组 1， 2， m线性表示B向量组 1， 2， m可由向量组 1， 2， m线性表示C向量组 1， 2， m与向量组 1， 2， m等价D矩阵 A=( 1， 2， m)与矩阵 B=( 1， 2， m)等价（分数：4.00）A.B.C.D.6. ，A ij为元素 aij
3、的代数余子式，则 （分数：4.00）A.B.C.D.7.二维随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均均分布，D 由 y=1-x2和 x 轴围成，则_A(X，Y)关于 X，关于 Y 的边缘分布相同B （分数：4.00）A.B.C.D.8.随机变量 X 的分布函数 F(x)在 x=1 处连续，且 F(1)=1. 而随机变量 Y 为（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(u)有连续的二阶导数，且 z=f(exsin y)满足 （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线积分中曲线 c 是圆 自点(1，0，0)至点 的一段弧，则 （分数：4.00）填空项 1
4、:_11.流速场 在单位时间内沿球面的 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)连续，且 ，已知 f(1)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A，B 都是 3 阶矩阵，将 A 第一行的-2 倍加到第 3 行上得到矩阵 A1，将矩阵 B 的第 1 列乘以-2 得到矩阵 B1. 已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X 是连续型随机变量，Y 是离散型随机变量. 其分布律为 P(Y=yi)=pi(i=1，2，n，). X 与 Y相互独立，则对于任意实数 c，P(X=Y+c)=_.（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.设热水
5、瓶内热水温度为 T，室内温度为 T0，t 为时间(单位：小时). 由牛顿冷却定律知：热水温度下降速率与 T-T0成正比，当日室温 T0=22，当 t=0 时 T=100. 并知 24 小时后水瓶内温度为 60，问几小时后，瓶内水温为 92.(已知 ln 39=3.6636，ln 35=3.5554，ln 19=2.9445)（分数：10.00）_16.设方程 x3-3x+q=0 有三个实根，求 q 的取值范围.（分数：9.00）_17.设 f(x)在a，b有连续的一阶导数，试证：（分数：10.00）_18.设 f(x，y)在单位圆 x2+y21 上有连续的偏导数，且在边界上取值为 0，f(0，
6、0)=2012，求极限（分数：10.00）_（分数：12.00）(1).求幂级数*的收敛半径、收敛域及和函数；（分数：6.00）_(2).求数项级数*的和.（分数：6.00）_19.已知 1=(1，2，0，-2) T， 2=(-1，4，2，a) T， 3=(3，3，-1，-6) T与 1=(1，5，1，-a)T， 2=(1，8，2，-2) T， 3=(-5，2，m，10) T是齐次方程组 AX=0 的两个基础解系. 求 a，m 的值.（分数：11.00）_矩阵 （分数：11.00）(1).求对角矩阵 ，使 B；（分数：5.50）_(2).问 k 为何值时，B 为正定矩阵.（分数：5.50）_2
7、0.某公司计划开发一种新产品，并试图确定该产品的产量，他们计划出售一件产品可获收入 100 元，而积压一件产品导致损失 20 元. 同时预测销售量 Y 服从指数公布，概率密度为（分数：11.00）_21.某药厂称其研制的镇痛药比旧镇痛药疗效更好，即在相同剂量下新药镇痛时间比旧药镇痛时间延长多于 3 小时. 今从服新、旧药患者中各抽取 7 人，测得平均镇痛时间为 24.2 小时与 20.0 小时，而镇痛时间标准差分别为 2.3 小时，1.6 小时，假定新、旧镇痛药镇痛时间都服从正态发布，且方差相等，从抽查结果看，能否认为新药达到公布的疗效，检验水平 =0.05.(t0.10(12)=0.6955
8、，t 0.05(12)=1.7823，t 0.025(12)=2.1788.)（分数：11.00）_考研数学一-173 答案解析(总分：151.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列命题中正确的是_A设正项级数 发散，则B设级数 收敛，则级数 收敛C设 至少有一个发散，则 发散D设 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 数项级数的收敛与发散解析 A 不正确. 令 当 n1 时， ，则由 ，依正项级数比较法极限形式知 发散.B 不正确，反例： 发散. 但=(-1)n-1(1-1)+(1+1)+(1-1)+是收敛的.C 正确，反证：设不然
9、， 收敛，则由|a n|a n|+|bn|；|b n|a n|+|bn|知 都绝对收敛，与已知其中至少有一个发散矛盾.D 不正确，反例 ，则 收敛，而 发散，故选 C.2. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 求极限中的参数解析 由 知 .故 ，于是 .故 b=1，而 .于是 ，故 a=4. 即有3.f(x)=(x2+x-6)|x3-4x|的不可导点个数为_A0 B1 C2 D3（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 一元函数的不可导点解析 记 g(x)=x2+x-6=(x+3)(x-2)；(x)=(x 3=4x)=x(x+2)(x-2).|(x)|的不可导点 x=x0满足
10、 今知 (0)=(-2)=(2)=0，(x) . 即 x1=0，x 2=-2，x 3=2均为|(x)|的不可导点.f(x)的不可导，点 x=a 满足4.设 f(x，y)在点(x 0，y 0)的邻域内存在偏导数 ，且偏导数在点(x 0，y 0)不连续，则下列结论正确的是_Af(x，y)在(y 0，y 0)可微，且Bf(x，y)在(x 0，y 0)不可微Cf(x，y)在(x 0，y 0)沿任何方向的方向导数存在D曲线 在点(x 0，y 0，z 0)处切线的方向向量为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 二元函数在一点的偏导数，可微，方向导数与曲线的切向量解析 A 不正确. 反例：在(0
11、，0)处的偏导数 ，但 f(x，y)在(0，0)不可微.B 不正确，反例：在(0，0)邻域有偏导数，且它们在点(0，0)不连续，但 f(x，y)在点(0，0)可微.C 不正确. 偏导数存在不足以保证沿任何方向的方向导数存在，函数在一点可微才是保证沿任何方向的方向导数存在的充分条件.D 正确. 曲线 的参数方程为 ，故在(x 0，y 0，z 0)处切线方向向量为5.设 n 维列向量组： 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组 1， 2， m线性无关的充分必要条件是_A向量组 1， 2， m可由向量组 1， 2， m线性表示B向量组 1， 2， m可由向量组 1， 2， m线性表示C向
12、量组 1， 2， m与向量组 1， 2， m等价D矩阵 A=( 1， 2， m)与矩阵 B=( 1， 2， m)等价（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 向量组线性无关，向量组等价，矩阵等价解析 A 不正确，只是向量组 1， 2， m线性无关的充分条件，不必要.反例：如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T； 1=(0，1，0) T， 2=(0，0，1) T；则 1， 2线性无关， 1， 2也线性无关，但 1， 2不能由 1， 2线性表示.B 不正确. 反例：如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T； 1=(2，0，0) T， 2=(3，0，0) T，则 1，
13、 2可由 1， 2线性表示，但 1， 2线性相关. C 不正确，反例如 A.D 正确，矩阵 A，B 等价指存在可逆矩阵 Pn，Q m，使 PnAnmQm=Bnm. 充分性：若 AB，且 r(A)=m，则由PAQ=B 知 r(B)=r(A)=m，即向量组 1， 2， m线性无关，必要性：r(A)=r(B)=m，则 ，且6. ，A ij为元素 aij的代数余子式，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 行列式代数余子式之和解析 ，且 .由于|A|=(-1) (n12(n-1) (-1)n=(-1)n-1(-1)n=(-1)2n-1=-1.即 ，故 .于是7.二维随机变量(X，Y)服从区
14、域 D 上的均均分布，D 由 y=1-x2和 x 轴围成，则_A(X，Y)关于 X，关于 Y 的边缘分布相同B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 随机变量的独立性解析 区域 D 的面积为 A，则(X，Y)的概率密度为故 fX(x)f Y(y).而8.随机变量 X 的分布函数 F(x)在 x=1 处连续，且 F(1)=1. 而随机变量 Y 为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 随机变量函数的数学期望解析 由于 F(x)在 x=1 连续. 所以P(X=1)=F(1)-F(1-0)=0；P(X1)=1-P(X1)=1-F(1)=1-1=0；P(X1)=1-P(x1)=1-P
15、(X1)+P(X=1)=1-0=1.故 E(Y)=aP(X1)+bP(X=1)+cP(X1)=a0+b0+c1=c. 应选 A.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(u)有连续的二阶导数，且 z=f(exsin y)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：c 1eu+c2e-u(c1，c 2为任意常数)）解析：考点 二阶偏导数与微分方程综合解析 记 u=exsin y，则故 . 将其代入10.曲线积分中曲线 c 是圆 自点(1，0，0)至点 的一段弧，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 计算曲线积分解析 以 z 为参数，则 c 的参数方
16、程为于是有11.流速场 在单位时间内沿球面的 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 场论中的流通量解析 外 = 1 上 2 下 . 其中 1 上 ， 2 下 的方程分别为其中 Dxy=(x，y)|x 2+y21，x0，y0，于是12.设 f(x)连续，且 ，已知 f(1)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 变上限积分求导及求定积分的值解析 令 u=2x-t，则 t=2x-u，dt=-du，有 .已知条件可写成两边对 x 求导，得即令 x=1. 注意到 f(1)=1，得 ，从而13.设 A，B 都是 3 阶矩阵，将 A 第一行的-2 倍
17、加到第 3 行上得到矩阵 A1，将矩阵 B 的第 1 列乘以-2 得到矩阵 B1. 已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 矩阵的初等变换及运算解析 记初等矩阵 ，则 A1=P1A，B 1=BP2.由于初等矩阵可逆，且 . 故14.设 X 是连续型随机变量，Y 是离散型随机变量. 其分布律为 P(Y=yi)=pi(i=1，2，n，). X 与 Y相互独立，则对于任意实数 c，P(X=Y+c)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点 相互独立的连续型与离散型随机变量的有关性质解析 注意到 且 . 从而P(X=Y+c)=P(“X=Y+c”)三、
18、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T0，t 为时间(单位：小时). 由牛顿冷却定律知：热水温度下降速率与 T-T0成正比，当日室温 T0=22，当 t=0 时 T=100. 并知 24 小时后水瓶内温度为 60，问几小时后，瓶内水温为 92.(已知 ln 39=3.6636，ln 35=3.5554，ln 19=2.9445)（分数：10.00）_正确答案：(水温的变化速率为 设 k0 为比例常数，则有方程通解为 T=T0+ce-kt，代入 T0=22，T(0)=100，T(24)=60 则有 ，得 c=78， 于是若 T=92，则 )解析：考点
19、 微分方程应用题16.设方程 x3-3x+q=0 有三个实根，求 q 的取值范围.（分数：9.00）_正确答案：(令 f(x)=x3-3x+q(x(-，+)，f(x)=6x，f(1)=6，故 f(-1)=2+q 为极大值，f(1)=-2+q 为极小值. 且 f(x)在(-，-1)单调增加，在(-1，1)单调减少，在(1，+)单调增加， .)解析：考点 导数应用17.设 f(x)在a，b有连续的一阶导数，试证：（分数：10.00）_正确答案：(由于 f(x)在a，b连续，依积分中值定理，存在 a，b，使 ，于是对任意的xa，b，有从而|f(x)|=|f(x)-f()+f()|f(x)-f()|+
20、|f()|故 )解析：考点 积分不等式的证明18.设 f(x，y)在单位圆 x2+y21 上有连续的偏导数，且在边界上取值为 0，f(0，0)=2012，求极限（分数：10.00）_正确答案：(用极坐标变换 ，则 f(x，y)=f(rcos ，rsin )，且 ，故 ，于是有由于 f(x，y)在圆周上取值为 0，即 f(cos ，sin )=0，从而再依积分中值定理有所以)解析：考点 与二重积分相关的求极限（分数：12.00）(1).求幂级数*的收敛半径、收敛域及和函数；（分数：6.00）_正确答案：( . 故收敛半径x=1 时，易知 发散；x=-1 时， ，易知其收敛.从而收敛域为-1，1)
21、.由于 ，故注意到 . 逐项积分得 .于是有 (-1x1)，(-1x1).从而和函数为 )解析：(2).求数项级数*的和.（分数：6.00）_正确答案：(令 x=-1. )解析：考点 求幂级数的和函数及有关项级数的和19.已知 1=(1，2，0，-2) T， 2=(-1，4，2，a) T， 3=(3，3，-1，-6) T与 1=(1，5，1，-a)T， 2=(1，8，2，-2) T， 3=(-5，2，m，10) T是齐次方程组 AX=0 的两个基础解系. 求 a，m 的值.（分数：11.00）_正确答案：(由于 1， 2， 3； 1， 2， 3都是 AX=0 的基础解系，故 1， 2， 3线性
22、无关； 1， 2， 3也线性无关. 由于二者等价，因此可以相互线性表示.)解析：考点 由齐次方程组基础解系等价，确定其中参数矩阵 （分数：11.00）(1).求对角矩阵 ，使 B；（分数：5.50）_正确答案：(A T=A，且 .A 的特征值为 1=0， 2= 3=2，于是存在正交矩阵 P，使BT=(kE+A)2T=(kE+A)T(kE+A)T=(kE+AT)2=(kE+A)2=B，即 B 也是实对称矩阵. 且B=P(kE)PT+P 1PT2=P(kE+ 1)PTP(kE+ 1)PT=P(kE+ 1)2PT.故 )解析：(2).问 k 为何值时，B 为正定矩阵.（分数：5.50）_正确答案：(
23、B 的特征值为 k2，(k+2) 2，(k+2) 2，当 )解析：考点 矩阵相似对角化，正定矩阵20.某公司计划开发一种新产品，并试图确定该产品的产量，他们计划出售一件产品可获收入 100 元，而积压一件产品导致损失 20 元. 同时预测销售量 Y 服从指数公布，概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(设生产 x 件产品获利为 L=L(Y，x). 即于是令 )解析：考点 随机变量函数的数学期望的应用21.某药厂称其研制的镇痛药比旧镇痛药疗效更好，即在相同剂量下新药镇痛时间比旧药镇痛时间延长多于 3 小时. 今从服新、旧药患者中各抽取 7 人，测得平均镇痛时间为 24.2 小时与 20.0
24、小时，而镇痛时间标准差分别为 2.3 小时，1.6 小时，假定新、旧镇痛药镇痛时间都服从正态发布，且方差相等，从抽查结果看，能否认为新药达到公布的疗效，检验水平 =0.05.(t0.10(12)=0.6955，t 0.05(12)=1.7823，t 0.025(12)=2.1788.)（分数：11.00）_正确答案：(设新、旧药镇痛时间分别为 X，Y，则 X，Y 相互独立且 XN( 1， 2)，YN( 2， 2). 进行检验假设：H0： 1- 23，H 1： 1- 23.检验统计量为 ，其中 ，Ho 的拒绝域为 Tt (n1+n2-2). 将 ，=0.05 代入，得 ，Sw=1.9786.)解析：考点 两个正态总体，方差相等时，均值差的单侧假设检验
