1、考研数学一-170 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 un0(n=1，2，)且 . 则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 y=Cxe-x(C 是任意常数)，它是微分方程 y+2y+y=0 的_A通解 B特解C不是方程的解 D是不含上述三个选项的情况（分数：4.00）A.B.C.D.3.点 P1(4，3，10)关于直线 （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列命题中不正确的是_A设 f(u)连续，则曲线积分 在全平面与路径无关B曲线积分 在全平面与路径无关C设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有一阶连续的
2、偏导数，且 D)，则曲线积分 在区域 D 内与路径无关D曲线积分 （分数：4.00）A.B.C.D.5.对 n 元线性方程组，下列命题中正确的是_A若 r(A)=n，则线性方程组 AX=b 有唯一解B若 AX=0 只有零解，则非齐次方程组 AX=b 有唯一解C若 AX=0 有两个不同的解，则非齐次方程组 AX=b 有无穷多解D若 AX=b 有两个不同的解，则非齐次方程组 AX=b 有无穷多解（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关且 A3=3A-2A 2，则矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量是_AA 2+2A-3 BA
3、 2+3ACA 2-A D（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X 为一随机变量，若 E(X2)=1.21，D(X)=0.21，E(X)0，则必有_AP-1X10.79 BP0X20.79CP|X+1|10.21 DP|X|10.21（分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 XN(0，1)，而 X1，X 2，X n(n3)是取自总体 X 的简单随机样本，则下面统计量分布中不正确的是_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)在(-，+)内有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数，将 x=x(y)满足的
4、微分方程： （分数：4.00）填空项 1:_10.定积分 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数，则极限 （分数：4.00）填空项 1:_12.区域 D：(x，y)|x 2+y21 且 x2+y2-2x0，则二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_13. （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)(0). 随机事件 A=(X)，B=(X)，C=(X+). 如果 P(A)=P(B)，则事件 D=(事件 A，B，C 至多有一个发生)的概率 P(D)=_.（分数：4.00
5、）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 ，且 （分数：9.00）(1).求 g(x)；（分数：4.50）_(2).求*（分数：4.50）_（分数：10.00）(1).若 f(x)在 x=a 可导，试证：|f(x)|在 x=a 不可导的充分必要条件为 f(a)=0 且 f(a)0；（分数：5.00）_(2).设 f(x)=g(x)(x)，其中 g(x)在 x=a 可导，(x)在 x=a 连续，但不可导.试证：f(x)在 x=a 可导的充分必要条件是 g(a)=0.（分数：5.00）_15.设 f(u)具有二阶连续导数，且 ，求 （分数：10.00）_16.求锥面 （分数：1
6、0.00）_17.利用 ，计算广义积分 （分数：11.00）_n 维列向量 1， 2， n-1线性无关，且与非零向量 1， 2都正交，试证：（分数：11.00）(1). 1， 2线性相关；（分数：5.50）_(2). 1， 2， n-1， 2线性无关.（分数：5.50）_设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都是 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T是齐次线性方程组AX=0 的解.（分数：11.01）(1).求 A 的特征值和特征向量；（分数：3.67）_(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 使 QTAQ=A；（分数：3.67）_(3).求矩阵 A.（分数：3.67
7、）_设鸟笼中有 3 只黄雀，5 只麻雀，每次开笼门放飞一只鸟，当 3 只黄雀都飞出后，停止放飞，以 X 表示停止放飞后，留在笼中的麻雀数.（分数：11.00）(1).写出 X 的分布律；（分数：5.50）_(2).求 P(XE(X).（分数：5.50）_设总体 X 的概率密度为其中 0 为未知参数，X i(i=1，2，n)是来自总体 X 的简单随机样本，（分数：11.01）(1).求 的最大似然估计量*；（分数：3.67）_(2).讨论*的无偏性；（分数：3.67）_(3).讨论*的相合性.（分数：3.67）_考研数学一-170 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(
8、总题数：8，分数：32.00)1.设 un0(n=1，2，)且 . 则级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 数项级数敛散性判定解析 由 un0 及 与极 5 艮保号性知，nN 时，u n0，且 ，知 .于是 . 由正项级数比较判别法极限形式知，级数 发散. 即原级数绝对发散，设原级数前 n 项和为 sn，则从而2.设 y=Cxe-x(C 是任意常数)，它是微分方程 y+2y+y=0 的_A通解 B特解C不是方程的解 D是不含上述三个选项的情况（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 二阶常系数线性微分方程的解解析 二阶常系数线性微分方程的通解应含有两个独立的任意常数，故
9、A 不正确；又特解中不含任意常数，故 B 不正确；方程的特征方程为 r2+2r+1=(r+1)2=0，得 r1=r2=-1. 它的线性无关的解为 e-x，xe -x. 因此 y=Cxe-x是方程的解. C 不正确，应该选 D.3.点 P1(4，3，10)关于直线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 空间解析几何解析 点 P2 在过 P1且垂直于 l 的平面 上，记仃与直线 l 交点为 P0，则 P0是 P1，P 2连线的中点，平面 的方程为2(x-4)+4(y-3)+5(z-10)=0.即 2x+4y+5z-70=0 (*)将 l 的参数方程 x=1+2t；y=2+4t；z=3+5
10、t 代入方程(*)，得 t=1. 于是有 P0=P0(3，6，8).设 P2=P2(x，y，z)，则4.下列命题中不正确的是_A设 f(u)连续，则曲线积分 在全平面与路径无关B曲线积分 在全平面与路径无关C设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有一阶连续的偏导数，且 D)，则曲线积分 在区域 D 内与路径无关D曲线积分 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 曲线积分与路径无关解析 A 正确. 虽然没有 f(u)可导的条件，但 f(x2+y2)(xdx+ydy)= 是二元函数的全微分，且在全平面连续，故命题正确.B 正确. ，且 P(x，y)=e xcosy，Q(x，y)=-e
11、 xsiny 在全平面连续，命题也正确.D 正确. 比如取 L 为单位圆 x2+y2=1 逆时针方向，则5.对 n 元线性方程组，下列命题中正确的是_A若 r(A)=n，则线性方程组 AX=b 有唯一解B若 AX=0 只有零解，则非齐次方程组 AX=b 有唯一解C若 AX=0 有两个不同的解，则非齐次方程组 AX=b 有无穷多解D若 AX=b 有两个不同的解，则非齐次方程组 AX=b 有无穷多解（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 线性齐次与非齐次方程的解解析 A 不正确，当 r(A)=n 时，不一定有 . 如 ，r(A)=23=r(A).B 不正确. Ax=0 只有零解表明 r(A
12、)=n. 与(A)相同，不一定有 .C 不正确. AX=0 有两个不同解，表明 r(A)n. 并无6.已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关且 A3=3A-2A 2，则矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量是_AA 2+2A-3 BA 2+3ACA 2-A D（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵的特征值与特征向量解析 由 A3+2A 2-3A=0 得(A-E)(A2+3A)=0=0(A 2+3A).由 ，A，A 2 线性无关，知 A2+3A0. 上式表明 A2+3A 是矩阵 A-E 属于特征值 =0 的特征向量. 因此 A2+3A 是矩阵 A
13、=(A-E)+E 属于特征值 =0+1=1 的特征向量. 选 B.7.设 X 为一随机变量，若 E(X2)=1.21，D(X)=0.21，E(X)0，则必有_AP-1X10.79 BP0X20.79CP|X+1|10.21 DP|X|10.21（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 随机变量的切比雪夫不等式解析 E(X) 2=E(X2)-D(X)=1.21-0.21=1. 又 E(X)0，故 E(X)=1. 依切比雪夫不等式，有8.设总体 XN(0，1)，而 X1，X 2，X n(n3)是取自总体 X 的简单随机样本，则下面统计量分布中不正确的是_A BC D （分数：4.00）A.B
14、.C. D.解析：考点 抽样分布解析 A 正确， .B 正确，U=X nN(0，1)， 且 U，V 相互独立. 于是C 不正确， . D 正确. 且 U，V 相互独立则二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)在(-，+)内有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数，将 x=x(y)满足的微分方程： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y-7y=cosx）解析：考点 反函数的二阶导数解析 .将二者代入原方程得10.定积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 含无理式定积分计算解析 由(x-a)(b-x)0 知 axb，令
15、x-a=(b-a)sin2t，则有 b-x=b-a+(b-a)sin2t=(b-a)cos2t，此时 dx=2(b-a)sin tcos tdt.于是11.设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数，则极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 隐函数求导，极限解析 由隐函数存在定理，由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数 y=y(x)在 x=1 的邻域内必可导. 对方程两边求导后，有：2yy+y+xy+2x-1=0. 故 .于是注意到 ，故12.区域 D：(x，y)|x 2+y21 且
16、x2+y2-2x0，则二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 二重积分的计算解析 D 关于 x 轴对称，而 x(y+1)=xy+x 在 D 上分别为关于 y 的连续奇函数，偶函数. 故 .记 D1为 D 在 x 轴上方的一半. 即. 则13. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 矩阵运算解析 记 . 则 ；A 2=(-1)，则 .可将 A 表示为分块对角矩阵： ，则 于是 ，从而 B2012=P-1A2012P=P-1EP=E. 由此可得14.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)(0). 随机事件 A=(X)，B=(X)，C=(X
17、+). 如果 P(A)=P(B)，则事件 D=(事件 A，B，C 至多有一个发生)的概率 P(D)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 随机事件的概率解析 已知 P(A)=P(B)，即 P(X)=P(X，故 ，得 . 故 -=0，亦即 =. 于是A=B，且 C=(X+)= . 由此，有 .D=(事件 A，B，C 至多有一个发生)= .从而 .三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 ，且 （分数：9.00）(1).求 g(x)；（分数：4.50）_正确答案：(. )解析：(2).求*（分数：4.50）_正确答案：()解析：考点 极限的计算（分数：10.00）(
18、1).若 f(x)在 x=a 可导，试证：|f(x)|在 x=a 不可导的充分必要条件为 f(a)=0 且 f(a)0；（分数：5.00）_正确答案：(f(a)=0，记 (x)=|f(x)|，则)解析：(2).设 f(x)=g(x)(x)，其中 g(x)在 x=a 可导，(x)在 x=a 连续，但不可导.试证：f(x)在 x=a 可导的充分必要条件是 g(a)=0.（分数：5.00）_正确答案：(充分性：已知 g(a)=0.故 f(x)在 x=a 可导.必要性：设 f(x)在 x=a 可导，则极限 存在，而由于已知 g(x)在 x=a 可导，(x)在 x=a 连续，上式 g(a)(a)+g(a
19、).，而已知 (x)在 x=a 不可导，因此极限 不存在，而要使极限 )解析：考点 函数在一点可导与不可导的充要条件15.设 f(u)具有二阶连续导数，且 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(在 两边取微分，得故于是式、相加得)解析：考点 多元函数的二阶偏导数16.求锥面 （分数：10.00）_正确答案：( 消去 z，得 x2+y2=2x.这就是锥面 被柱面 z2=2x 历割部分在 xOy 平面投影区域边界方程.Dxy=(x，y)|x 2+y22x，而 于是曲面面积微元为故锥面被截面积为)解析：考点 曲面面积的计算17.利用 ，计算广义积分 （分数：11.00）_正确答案：(令 . 即 ，
20、则 .注意到，当 0t+时，0e -t1，由 得由于幂级数可在收敛区间内逐项积分，从而有)解析：考点 幂级数与广义积分综合题n 维列向量 1， 2， n-1线性无关，且与非零向量 1， 2都正交，试证：（分数：11.00）(1). 1， 2线性相关；（分数：5.50）_正确答案：(用 1， 2， n-1，构造(n-1)n 矩阵： . 由于 )解析：(2). 1， 2， n-1， 2线性无关.（分数：5.50）_正确答案：(设 k1，k 2，k n-1，k 是一组数，使k1 1+k2 2+kn-1 n-1+k 2=0. (*)用 2对式(*)两边作内积，有k1( 2， 1)+k2( 2， 2)+
21、kn-1( 2, n-1)+k( 2， 2)=0.但( 2， i)=0(i=1，2，n-1)，及 ，得出 )解析：考点 向量组线性相关性设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和都是 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T是齐次线性方程组AX=0 的解.（分数：11.01）(1).求 A 的特征值和特征向量；（分数：3.67）_正确答案：(A 为 3 阶矩阵. A T=A，AO 故 r(A)1. AX=0 有两个线性无关的解 1， 2，一方面表明 3-r(A)2，于是 r(A)1，从而 r(A)=1，另一方面表明 1， 2是 A 属于特征值 =0 的特征向量. 即 1=
22、 2=0 是 A 的二重特征值. 又从)解析：(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 使 QTAQ=A；（分数：3.67）_正确答案：(令 ， . 再将 1， 2单位化：令 ，则为正交矩阵，使)解析：(3).求矩阵 A.（分数：3.67）_正确答案：( )解析：考点 将实对称矩阵用正交矩阵对角化设鸟笼中有 3 只黄雀，5 只麻雀，每次开笼门放飞一只鸟，当 3 只黄雀都飞出后，停止放飞，以 X 表示停止放飞后，留在笼中的麻雀数.（分数：11.00）(1).写出 X 的分布律；（分数：5.50）_正确答案：(X 可能取值为 0，1，2，3，4，5.设想鸟依次飞出后，及留下的鸟站成一排，以 8 个不同元
23、素(鸟)的一个全排列对应一个基本事件，则于是 X 的分布律为)解析：(2).求 P(XE(X).（分数：5.50）_正确答案：()解析：考点 离散型随机变量的分布律及随机事件的概率设总体 X 的概率密度为其中 0 为未知参数，X i(i=1，2，n)是来自总体 X 的简单随机样本，（分数：11.01）(1).求 的最大似然估计量*；（分数：3.67）_正确答案：(设 x1，x 2，x n是一组样本值. 样本的似然函数为令得 的最大似然估计量为 )解析：(2).讨论*的无偏性；（分数：3.67）_正确答案：(从而 )解析：(3).讨论*的相合性.（分数：3.67）_正确答案：(故 ，由切比雪夫不等式，对任意的 0，即有 ，故 )解析：考点 参数的最大似然估计及估计量的无偏性、相合性
