1、考研数学一-169 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 x0 时，e tan x-ex与 xn是同阶无穷小，则 n 为_A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 (x)是连续函数，满足 ，则 (x)等于_A0 Bx C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 为球面 x2+y2+z2=R2(R0)的上半球面的上侧，则_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为三阶矩阵， 1=(1，2，-2) T， 2=(2，1，-1) T， 3=(1，1
2、，t) T是非齐次线性方程组 AX=b 的解向量，其中 b=(1，3，-2) T，则_At=-1，必有 r(A)=1 Bt=-1，必有 r(A)=2Ct-1，必有 r(A)=1 Dt-1，必有 r(A)=2（分数：4.00）A.B.C.D.6.A 是 3 阶矩阵且 AX=0 有通解：k 1 1+k2 2(k1，k 2为任意常数)，又知 A 3= 3，P 是三阶可逆矩阵，使（分数：4.00）A.B.C.D.7.设连续型随机变量 X1，X 2相互独立，分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，概率密度分别为 f1(x)，f 2(x)，则随机变量 min(X1，X 2)的概率密度为_Af 1(x)f
3、2(x) Bf 1(x)+f2(x)Cf 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x) Df 1(x)(1-F2(x)+f2(x)(1-F1(x)（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X，Y 独立同分布且方差都大于 0，令 =X+aY，=X+bY，其中 ab0，则当 ， 不相关时，有_Aab=1 Bab=-1Ca=b Da，b 为任意非零常数（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 z=f(x，y)在点(1，1)可微，f(1，1)=1， . 令 g(x)=f(x，f(x，x)，则 （分数：4.00）填空
4、项 1:_11.将极坐标系下的二次积分 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程： 满足初始条件 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知矩阵 A 与 B 相似，而 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY=，而 Z=aX+6(a，b 为常数)，则使 YZ= 的充分必要条件是_.（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明方程 ex=-x2+3x+4 的实根至少有一个，但不超过 3 个.（分数：9.00）_16.设 具有连续的二阶偏导数，且满足（分数：10.00）_17.设有抛物线 y=x2-(+)x+()，
5、已知该抛物线与 y 轴的正半轴及 x 轴所围图形面积 A1等于这条抛物线与 x 轴所围图形的面积 A2，求实数 ， 之间的关系.（分数：10.00）_18.设 是椭球面： 的外侧， ，计算曲面积分（分数：10.00）_19.设 g(x)在(-，+)上连续，对任意实数 x，有 g(x+1)=g(x)且 0，又 f(x)在0，1上有连续的导数，记 ，试证级数 （分数：11.00）_20.向量组 1= (a，2，10) T， 2=(-2，1，5) T， 3=(-1，1，4) T，=(1，b，c) T，试问 a，b，c 满足什么条件时，() 可由 1， 2， 3线性表示，且表示法唯一？() 不能由 1
6、， 2， 3线性表示？() 可由 1， 2， 3线性表示，但表示法不唯一，并求出一般表达式.（分数：11.00）_21.设矩阵 （分数：11.00）_已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）(1).求 Z 的分布函数 FZ(z)及概率密度 fZ(z)；（分数：5.50）_(2).求 E(Z)及 D(Z).（分数：5.50）_设随机变量 X 服从正态分布 N(，1). x 1，x 2，x 10。是取自总体 X 的 10 个样本值，在显著性水平为=0.05 下检验：H0：=0；H 1：0.拒绝域为 （分数：11.01）(1).求 c；（分数：3.67）_(2).若已知*，是否可以
7、据此推断 =0；（分数：3.67）_(3).如果以*作为检验 H0：=0 的拒绝域，求检验显著性水平 . (u 0.025=1.96；(3.64)=0.99985).（分数：3.67）_考研数学一-169 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 x0 时，e tan x-ex与 xn是同阶无穷小，则 n 为_A1 B2 C3 D4（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 无穷小量的阶解析 其中用了等价无穷小代换. e x-1x(x0)，tan x 的泰勒公式：2.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 函数在一点连
8、续与可导的关系解析 ，选项 A，B 不成立. 而注意到依等价无穷小代换 e-1-t(t0)，于是3.设 (x)是连续函数，满足 ，则 (x)等于_A0 Bx C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 定积分换元法解析 令 ，则 于是两边取区间0，1上的定积分，记 ，则. 故 c=0.从而4.设 为球面 x2+y2+z2=R2(R0)的上半球面的上侧，则_A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 关于坐标的曲面积分的计算解析 以 1 右 ， 1 左 分别表示 的右半部与左半部，它们在 zOx 平面的投影区城为 Dzx=(z，x)|x2+z2R 2，z0. 则故选
9、 B.而 A 中有 .在 C 中有同理在 D 中5.设 A 为三阶矩阵， 1=(1，2，-2) T， 2=(2，1，-1) T， 3=(1，1，t) T是非齐次线性方程组 AX=b 的解向量，其中 b=(1，3，-2) T，则_At=-1，必有 r(A)=1 Bt=-1，必有 r(A)=2Ct-1，必有 r(A)=1 Dt-1，必有 r(A)=2（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 非齐次线性方程组解析 方法一 记 B=( 1， 2， 3)6.A 是 3 阶矩阵且 AX=0 有通解：k 1 1+k2 2(k1，k 2为任意常数)，又知 A 3= 3，P 是三阶可逆矩阵，使（分数：4.
10、00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵相似对角化解析 AX=0 有通解 k1 1+k2 2表明 1， 2是矩阵 A 对应二重特征值 1= 2=0 的线性无关的特征向量. 而 A 3= 3指出 3是 A 属于特征值 3=1 的特征向量，注意到 k1 1+k2 2(k1，k 2不同时为 0)仍是 A 属于 1= 2=0 的特征向量；A 属于不同特征值 1(= 2) 3的特征向量之和不再是 A 的特征向量；可逆矩阵 P 中特征向量排序与对角矩阵7.设连续型随机变量 X1，X 2相互独立，分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，概率密度分别为 f1(x)，f 2(x)，则随机变量 min(X1，X
11、 2)的概率密度为_Af 1(x)f2(x) Bf 1(x)+f2(x)Cf 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x) Df 1(x)(1-F2(x)+f2(x)(1-F1(x)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 连续型随机变量的分布函数与概率密度解析 对任意实数 x，将 min(X1，X 2)的分布函数记为 F(x)，则F(x)=P(min(X1，X 2)X)=1-P(min(X 1，X 2)X)=1-P(X1x)P(X 2x)=1-1-F1(x)1-F2(x)，于是8.设随机变量 X，Y 独立同分布且方差都大于 0，令 =X+aY，=X+bY，其中 ab0，则当 ， 不相关时，
12、有_Aab=1 Bab=-1Ca=b Da，b 为任意非零常数（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 随机变量相关性解析 ， 不相关，即 =0，充分必要条件为 cov(，)=0，即有cov(X+aY，X+bY)=cov(X，X)+(a+b)cov(X，Y)+abcov(Y，Y)=D(X)+0+abD(Y)=(1+ab)D(X)=0，而 D(X)0，故 ab=-1. 应选 B.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 函数的麦克劳林公式解析 由于故 . 而 f(x)在 x=0 处带皮亚诺型余项的麦克劳林公式为由展开式的
13、唯一性知 ，从而10.设 z=f(x，y)在点(1，1)可微，f(1，1)=1， . 令 g(x)=f(x，f(x，x)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：17）解析：考点 多元函数的偏导数解析 已知 f(1，1)=1，11.将极坐标系下的二次积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 极坐标下二重积分化累次积分后交换次序解析 当 时， ，以 为半径画圆，将 D 分为两部分，使 D=D1D 2. 其中于是12.微分方程： 满足初始条件 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 一阶微分方程的特解解析 方程两边同乘以 2y，得 . 令
14、y2=z，化为令 ，即 z=xu， ，代入式，得 ，即 .解得 sin u=cx，即 ，代入初始条件 ，得 ，即有 ，或 (由 知 y 取算术根).13.已知矩阵 A 与 B 相似，而 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-54）解析：考点 行列式的计算解析 由于 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，当 k 为任意实数时，P-1(A+kE)P=P-1AP+P-1(kE)P=B+kE.即 A+kEB+kE，相似矩阵有相同的行式，故14.设随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY=，而 Z=aX+6(a，b 为常数)，则使 YZ= 的充分必要条件是_.（分数：4.00）填空项 1
15、:_ （正确答案：a0，b 为任意常数）解析：考点 随机变量的相关系数解析 已知 . 为了三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明方程 ex=-x2+3x+4 的实根至少有一个，但不超过 3 个.（分数：9.00）_正确答案：(记 f(x)=ex+x2-3x-4 在(-，+)连续、可导. f(0)=-30，f(2)=e 2-60. 在闭区间0，2上对 f(x)用连续函数零值定理，可知 f(x)在 )解析：考点 导数应用16.设 具有连续的二阶偏导数，且满足（分数：10.00）_正确答案：(令 ，则 u=u(r). 而同理 于是原方程化为(*)相应的齐次方程的特征方程为 2+1=0，
16、=i，方程(*)相应的齐次方程的通解为 U=c1cos r+c2sin r.由于非齐次项 f(r)=r2e0，而 0 非特征值，故非齐次方程有特解形如 u*=Ar2+Br+D.代入方程(*)后，得 u*=r2-2(即 A=1，B=0，D=-2)，方程(*)通解为 u=U+u*=c1cos r+c2sin r+r2-2.从而所求的函数为)解析：考点 二阶常系数线性非齐次微分方程17.设有抛物线 y=x2-(+)x+()，已知该抛物线与 y 轴的正半轴及 x 轴所围图形面积 A1等于这条抛物线与 x 轴所围图形的面积 A2，求实数 ， 之间的关系.（分数：10.00）_正确答案：(依题意抛物线开口
17、向上，二个实根为 和 ，为了使面积 A1存在，抛物线应与 y 轴正半轴相交，则 .当 0，0 时，由于 A1=A2，一个图形在 x 轴上方，另一个在 x 轴下方，应有 .即 ，则 =3.(2)当 0，0 时，有 ，即 ，则 =3. 总之有 0 且 )解析：考点 定积分的几何意义18.设 是椭球面： 的外侧， ，计算曲面积分（分数：10.00）_正确答案：(记 P(x，y，z)=yln r，Q(x，y，z)=-xln r，R(x，y，z)=z，其中 . 由于 包围的区域 包含原点，P，Q 在 内不连续，以原点为圆心，0 为半径，作小球 ，它的法向量指向外侧，则 =-k ，在 上用高斯公式，有但
18、，故注意到在 k 上点(x，y，z)处外侧单位法向量为于是将式，代入式，得 )解析：考点 用高斯公式计算关于坐标的曲面积分19.设 g(x)在(-，+)上连续，对任意实数 x，有 g(x+1)=g(x)且 0，又 f(x)在0，1上有连续的导数，记 ，试证级数 （分数：11.00）_正确答案：(g(x)是以 T=1 为周期的连续周期函数，满足 . 于是 G(x)= ，也是以 T=1 为周期的可导函数. 由连续周期函数积分性质知故 G(0)=0， .由于 ，有 dG(nx)=ng(nx)dx.于是即 (*)由于 G(x)在(-，+)连续，以 T=1 为周期，从而有界，亦即存在常数 M10.使|G
19、(x)|M 1，于是|G(nx)|M 1(x(-，+).又 f(x)在0，1连续，故有界，即存在常数 M20. 使|f(x)|M 2(x0，1).由式(*)有于是 . 依正项级数比较判别法知 )解析：考点 级数收敛性的判定20.向量组 1= (a，2，10) T， 2=(-2，1，5) T， 3=(-1，1，4) T，=(1，b，c) T，试问 a，b，c 满足什么条件时，() 可由 1， 2， 3线性表示，且表示法唯一？() 不能由 1， 2， 3线性表示？() 可由 1， 2， 3线性表示，但表示法不唯一，并求出一般表达式.（分数：11.00）_正确答案：()解析：考点 向量由向量组线性表
20、示21.设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(1)若 sn. 注意到 A 的列向量组是 s 个 n 维向量. 必线性相关. 即存在 X=(x1，s 2，x s)T0，使 AX=x1 1+x2 2+xs s=0.于是 ，与 B 为正定矩阵矛盾.(2)若 s=n，则 A 为 n 阶矩阵且 . 故 A 为可逆矩阵. 由 B=ATA=ATEA 知 B 与单位矩阵合同，从而 B 为正定矩阵.(3)若 sn，则 A 的前 s 行组成 s 个 s 维列向量，由范得蒙行列式不为 0 知其线性无关. 从而 A 的列向量组作为其延伸向量组仍线性无关. 对任意非零向量 X=(x1，x 2，x s)0，有AX=x
21、1 1+x2 2+xs s0.从而 )解析：考点 矩阵的正定性已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）(1).求 Z 的分布函数 FZ(z)及概率密度 fZ(z)；（分数：5.50）_正确答案：(对任意实数 z，当 z0 时，F Z(z)=P(Zz)=P(X+2Yz)=0.当 z0 时，FZ(z)=P(X+2Yz)即有 概率密度为 )解析：(2).求 E(Z)及 D(Z).（分数：5.50）_正确答案：()解析：考点随机变量函数的分布设随机变量 X 服从正态分布 N(，1). x 1，x 2，x 10。是取自总体 X 的 10 个样本值，在显著性水平为=0.05 下检验：H0：=0；H 1：0.拒绝域为 （分数：11.01）(1).求 c；（分数：3.67）_正确答案：(H 0：=0；H 1：0，方差 2=1 已知检验统计量. 今知 n=10，=0.05. ，于是)解析：(2).若已知*，是否可以据此推断 =0；（分数：3.67）_正确答案：(. 落入拒绝域，不能认为 =0. )解析：(3).如果以*作为检验 H0：=0 的拒绝域，求检验显著性水平 . (u 0.025=1.96；(3.64)=0.99985).（分数：3.67）_正确答案：(=PZW=P|X|1.15)解析：考点 已知方差时，正态总体均值的假设检验
