1、考研数学一-168 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 为正项级数，下列结论正确的是_A若 ，则级数 收敛B若存在常数 0，使 ，则级数 发散C若级数 收敛，则D若级数 发散，则存在常数 0，使 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 和 是非零向量且 ，则 的值为_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.平面区域 D是由 r=2及弦 围成的弓形，则 的值为_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 1， 2， 3为 3维列向量，A=( 1， 2， 3
2、)，B=( 1+ 2+ 3， 1+3 2+9 3， 1+4 2+16 3)，已知|A|=-1，则|B|等于_A3 B-3 C6 D-6（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 1=(1，3，4，-2) T， 2=(2，1，3，t) T， 3=(3，-1，2，0) T线性相关，则 t=_A1 B-1 C2 D-2（分数：4.00）A.B.C.D.7.能使 A，B，C 三个随机事件相互独立，如果成立，条件是_AA，B，C 两两独立 BP(ABC)=P(A)P(B)P(C)CP(A-B)=1 DP(A-B)=0（分数：4.00）A.B.C.D.8.设连续型随机变量 X的概率密度为 f(x)，数学期望
3、 E(X)=0，则_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.方程 yy+(y) 2=0满足 y(0)=1， （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.由曲线 绕 x轴旋转一周得到的旋转曲面在点 处指向外侧的单位法向量 （分数：4.00）填空项 1:_12.设曲线积分 与路径无关，其中 (x)连续可导，(0)=0，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 A为 n阶实对称阵， i(i=1，2，n)为 A的 n个特征值，则实二次型 （分数：4.00）填空项 1:_14.设有 5双不同的鞋，今有 5个人，
4、每人从中任取 2只，事件 A=“5个人取到的鞋恰好成双”的概率P(A)=_.（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 u=f(x，y，z)有连续的一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由下列两式确定：求 （分数：10.00）_16.在变力 的作用下，质点由坐标原点沿直线运动到椭球面 上第一卦限的点 M(，)，求力 做功 W的最大值.（分数：10.00）_已知 f(x)在1，2连续，(1，2)可导，且 f(1)=0，f(2)=1. 试证：（分数：9.00）(1).存在 (1，2)，使 f()=2-；（分数：4.50）_(2).存在两个不同点
5、 ，(1，2)使 f()f()=1.（分数：4.50）_17.求幂级数 （分数：10.00）_18.设有一半径为 a的球体 ，P 0是此球表面上个定点，球体中任意一点的密度与该点到点 P0的距离平方成正比(比例常数 k0)，求球体重心的位置.（分数：11.00）_已知非齐次方程组（分数：11.00）(1).证明：方程组系数矩阵 A的秩 r(A)=2；（分数：5.50）_(2).求参数 ， 的值及方程组的通解.（分数：5.50）_已知矩阵 （分数：11.00）(1).求 x，y 的值；（分数：5.50）_(2).求使 A相似对角化的可逆矩阵 P.（分数：5.50）_将两封信投入编号为，的 3个邮
6、筒，以 X，Y 分别表示投入到号与号邮筒中信的数目，求（分数：11.01）(1).(X，Y)的分布律；（分数：3.67）_(2).X，Y 是否独立；（分数：3.67）_(3).=2X+Y 与 =XY 的分布律.（分数：3.67）_设总体 X的概率密度为（分数：11.01）(1).确定常数 a；（分数：3.67）_(2).求 的最大似然估计量；（分数：3.67）_(3).中求出的估计量是否为 的无偏估计量.（分数：3.67）_考研数学一-168 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点
7、求曲线的渐近线解析 ，故 x=0为铅直渐近线.，故 y=0为水平渐近线.2.设 为正项级数，下列结论正确的是_A若 ，则级数 收敛B若存在常数 0，使 ，则级数 发散C若级数 收敛，则D若级数 发散，则存在常数 0，使 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 正项级数敛散性判别解析 A 不正确，取 ，则 ，但从 知级数 发散.B正确，由 an0 及 及正项级数比较法的极限形式知 发散.C不正确，取 ，则 收敛，但 .D不正确， 发散，对任意常数 0， . 故选 B.3.设 和 是非零向量且 ，则 的值为_A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 向量代数与极限解析
8、 设 ，则 是 t的连续函数，于是4.平面区域 D是由 r=2及弦 围成的弓形，则 的值为_A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 用极坐标计算二重积分解析 区域 D的极坐标表示为 于是5.设 1， 2， 3为 3维列向量，A=( 1， 2， 3)，B=( 1+ 2+ 3， 1+3 2+9 3， 1+4 2+16 3)，已知|A|=-1，则|B|等于_A3 B-3 C6 D-6（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 矩阵(方阵)的行列式解析 B=( 1+ 2+ 3， 1+3 2+9 3， 1+4 2+16 3)如果记 ，则 B=AC，且6.设 1=(1，3，4，
9、-2) T， 2=(2，1，3，t) T， 3=(3，-1，2，0) T线性相关，则 t=_A1 B-1 C2 D-2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 向量组的线性相关性解析 记 A=( 1， 2， 3)，向量组 1， 2， 3线性相关的充分必要条件为 r(A)3. 而7.能使 A，B，C 三个随机事件相互独立，如果成立，条件是_AA，B，C 两两独立 BP(ABC)=P(A)P(B)P(C)CP(A-B)=1 DP(A-B)=0（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 随机事件的独立性解析 A，B 均不能断定事件 A，B，C 独立，D 也不能断定 A，B，C 独立，由 C
10、有 . 而 ，于是 ，且8.设连续型随机变量 X的概率密度为 f(x)，数学期望 E(X)=0，则_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 连续型随机变量的概率密度与数学期望解析 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.方程 yy+(y) 2=0满足 y(0)=1， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 可降阶微分方程的特解解析 令 y=p，则 ，于是方程化为 ，则 (p=0不满足 ，舍之). ，因此有 p= ，代入 y(0)=1， ，得 ，于是，从而 y2=x+c2，代入 y(0)=1得 c2=1，所求特解为 y2=x+1，即10. （分数
11、：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：考点 定积分的计算解析 11.由曲线 绕 x轴旋转一周得到的旋转曲面在点 处指向外侧的单位法向量 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 多元微分学在几何上的应用解析 旋转曲面记为 ，则 的方程为 x2+4(y2+z2)=20，令 F(x，y，z)=x 2+4y2+4z2-20，则 在点 P0处沿外侧的法向量为 ，从而单位法向量为12.设曲线积分 与路径无关，其中 (x)连续可导，(0)=0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 第二类曲线积分计算解析 依题意有 ，即 y(x)=2xy，则 (x
12、)=2x.，代入 (0)=0，得 c=0，故 (x)=x 2.由于 ，从而13.已知 A为 n阶实对称阵， i(i=1，2，n)为 A的 n个特征值，则实二次型 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 二次型，正交变换，特征值解析 对实二次型 f=XTAX，总有正交变换 X=PY(P为正交矩阵)使厂化为标准形 ，其中 i(1in)是f的矩阵 A的特征值，由于正交变换保持向量长度不变，即当 时，有从而14.设有 5双不同的鞋，今有 5个人，每人从中任取 2只，事件 A=“5个人取到的鞋恰好成双”的概率P(A)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点
13、 古典概率解析 以 10个不同元素(10 只鞋)分成 2个一组，共 5组，其中每一种分法对应一个基本事件，则三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 u=f(x，y，z)有连续的一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由下列两式确定：求 （分数：10.00）_正确答案：(在 exy-xy=2两边取微分，得exy(ydx+xdy)-(ydx+xdy)=0，即(xe xy-x)dy=(y-yexy)dx，从而在 两边取微分，得 ，即从而又 ，将式，代入，得)解析：考点 多元函数偏导数及隐函数求导16.在变力 的作用下，质点由坐标原点沿直线运动到椭球面 上第一卦限的点 M(，)
14、，求力 做功 W的最大值.（分数：10.00）_正确答案：(直线 OM所在直线方程为 ，即在力 作用下，质点从 O沿 移至 M做的功为问题转化为求 W= 在约束条件 下的最大值. 令 ，分别对 ， 求偏导，令其为零，得由式、得 ，代入式.求出 为 0，0，0 内唯一驻点，实际问题最大值存在，此点即为最大值点，最大值为 )解析：考点 变力做功及条件极值已知 f(x)在1，2连续，(1，2)可导，且 f(1)=0，f(2)=1. 试证：（分数：9.00）(1).存在 (1，2)，使 f()=2-；（分数：4.50）_正确答案：(令 F(x)=f(x)+x-2(x1，2)，则 F(x)在1，2连续，
15、且F(1)=f(1)+1-2=-10，F(2)=f(2)+2-2=10.由闭区间上连续函数零值定理，存在 (1，2)，使 F()=f()+-2=0，即 f()=2-.)解析：(2).存在两个不同点 ，(1，2)使 f()f()=1.（分数：4.50）_正确答案：(在1，2上分别对 f(x)用拉格朗日中值定理，存在 (1，)，(，2)，故 且 ，(1，2)，使从而 )解析：考点 闭区间连续函数性质与微分中值定理17.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(由知|x|1 时，级数收敛.x=-1，x=1 时，两个数项级数为 都绝对收敛，从而幂级数的收敛域为-1，1. 记和函数为 S(x)，则记为
16、 S(x)=xg(x)-2(x)，其中， ，x(-1,1)，由于 在 x=1处收敛，ln(1+x 2)在 x=1处连续，从而g(x)=ln(1+x2)(x-1，1).，此级数也在 x=1处收敛.注意：(0)=0，则)解析：考点 幂级数的收敛域与和函数18.设有一半径为 a的球体 ，P 0是此球表面上个定点，球体中任意一点的密度与该点到点 P0的距离平方成正比(比例常数 k0)，求球体重心的位置.（分数：11.00）_正确答案：(选球心 O为坐标原点，射线 OP0为 x轴的正向，依右手系选定直角坐标系，点 P0的坐标为(a，0，0)，球面方程为 x2+y2+z2=a2.设 的重心坐标为(，)，依
17、对称性知，=0，=0. 而注意到而故 ，在如此选定的坐标系下， 的重心坐标为 )解析：考点 三重积分的应用已知非齐次方程组（分数：11.00）(1).证明：方程组系数矩阵 A的秩 r(A)=2；（分数：5.50）_正确答案：(设 1， 2， 3是方程组 AX=b的 3个线性无关的解，则 1- 2， 1- 3是其导出组 AX=0的两个线性无关的解，于是 4-r(A)2，即有 r(A)2.又 A中存在 2阶子式，例如 )解析：(2).求参数 ， 的值及方程组的通解.（分数：5.50）_正确答案：(对非齐次线性方程组的增广矩阵施行初等行变换由()知，r(A)=r(A)=2，故必有 3+9=0，-2-
18、3=0，-16-48=0，得 =-3，=-3.此时 )解析：考点 解非齐次线性方程组已知矩阵 （分数：11.00）(1).求 x，y 的值；（分数：5.50）_正确答案：(矩阵 A可相似对角化，故 A有 3个线性无关特征向量，而 =2 是 A的二重特征值，于是 A属于 =2 的线性无关特征向量有 2个，即(2E-A)X=0 有 2个线性无关的解，亦即 3-r(2E-A)=2，故 r(2E-A)=1.于是 即 )解析：(2).求使 A相似对角化的可逆矩阵 P.（分数：5.50）_正确答案：(A 属于特征值 =2 的特征向量为 1=(1，-1，0) T， 2=(1，0，1) T.又因为 1+ 2+
19、 3=1+4+5=10，而 1= 2=2，故 3=10-4=6.即 ，故 3=(1，-2，3) T.令 ，则 )解析：考点 矩阵的相似对角化将两封信投入编号为，的 3个邮筒，以 X，Y 分别表示投入到号与号邮筒中信的数目，求（分数：11.01）(1).(X，Y)的分布律；（分数：3.67）_正确答案：(X，Y 可能取值均为 0，1，2，且同理于是(X，Y)分布律为)解析：(2).X，Y 是否独立；（分数：3.67）_正确答案：(，故 X，Y 不独立. )解析：(3).=2X+Y 与 =XY 的分布律.（分数：3.67）_正确答案：(=2X+Y(X，Y)P0(0，0)1/91(0，1)2/92(
20、0，2)1/92(1，0)2/93(1，1)2/94(1，2)04(2，0)1/95(2，1)06(2，2)0=XY(X，Y)P0(0，0)1/90(0，1)2/90(0，2)1/90(1，0)2/90(2，0)1/91(1，1)2/92(1，2)02(2，1)04(2，2)0从而 =2X+Y 与 =XY 的分布律分别为 )解析：考点 二维离散型随机变量独立性及随机变量函数的分布设总体 X的概率密度为（分数：11.01）(1).确定常数 a；（分数：3.67）_正确答案：(，故 . )解析：(2).求 的最大似然估计量；（分数：3.67）_正确答案：(设 x1，x 2，x n是一组样本值，当 min(x1，x 2，x n)0 时，样本的似然函数为令 ，则从而 的最大似然估计量为 )解析：(3).中求出的估计量是否为 的无偏估计量.（分数：3.67）_正确答案：(由于于是从而 )解析：考点 参数的最大似然估计
