1、考研数学一-167 及答案解析(总分：186.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 在(-，+)内连续，且 ，则A 存在， 不存在B 不存在， 存在C 与 都存在D 与 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设常数 ai0(i=1，2，3)， 1 2 3，则方程 （分数：4.00）A.B.C.D.3.若在0，1上有 f(0)=g(0)=0，f(1)=g(1)=a0，且 f“(x)0，g“(x)0，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)在-1，1上有定义，在 x=0 处可导，则 f(0)=0 是级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5
2、.设向量组 1， 2， 3是线性方程组 Ax=0 的基础解系，若存在常数 l，m，使得 l 2- 1，m 3- 2， 1- 3也是 Ax=0 的基础解系，则Alm=1 Blm1Clm=2 Dlm2（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知矩阵 A 和 B 相似，其中（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 和 Y 独立且在(0，)上服从均匀分布，则 E(minX，Y)等于A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4独立同分布，都服从正态分布 N(1，1)，且 服从 2(n)分布，则 k 和n 分别为A B C D （分数：4.00）A
3、.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 y=x3+3x2-5 上与直线 2x-6y+3=0 垂直的切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(u，)具有一阶连续偏导数，且满足 ，又 g(x，y)= ，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.将函数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 是曲面 x2+y2+z2=a2的外侧，cos，cos，cos 是其外法线向量的方向余弦，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 n 阶矩阵 A 满足 2A(A-E)=A3，则(E-A) -1=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 XB ，Y 服从0，3上
4、的均匀分布，且 X 与 Y 独立，则行列式 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：130.00)15.设函数 f(x)在点 x=0 的某邻域内具有二阶导数，且 求 f(0)，f(0)，f“(0)及 （分数：10.00）_设 f(x)，g(x)为连续可微函数，且 =yf(xy)dx+xg(xy)dy（分数：20.00）(1).若存在 u，使得 du=，求 f-g；（分数：10.00）_(2).若 f(x)=(x)，求 u，使得 du=（分数：10.00）_16.设函数 f(x)在区间0，+)上可导，且 0f(x) 证明：存在 0，使 （分数：10.00）_17.试求由球面
5、 （分数：10.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_已知矩阵 有零特征值，又矩阵 （分数：20.00）(1).求 a，b，c 的值；（分数：10.00）_(2).求 X.（分数：10.00）_设矩阵 （分数：20.00）(1).求 y 的值；（分数：10.00）_(2).求矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵（分数：10.00）_19.在线段0，1上任取 n 个点，试求其中最远两点的距离的数学期望（分数：10.00）_设总体 X 的概率密度函数为 （分数：20.00）(1). 的矩估计量；（分数：10.00）_(2). 的最大似然估计量（分数：10.00）_考研数学一-167
6、答案解析(总分：186.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 在(-，+)内连续，且 ，则A 存在， 不存在B 不存在， 存在C 与 都存在D 与 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 由 f(0)有定义可知，a0，又 ，即 b0于是2.设常数 ai0(i=1，2，3)， 1 2 3，则方程 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 令 ，则易知 x= 1，x= 2，x= 3是 f(x)的无穷间断点又 ，则除 x= 1，x= 2，x= 3三点外 f(x)0，即函数 f(x)在区间(-， 1)，( 1， 2)，( 2， 3)，( 3，+)内
7、均单调递减当 x 1时，f(x)0，则方程 f(x)=0 在区间(-， 1)内无根；因为 ，所以由零值定理可知方程 f(x)=0 在区间( 1， 2)内有一根；同理，3.若在0，1上有 f(0)=g(0)=0，f(1)=g(1)=a0，且 f“(x)0，g“(x)0，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 由题设可知 f“(x)0，f(x)为凹函数，g“(x)0，g(x)为凸函数，且 f(0)=g(0)=ax|x=0=0，f(1)=g(1)=ax| x=1=a于是当 x0，1时，g(x)axf(x)，从而有 I2I 3I 1故选(C)4.设函数 f(x)在-1，1上有定义，在 x=
8、0 处可导，则 f(0)=0 是级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 如果级数 收敛，则 ，且有如果 f(0)0，不妨设 f(0)0，则由极限保号性，当 n 充分大时， ，且当 n时， 与是同阶无穷小，所以由比较判别法，级数 发散，出现矛盾同理，当 f(0)0 时，级数 也发散故 f(0)=0 是级数 收敛的必要条件如果 f(0)=0，不一定能得到 f(0)=0 及 ，所以不能得到级数 收敛因此，f(0)=0 是级数5.设向量组 1， 2， 3是线性方程组 Ax=0 的基础解系，若存在常数 l，m，使得 l 2- 1，m 3- 2， 1- 3也是 Ax=0 的基础解系，则Alm
9、=1 Blm1Clm=2 Dlm2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为 1， 2， 3是基础解系，所以线性无关，若 l 2- 1，m 3- 2， 1- 3也是基础解系，必线性无关，则6.已知矩阵 A 和 B 相似，其中（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为 B 为对角矩阵，又 AB，所以 A 有特征值-1，2，y，而特征方程为|E-A|=(+2) 2-(x+1)+(x-2)，将 =-1 代入得 x=0，又由 trA=trB，即-2+x+1=-1+2+y，得 y=-2故选(B)7.设随机变量 X 和 Y 独立且在(0，)上服从均匀分布，则 E(minX，Y)等于A
10、BC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 由题设可知， 且 Z=minX，Y)的分布函数为于是 Z 的密度函数为故8.设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4独立同分布，都服从正态分布 N(1，1)，且 服从 2(n)分布，则 k 和n 分别为A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 因为所以二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 y=x3+3x2-5 上与直线 2x-6y+3=0 垂直的切线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3x+y+6=0）解析：详解 设切点为(x 0，y 0)，则切线斜率为： 又因为直线 2x-6y+3
11、=0 的斜率为： ，所以10.设 f(u，)具有一阶连续偏导数，且满足 ，又 g(x，y)= ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 ，故11.将函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：详解 因为所给的函数为奇函数，所以 an=012.设 是曲面 x2+y2+z2=a2的外侧，cos，cos，cos 是其外法线向量的方向余弦，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：详解 由两类曲面积分的关系，得13.已知 n 阶矩阵 A 满足 2A(A-E)=A3，则(E-A) -1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：A 2-
12、A+E）解析：详解 2A(A-E)=A 3 A3-2A2-2A=O，设法分解出因子 E-A-A3+2A2+2A=O -A3+2A2+2A+E=E14.设 XB ，Y 服从0，3上的均匀分布，且 X 与 Y 独立，则行列式 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 ，于是所求概率为p=P(X-1)(Y-2)0=P(X-10，Y-20+P(X-10，Y-20=PX1PY2+PX1PY2三、解答题(总题数：9，分数：130.00)15.设函数 f(x)在点 x=0 的某邻域内具有二阶导数，且 求 f(0)，f(0)，f“(0)及 （分数：10.00）_正确答案：(因为 ，所以由无
13、穷小比较，可知 及 从而 ，其中 ，即 f(x)=2x2+o(x2)，因此可得 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)=4，并有)解析：设 f(x)，g(x)为连续可微函数，且 =yf(xy)dx+xg(xy)dy（分数：20.00）(1).若存在 u，使得 du=，求 f-g；（分数：10.00）_正确答案：(由于 =du，且 f，g 连续可微，故令 s=xy，得，即 ，由此解得 ，或 )解析：(2).若 f(x)=(x)，求 u，使得 du=（分数：10.00）_正确答案：(当 f(x)=(x)时，由()，有由于与积分路径无关，故)解析：16.设函数 f(x)在区间0，+)上可导，且 0f
14、(x) 证明：存在 0，使 （分数：10.00）_正确答案：(令 ，由于 f(0)=0，所以 F(0)=0又因为 ，所以故由罗尔中值定理，必有 (0，+)，使 F()=0，即故 )解析：17.试求由球面 （分数：10.00）_正确答案：( ，由对称性知： ，其中 G 为引力常数，故所求引力为 )解析：18.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(令 ，则于是可得该幂级数的收敛区间为 x(-，+)而可知 y“=y，即 y“-y=0，解之得y=C1ex+C2e-x又因为 y(0)=1，y(0)=0，代入上式可得 ，故 )解析：已知矩阵 有零特征值，又矩阵 （分数：20.00）(1).求 a，b
15、，c 的值；（分数：10.00）_正确答案：(AX=B 有解由)解析：(2).求 X.（分数：10.00）_正确答案：(因为方程组 Ax= 1，Ax= 2，Ax= 3的通解依次为故矩阵方程的解为)解析：设矩阵 （分数：20.00）(1).求 y 的值；（分数：10.00）_正确答案：(因为 3 为矩阵 A 的特征值，所以|3E-A|=0，即解之得 y=2，于是)解析：(2).求矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵（分数：10.00）_正确答案：(AP) T(AP)=PT(ATA)P，而 是对称矩阵考虑二次型令 y1=x1，y 2=x2， ，y 4=x4，得令 ，则有)解析：19.在线段0
16、，1上任取 n 个点，试求其中最远两点的距离的数学期望（分数：10.00）_正确答案：(设 Xi为在0，1中任取的第 i 个点的坐标，i=1，2，n则 X1，X 2，X n独立同服从0，1上的均匀分布，其分布函数为令 则最远两点的距离为 X=X(n)-X(1)，于是 E(X)=EX(n)-EX(1)因为于是从而故 )解析：设总体 X 的概率密度函数为 （分数：20.00）(1). 的矩估计量；（分数：10.00）_正确答案：(总体 X 的数学期望为设 为样本均值，令 ，可解得未知参数 的矩估计量为)解析：(2). 的最大似然估计量（分数：10.00）_正确答案：(设 x1，x 2，x n是相应于 X1，X 2，X n的样本值，则似然函数为当 0x i1(i=1，2，n)时，L0，且令 ，解得 的最大似然估计值为从而得到 的最大似然估计量为 )解析：
