1、考研数学一-166 及答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，f(0)=1，设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)，g(x)在点 x=0 的某邻域内连续，且 f(x)具有一阶连续导数，满足 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 z=f(x，y)满足 ，且 f(x，0)=x 2，f(0，y)=y，则 f(x，y)为A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列论述正确的是A若 收敛，则 条件收敛B若 条件收敛，则 发散C若 收敛，则 收敛D若 ，则 （分数
2、：4.00）A.B.C.D.5.已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1则下列结论中不正确的是A矩阵 A 是不可逆的B矩阵 A 的主对角线的元素之和为零C1 和-1 所对应的特征向量正交DAx=0 的基础解系仅含一个向量（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 Mi(xi，y i)(i=1，2，n)为妨平面上 n 个不同的点，令 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是A 与 不相容 B 与 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，其分布函数为 F(x)，设随机变量 Y=F(x)，则 PY
3、 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 y“+y2+1=0 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=0 的解为_（分数：4.00）填空项 1:_11.设 u=ex+y+z，且 y，z 由方程 dt+ln(2+y)=0 及 ey+z+1=e+lnz 确定为 x 的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设曲线积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X 的数
4、学期望的置信度等于 0.95 的置信区间为_(1.96)=0.95)（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：100.00)15.设 （分数：10.00）_16.设 f(x)是由 x-x3+x5-+(-1)n-1x2n-1+所确定的函数()判定函数 f(x)的单调性及函数 f(x)图形的凹凸性；()求函数 f(x)的极值及函数 f(x)图形的拐点（分数：10.00）_17.设 f(x)在区间a，b上可导，且 （分数：10.00）_18.设 ，求证级数 （分数：10.00）_19.设 S 为椭球面 的上半部分，点 P(x，y，z)S， 为 S 在点 P 处的切平面，(x，y，
5、z)为点O(0，0，0)到平面 的距离，求 （分数：10.00）_20.已知 A 为三阶矩阵， 1， 2为 Ax=0 的基础解系，又 AB=2B，B 为三阶非零矩阵()计算行列式|A+E|；()求 r(A-2E)；()求矩阵 2A+3E 的特征值（分数：10.00）_21.设三阶矩阵 A 的 3 个特征值分别为-1，0，1，对应的特征向量分别为 1=(a，a+3，a+2) T， 2=(a-2，-1，a+1) T， 3=(1，2a，-1) T，且有 （分数：10.00）_22.向平面区域 D：0x2，0y4-x 2内随机地投掷一点(X，Y)，设 A=X1)，B=Y3)()求 A，B 恰好发生一个
6、的概率；()问 A，B 是否独立?并讨论 X 与 Y 的独立性（分数：10.00）_设已知总体 X 是离散型随机变量，X 的可能取值为 0，1，2X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，如果 P(X=2)=(1-) 2，EX=2(1-)， （分数：20.00）(1).求 X 的概率分布；（分数：10.00）_(2).求 的矩估计量，并讨论其无偏性（分数：10.00）_考研数学一-166 答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，f(0)=1，设 （分数：4.00）A.B.
7、C.D.解析：详解 2.设 f(x)，g(x)在点 x=0 的某邻域内连续，且 f(x)具有一阶连续导数，满足 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 f“(x)=-4x+g(x)，f“(0)=0，且3.设 z=f(x，y)满足 ，且 f(x，0)=x 2，f(0，y)=y，则 f(x，y)为A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 dx+c2(y)故 4.下列论述正确的是A若 收敛，则 条件收敛B若 条件收敛，则 发散C若 收敛，则 收敛D若 ，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 利用排除法令 ，则 收敛，但 发散，可排除(A)，令 u=(-1)
8、n，则 收敛，但 发散，可排除(C)，令 un=(-1)n，有 ，但5.已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1则下列结论中不正确的是A矩阵 A 是不可逆的B矩阵 A 的主对角线的元素之和为零C1 和-1 所对应的特征向量正交DAx=0 的基础解系仅含一个向量（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 因为|A|=01(-1)=0，trA=1+0+(-1)=0，r(A)=2，所以(A)，(B)，(D)是正确的，故选(C)6.设 Mi(xi，y i)(i=1，2，n)为妨平面上 n 个不同的点，令 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 n 个不同的点共线即为任意三个点均共线，所以先考虑
9、三个点共线的情形设任意三个不同点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，它们共线的充要条件是以它们为顶点的三角形面积为零，即 ，即矩阵 的秩小于 3又它们为三个不同的点，所以，向量(x 1，y 1，1)与(x 2，y 2，1)线性无关，即矩阵 的秩大于 1，因此，矩阵7.设 A，B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是A 与 不相容 B 与 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 因为 A 与 B 不相容，故 ，于是8.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，其分布函数为 F(x)，设随机变量 Y=F(x)，则 PY （分数：4.00）A
10、.B.C.D. 解析：详解 由已知，F(x)是严格单调增函数，且 ，所以二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 (洛必达法则)(当 x0 时，sinxx，10.微分方程 y“+y2+1=0 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=0 的解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=ln|cosx|）解析：详解 令 p=y，则原方程为 p+p2+1=0，即11.设 u=ex+y+z，且 y，z 由方程 dt+ln(2+y)=0 及 ey+z+1=e+lnz 确定为 x 的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正
11、确答案： ）解析：详解 由 ，两边对 x 求导可得，由 ，ey+z+1=e+lnz 两边对 x 求导可得故12.设曲线积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x 2）解析：详解 设 P(x，y)=xy 2，Q(x，y)=yf(x)由题设知，曲线积分 Lxy2dx+yf(x)dy 与路径无关，则有，即13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 在 A*BA=E+A-1B 两边左乘 A 得|A|BA=A+B，而|A|=3，所以 B(3A-E)=A，即14.设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X
12、的数学期望的置信度等于 0.95 的置信区间为_(1.96)=0.95)（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(4.804，5.196)）解析：详解 因为 n=100 属大样本，由中心极限定理可知， 近似服从 分布，故 的置信度近似等于 0.95 的置信区间为三、解答题(总题数：9，分数：100.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：(令 u=lnx，则 g“(x)+g(x)=x，即(e xg(x)=xex(而 g(0)=0，所以 C1=1)(而 g(0)=0，所以 C2=1)解析：16.设 f(x)是由 x-x3+x5-+(-1)n-1x2n-1+所确定的函数()判定函数
13、f(x)的单调性及函数 f(x)图形的凹凸性；()求函数 f(x)的极值及函数 f(x)图形的拐点（分数：10.00）_正确答案：(由 得于是令 因为，令 故列表如下：因此，()函数 f(x)在区间(-，-1)和(1，+)内单调减少，在区间(-1，1)内单调增加；函数 f(x)的图形在区间(-，- )和(0， )内是凸的，在区间(- ，0) 内是凹的()函数 f(x)在 x=-1 处取得极小值 ，在 x=1 处取得极大 ；函数 f(x)的图形的拐点为 )解析：17.设 f(x)在区间a，b上可导，且 （分数：10.00）_正确答案：(令 ，则 F(a)=F(b)=0,且 F(x)=f(x)-F
14、(a)F(b)0不妨设 F(a)0，F(b)0，则)解析：18.设 ，求证级数 （分数：10.00）_正确答案：(因为 ，将 f(x)按麦克劳林级数展开有 ，其中 ，于是比较两边系数，可得a0=a1=1，且 a2=a1+a02，a 3=a2+a13，由归纳法可知 ann，所以 an(n)于是所求级数的部分和所以当 n时， )解析：19.设 S 为椭球面 的上半部分，点 P(x，y，z)S， 为 S 在点 P 处的切平面，(x，y，z)为点O(0，0，0)到平面 的距离，求 （分数：10.00）_正确答案：(设切平面上的点为(X，Y，Z)，则平面 的方程为从而由 S 的方程 可得以及所以)解析：
15、20.已知 A 为三阶矩阵， 1， 2为 Ax=0 的基础解系，又 AB=2B，B 为三阶非零矩阵()计算行列式|A+E|；()求 r(A-2E)；()求矩阵 2A+3E 的特征值（分数：10.00）_正确答案：(由题设， 1， 2是 A 的属于特征值 0 的两个线性无关的特征向量，又由 AB=2B，B 为三阶非零矩阵，不妨设 B 的第一列 b1非零，则 b1是 A 的属于特征值 2 的特征向量。于是令 P= 1， 2，b 1，则有() 于是|A+E|=3() () )解析：21.设三阶矩阵 A 的 3 个特征值分别为-1，0，1，对应的特征向量分别为 1=(a，a+3，a+2) T， 2=(
16、a-2，-1，a+1) T， 3=(1，2a，-1) T，且有 （分数：10.00）_正确答案：(由 可得 a=-1 或 0当 a=-1 时， 1=(-1，2，1) T， 2=(-3，-1，0) T， 3=(1，-2，-1) T满足 1+ 3=0，所以 1， 2， 3线性相关，这与 1， 2， 3是对应不同特征值的特征向量矛盾(因为不同特征值对应的特征向量线性无关)，因此 a-1，故 a=0此时 1=(0，3，2) T， 2=(-2，-1，1) T， 3=(1，0，-1) T记 ，且 ，则 ，从而有)解析：22.向平面区域 D：0x2，0y4-x 2内随机地投掷一点(X，Y)，设 A=X1)，
17、B=Y3)()求 A，B 恰好发生一个的概率；()问 A，B 是否独立?并讨论 X 与 Y 的独立性（分数：10.00）_正确答案：(D 的面积为 ，故(X，Y)的概率密度函数为且 ，() )解析：设已知总体 X 是离散型随机变量，X 的可能取值为 0，1，2X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，如果 P(X=2)=(1-) 2，EX=2(1-)， （分数：20.00）(1).求 X 的概率分布；（分数：10.00）_正确答案：(EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2(1-) 2=2(1-)，可得 P(X=1)=2(1-)，P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= 2，所以 X 的概率分布如下：X 0 1 2P 22(1-)(1-) 2)解析：(2).求 的矩估计量，并讨论其无偏性（分数：10.00）_正确答案：( ， 的矩估计量为因为 所以 )解析：
