1、考研数学一-161 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设常数 k0，函数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 (x)为区间0，1上的正值连续函数，a 与 b 为任意常数，区域 D=(x，y)|0x，y1，则Aa BbCa+b D （分数：4.00）A.B.C.D.4.以下级数或广义积分收敛的是A ，p 为实数BC D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则下列选项中正确的是AA+B 可逆B|A|=|B|CA 经过行的初等变换可变为 BD存在可逆
2、矩阵 P，使得 P-1AP=B（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知向量 ， 线性无关，则 k1 是 +k，+k，+ 线性无关的A充分不必要条件 B必要不充分条件。C充分必要条件 D无关条件（分数：4.00）A.B.C.D.7.设连续型随机变量 X 的概率密度 f(x)为偶函数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X，Y 为两个随机变量，其中 EX=2，EY=-1，DX=9，DY=16，且 X，Y 的相关系数 ，由切比雪夫不等式得 P|X+Y-1|10A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_
3、10.求曲线 在 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程(y+x 3)dx-xdy=0 满足 y|x=1=1 的解为_（分数：4.00）填空项 1:_12.若级数 （分数：4.00）填空项 1:_13.三阶矩阵 A 满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij为代数余子式，且 a110，则|A|=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量具有密度函数 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)在 x=12 的邻域内为可导函数，且 ，求极限（分数：10.00）_16.证明： ，其中 a 大于 1，x表示不超过 x 的最
4、大整数并求出 （分数：10.00）_设 f(x)在0，1上连续（分数：10.00）(1).证明至少存在一个 (0，1)，使得*；（分数：5.00）_(2).若 f(x)为可导函数且满足(1-x)f(x)2f(x)，证明 是唯一的（分数：5.00）_17.求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+6=0 所确定的隐函数 z=z(x，y)的极值（分数：10.00）_18.设 是以 L 为边界的光滑曲面，试求连续可微函数 (x)，使曲面积分 （分数：10.00）_已知 1=(1，2，0)， 2=(1，a+2，-3a)， 3=(-1，b+2，a+2b)及 =(1，3，-3)，（分数：10.00）(1
5、).a，b 为何值时， 不能表示成 1， 2， 3的线性组合?（分数：5.00）_(2).a，b 为何值时， 能由 1， 2， 3唯一线性表示?并写出该表达式（分数：5.00）_设 A 是二阶矩阵， 为非零向量，但不是 A 的特征向量，且满足 A2+A-2=0（分数：10.00）(1).，A 线性无关；（分数：5.00）_(2).证明 A 可对角化（分数：5.00）_19.设 X，Y 相互独立，其中 X 的概率分布为 （分数：10.00）_设随机变量 X 服从正态分布 N(，8)， 未知当 X 的 10 个观测值的平均值 （分数：10.00）(1).求 的置信水平为 0.95 的置信区间；（分
6、数：5.00）_(2).要想使 的置信水平为 0.95 的置信区间的长度不超过 1，则 n 至少取多大?（分数：5.00）_考研数学一-161 答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 () ,所以 y=0 是曲线的水平渐近线；()所以 x=0 是曲线的铅直渐近线；()2.设常数 k0，函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为 f(0+)=-，又所以 f(e)=k0 为极大值，且3.设 (x)为区间0，1上的正值连续函数，a 与 b 为任意常数，区域 D=(x，y)|
7、0x，y1，则Aa BbCa+b D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 由题设可知，更换 x 和 y，积分值不变，即，所以即4.以下级数或广义积分收敛的是A ，p 为实数BC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 对于(A)，若 p0 时， ，所以级数发散，排除(A)；对于(B)，当 p-11，即 p2 时，级数收敛，排除(B)；对于(C)，当 p-11，即 p2 时，广义积分收敛，所以(C)正确而对于(D)，5.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则下列选项中正确的是AA+B 可逆B|A|=|B|CA 经过行的初等变换可变为 BD存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=
8、B（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 因为 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则 A，B 均可经过行的初等变换化为 n 阶方阵 E，所以 A 经过行的初等变换可变为 B，故选(C)注 选项(D)是两矩阵相似的条件，两矩阵同阶可逆推不出两矩阵相似及矩阵相等，可排除(B)，(D)；选A=E，B=-E6.已知向量 ， 线性无关，则 k1 是 +k，+k，+ 线性无关的A充分不必要条件 B必要不充分条件。C充分必要条件 D无关条件（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 ，而7.设连续型随机变量 X 的概率密度 f(x)为偶函数，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 P|X
9、|a)=1-P|X|a)=1-P-aXa)=1=F(a)-F(-a)=1-F(a)+F(-a)，而8.设 X，Y 为两个随机变量，其中 EX=2，EY=-1，DX=9，DY=16，且 X，Y 的相关系数 ，由切比雪夫不等式得 P|X+Y-1|10A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 令 Z=X+Y，则EZ=EX+EY=1，于是由切比雪夫不等式得二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：详解 10.求曲线 在 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 由题设可得 x=a(1-cost)，x
10、“=asint，y=asint，y“=acost，代入曲率公式可得故所求的曲率半径11.微分方程(y+x 3)dx-xdy=0 满足 y|x=1=1 的解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 微分方程(y+x 3)dx-xdy=0 满足 y|x=1=1，(y+x3)dx-xdy=0 可变形为，此为一阶线性微分方程，其解为将 y|x=1=1 代入上式可得 ，故所求解为12.若级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：详解 当 a0 时，13.三阶矩阵 A 满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij为代数余子式，且 a110，则|A|=
11、_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：详解 由 aij=Aij(i，j=1，2，3)可得 A*=AT，于是AA*=|A|E AAT=|A|E，在等式两边取行列式可得14.设随机变量具有密度函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：详解 ，所以三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)在 x=12 的邻域内为可导函数，且 ，求极限（分数：10.00）_正确答案：()解析：16.证明： ，其中 a 大于 1，x表示不超过 x 的最大整数并求出 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：设 f(x)在0，1上连续（分数：10.00）(1).
12、证明至少存在一个 (0，1)，使得*；（分数：5.00）_正确答案：(令 (由分部积分得到)，则 F(0)=F(1)，由罗尔定理，知存在 ，使 F()=0，即 )解析：(2).若 f(x)为可导函数且满足(1-x)f(x)2f(x)，证明 是唯一的（分数：5.00）_正确答案：(令 )解析：17.求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+6=0 所确定的隐函数 z=z(x，y)的极值（分数：10.00）_正确答案：(在方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+6=0 两边取微分可得4xdx+4ydy+2zdz+8(xdz+zdx)-dz=0，整理可得 ，于是令代入方程 2x2+2y2+z2+8
13、xz-z+6=0 可得，于是驻点为(2，0)和 而 ，所以 ，且(B 2-AC)|(2,0)0，所以函数 z=z(x，y)在点(2，0)处取得极大值 z=-1又 ，且 ，所以函数 z=z(x，y)在点 处取得极小值 )解析：18.设 是以 L 为边界的光滑曲面，试求连续可微函数 (x)，使曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：(以 L 为边界任作两个光滑曲面 1， 2， 1， 2的法向量指向同一侧记 为 1， 2所围闭曲面，取外侧， 所围区域为 依题意 ( 2为 2的反向)由高斯定理可得 ，将 P=(1-x2)(x)，Q=4xy(x)，R=4xz 代入上式)解析：已知 1=(1，2，0)，
14、 2=(1，a+2，-3a)， 3=(-1，b+2，a+2b)及 =(1，3，-3)，（分数：10.00）(1).a，b 为何值时， 不能表示成 1， 2， 3的线性组合?（分数：5.00）_正确答案：(设 =x 1 1+x2 2+x3 3，于是增广矩阵当 a=0，且 b 为任意常数时，有可知 r(A)r( )解析：(2).a，b 为何值时， 能由 1， 2， 3唯一线性表示?并写出该表达式（分数：5.00）_正确答案：(当 a0 且 ab 时，r(A)=r( )=3，此时方程组有唯一解，则 可由 1， 2， 3唯一线性表示，且 )解析：设 A 是二阶矩阵， 为非零向量，但不是 A 的特征向量
15、，且满足 A2+A-2=0（分数：10.00）(1).，A 线性无关；（分数：5.00）_正确答案：(设存在 k1，k 2，使得 k1+k 2A=0若 (因为 0)，若走 )解析：(2).证明 A 可对角化（分数：5.00）_正确答案：(由 A2+A-2=0 (A2+A-2E)=0，因为 是非零向量，所以齐次方程组(A 2+A-2E)x=0 有非零解，于是有，即|A+2E|=0 或|A-E|=0若|A+2E|0，则由 )解析：19.设 X，Y 相互独立，其中 X 的概率分布为 （分数：10.00）_正确答案：(设 U=X2+Y 的分布函数为 G(u)，G(u)=P(Uu)=P(X 2+Yu)=
16、P(X2+Yu，X=1)+P(X 2+Yu，X=2)=P(X=1，Yu-1)+P(X=2，Yu-4)=P(X=1)P(Yu-1)+P(X=2)P(Yu-4)，故 )解析：设随机变量 X 服从正态分布 N(，8)， 未知当 X 的 10 个观测值的平均值 （分数：10.00）(1).求 的置信水平为 0.95 的置信区间；（分数：5.00）_正确答案：(由于 2=8 已知，所以正态总体数学期望 的置信水平为 1- 的置信区间为由题设知 ，所以 的置信水平为 0.95 的置信区间为)解析：(2).要想使 的置信水平为 0.95 的置信区间的长度不超过 1，则 n 至少取多大?（分数：5.00）_正确答案：(当观测值个数为 n 时， 的置信水平为 0.95 的置信区间为于是要使这个区间的长度不超过 1，即 )解析：
