1、考研数学一-157 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 f(x，y)在(0，0)点连续，且（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B 都是 3 阶矩阵，将 A 中第一行的 2 倍加至第 2 行得到矩阵 A1，将 B 中第 3 列乘以 得到B1，如果 ，则 AB=（分数：4.00）A.B.C.D.6.三元一次方程组所代表的三平面不可能的位置关系为（分数：4.00）
2、A.B.C.D.7.随机变量 X 的分布函数 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则不能将概率密度设成(A) f(x+a)(B) af(ax) (C) f(-x) (D) 2f(x)F(x)（分数：4.00）A.B.C.D.8.将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，设第一段的长度一半为 X，第二段长度的 为 Y，则 X，Y 的相关系数 XY=（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知方程 3x4=8x3-6x2+24x+a=0 有四个不相同的实根，则 a 的取值范围为_（分数：4.00）填空项 1:_
3、11.设连续函数 f(x)非负，且 （分数：4.00）填空项 1:_12.积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 =(1，0，1) T，矩阵 A= T，则(A 2-E)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A，B，C 是随机事件，A 与 B 互不相容，P(AC)=1，则 P(AB|C)=_.（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知曲线 y=f(x)和 在原点处相切，试求极限 （分数：10.00）_16.设抛物线 y=ax2+bx+c 通过点(0，0)和(1，2)，且 a0，试确定 a，b，c 的值使该抛物线与 x 轴所围图形 D
4、的面积最小，并求此图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积（分数：10.00）_17.计算线积分 ，其中 L 为由点 A(-1,0)经点 B(1，0)到点 C(-1，2)的路径， 为下半圆周，（分数：10.00）_18.设函数 f(x，y)在闭圆域 x2+y21 上有连续一阶偏导数，且|f(x，y)|1，求证：在开圆域 x2+y21内至少存在一点(x 0，y 0)，使f x(x0，y 0)2+f y(x0，y 0)24（分数：10.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，若 f(x)在0，1上的最大值为M0，(n1)证明存在两个不同的
5、点 ，(0，1)，使得（分数：10.00）_20.已知齐次方程组 Ax=0 为（分数：11.00）_21.已知矩阵 可逆，A *是 A 的伴随矩阵， （分数：11.00）_22.已知随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n是来自区间-1，+1上均匀分布的总体 X 的简单随机样本，试求()参数 的矩估计 ；()参数 的最大似然估计 （分数：11.00）_考研数学一-157 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x)仅在 x=0，x=1 没定
6、义，由于则 x=0 为可去间断点由于2.已知 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 是正确的，由于 ，且 ，则 ，又 f(x)在 x=0 处连续，则 f(0)=0，又且 ，则则正确不正确令 显然 ，则 而 不存在是正确的由 可知，存在 x=0 的去心邻域，使 f(x)0，又 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处取得极小值；不正确令3.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于当 时，xtanx，则 ，从而有即 g(x)f(x)又当 时，xsinx，从而xsinxcosx即 f(x)o，f(x)单调增，又 时 x2x则即 h(x)f(x
7、)故 g(x)f(x)h(x)评注 本题中用到一个常用不等式，当4.已知 f(x，y)在(0，0)点连续，且（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于上式分母趋于零，则其分子趋于零，由 f(x，y)的连续性知 f(0，0)=0 从而有即 f(x，y)-f(0，0)=-2x+y+0()其中5.设 A，B 都是 3 阶矩阵，将 A 中第一行的 2 倍加至第 2 行得到矩阵 A1，将 B 中第 3 列乘以 得到B1，如果 ，则 AB=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 矩阵 A 和 B 分别经过初等行变换和列变换得到矩阵 A1和 B1有 A1=PA，B 1=BQ其中于是 A1B
8、1=PABQ那么6.三元一次方程组所代表的三平面不可能的位置关系为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 对方程组增广矩阵作初等行变换，有若 a-1 且 a4，方程组有唯一解，三个平面有唯一交点图形(A)若 ，方程组有无穷多解，三个平面交于一条直线如图形(B)若7.随机变量 X 的分布函数 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则不能将概率密度设成(A) f(x+a)(B) af(ax) (C) f(-x) (D) 2f(x)F(x)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 f(x)成为概率密度的充要条件是(1)f(x)0； (2) 不难验证，A，C，D 都满足这两条充要条
9、件由于 a 是常数，当 a0 时，af(ax)0，条件(1)不成立或者当 a=0 时，8.将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，设第一段的长度一半为 X，第二段长度的 为 Y，则 X，Y 的相关系数 XY=（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 显然 2X+3Y=1，即二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由导数定义知10.已知方程 3x4=8x3-6x2+24x+a=0 有四个不相同的实根，则 a 的取值范围为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-13a-8）解析：解析 令 f(x)=3x4-8x
10、3-6x2+24x+a则 f(x)=12x 3-24x2-12x+24=12(x3-2x2-x+2)=12(x-2)(x-1)(x+1)令 f(x)=0，得 x1=-1，x 2=1，x 3=2，在(-，-1)上，f(x)0，f(x)单调减在(-1，1)上，f(x)0，f(x)单调增在(1，2)上，f(x)0，f(x)单调减在(2，+)上，f(x)0，f(x)单调增要使方程，f(x)=0 有四个不同实根，当且仅当f(-1)0，f(1)0，f(2)0而 f(-1)=a-19，f(1)=13+a，f(2)=8+a由此可得-13a-811.设连续函数 f(x)非负，且 （分数：4.00）填空项 1:_
11、 （正确答案：2）解析：解析 令 tx=u，则令 x=0，得 C=0，且 ，令 x=2，得 ，则 f(x)在区间0，2上的平均值为12.积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 原积分在极坐标下计算不方便，将其化为直角坐标下累次积分计算记半圆 与 x 轴所围的区域为 D，则由于积分域 D 关于 x=1 对称，则13.设 =(1，0，1) T，矩阵 A= T，则(A 2-E)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为又所以A2=( T)( T)=( T) T=2A那么故14.设 A，B，C 是随机事件，A 与 B 互不相容，P(AC)=1
12、，则 P(AB|C)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 A 与 B 互不相容，故 AB=A-B=A又因为 P(A)P(AC)=1，故 P(A)=1同理 P(C)=1，即 P(AC)=P(A)P(C)，A 与 C 必独立，也就有 A 与 相互独立故三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知曲线 y=f(x)和 在原点处相切，试求极限 （分数：10.00）_正确答案：(分析 首先利用曲线 y=f(x)和 在原点处相切，可求得 a 和 f(0)，然后再进一步求极限 解 由于曲线 y=f(x)和 在原点处相切，则 f(0)=0，从而有 a=0等式 两端对 x
13、求导得e-(y+x)2(y+1)=2y-cosx将 x=0，y=0 代入上式得 y(0)=2则 f(0)=2这是一个“1 ”型极限，而而 则 ，故 )解析：16.设抛物线 y=ax2+bx+c 通过点(0，0)和(1，2)，且 a0，试确定 a，b，c 的值使该抛物线与 x 轴所围图形 D 的面积最小，并求此图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积（分数：10.00）_正确答案：(解 由抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)和(1，2)知c=0，a+b=2又 a0，则 b2令 ax2+bx=0，得 x1=0，则图形 D 的面积为令 ，得 b=6且当 2b6 时， ，当 b6 时
14、， ，则当 b=6 时，S 取得最小值，此时，a=-4，抛物线方程为y=-4x2+6x为求 D 绕 x=2 旋转所得旋转体体积，先建立体积微元dV=2(2-x)ydx=2(2-x)(6x-4x 2)dx)解析：17.计算线积分 ，其中 L 为由点 A(-1,0)经点 B(1，0)到点 C(-1，2)的路径， 为下半圆周，（分数：10.00）_正确答案：(解 如右图补线段 ，则右图中构成绕坐标原点的闭路取 为 4x2+y2=1 的逆时针方向也构成绕坐标原点的闭路由于则从而有则评注 本题中用到一个常用结论：若除(0，0)点外 P 和 Q 都有连续一阶偏导数，且 ，则绕坐标原点任一闭路 的线积 的值
15、都相等，线积分 )解析：18.设函数 f(x，y)在闭圆域 x2+y21 上有连续一阶偏导数，且|f(x，y)|1，求证：在开圆域 x2+y21内至少存在一点(x 0，y 0)，使f x(x0，y 0)2+f y(x0，y 0)24（分数：10.00）_正确答案：(证 1)若 f(0，0)0，令 则 在 D 上有最大值，但则 的最大值必可在 D 内一点(x 0，y 0)取到，则即 fx(x0，y 0)-2x0=0，f y(x0，y 0)-2y0=0则 f2x(x0，y 0)+f2y(x0，y 0)=4(x20+y20)42)若 f(0，0)0，令 则 在 上有最小值，但则 的最小值必可在 D
16、内一点(x 0，y 0)取到则 )解析：19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，若 f(x)在0，1上的最大值为M0，(n1)证明存在两个不同的点 ，(0，1)，使得（分数：10.00）_正确答案：(分析 本题是要证明存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 ，这里不能在同一区间(0，1)上用两次中值定理，因为无法说明 因此，往往需要将区间0，1分为两个区间0，c和c，1(其中 0c1)然后，分别在区间0，c和c，1上用拉格朗日中值定理，这里的关键和难点是c 点的选取一种有效的方法是 c 点待定，先在0，c和c，1上分别用拉格朗日中值定理，将 f()和 f
17、()代入要证的结论 中来确定 c由拉格朗日中值定理知，存在 (0，c)，(c，1)使要使即若能证明至少存在一点 c(0，1)，使 ，分点 c 就应选使 的点证 由于 f(x)在0，1上连续，则 f(x)在0，1上有最大值 M 和最小值 m，由题设知 M0，由于 f(0)=f(1)=0，则 m0，从而有由连续函数的介值定理知，至少存在一点 c(0，1)，使 由拉格朗日中值定理知存在 (0，c)，(c，1)，使则评注 本题的方法代表了微分中值定理证明题中一类问题的解决方法题目的特点是证明存在两个不同的点 ，(a，b)，使得关于 f()和 f()某个等式成立 )解析：20.已知齐次方程组 Ax=0
18、为（分数：11.00）_正确答案：(由 B( 1， 2)=0 有( 1， 2)TBT=0，那么矩阵 BT的列向量(亦即矩阵 B 的行向量)是齐次方程组( 1， 2)Tx=0 的解对系数矩阵( 1， 2)T作初等行变换，有得到基础解系：(1，2，1，0) T，(-1，-1，0，1) T故矩阵()由于两个方程组同解，那么 1， 2必是齐次方程组 Ax=0 的基础解系即 )解析：21.已知矩阵 可逆，A *是 A 的伴随矩阵， （分数：11.00）_正确答案：(按定义，设 A*= 0，则 AA*= 0A，即 0A=|A| 由于矩阵 A 可逆，知|A|0， 00，于是对于即 解出 =1，a=-1由矩阵
19、 A 的特征多项式得矩阵 A 的特征值是 1，2，3于是|A|=6从而 A*的特征值是 6，3，2对 =1，由(E-A)x=0得矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量是 1=(-1，1，1) T于是 A*属于特征值 =6 的特征向量是k1 1，(k 10)对 =2，由(2E-A)x=0得矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量 2=(-2，2，3) T，于是 A*属于特征值 =3 的特征向量是k2 2，(k 20)对 =3，由(3E-A)x=0得矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量 3=(-1，2，3) T，于是 A*属于特征值 =2 的特征向量是k3 3，(k 30)()因为 A*有 3 个
20、线性无关的特征向量，故 A*A令 则有 )解析：22.已知随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(常数 A 可以通过性质 来求得所以 A=1() ，且 fX(x)0而fX(x)0 等价于 x0，所以当 x0 时，即 x0 时，评注 从上面的解法中不难发现，求解的关键在于找出 fX(x)，求 时，即使 A 不知道也没关系，分子、分母的 A 相约了找出了 fX(x)后再根据 fX(x)为密度的性质也很容易求出 A基于上述想法，下面的解法更简单些：()不难看出 fX(x)为参数为 1 的指数分布，故 A=1()当 fX(x)0，即 X0 时，所以，当 x0 时 )解析：23.设 X1，X 2，X n是来自区间-1，+1上均匀分布的总体 X 的简单随机样本，试求()参数 的矩估计 ；()参数 的最大似然估计 （分数：11.00）_正确答案：(x 的概率密度为一个参数 矩估计为所以 ()求最大似然估计 ，先求出似然函数只要满足 ，L 始终为 也就是最大所以 即故最大似然估计 是一个范围中任一点都行，这范围是 )解析：
