1、考研数学一-156 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则（分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是(A) 若 存在，则 f(0)=0(B) 若 存在，则 f(0)=0(C) 若 存在，则 f(0)=0(D) 若 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x,y)与 均为可微函数，且 ，已知(x 0，y 0)是 f(x,y)在约束条件 （分数：4.
2、00）A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则(A) 秩 r(A)=m，秩 r(B)=m (B) 秩 r(A)=m，秩 r(B)=n(C) 秩 r(A)=n，秩 r(B)=m (D) 秩 r(A)=n，秩 r(B)=n（分数：4.00）A.B.C.D.6.设二阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f1(x)为标准正态分布的概率密度，f 2(x)为-1，3上均匀分布的概率密度，若（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U=maxX，Y，V=minX，Y，则 E(
3、UV)=(A) EUEV (B) EXEY(C) EUEY (D) EXEV（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.若二阶常系数线性齐次微分方程 y+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y+ay+by=x满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(u，v)是二元可微函数，z=f(x y，y x)，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.二次型 xTAx=x21+4x22+4x23-4x1
4、x2+4x1x3-8x2x3的规范形是 1.（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明 （分数：9.00）_16.已知曲线 （分数：10.00）_17.设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0，计算二重积分 （分数：10.00）_18.求幂级数 （分数：11.00）_19.已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周 x2+y2=4 到点(0，2)的曲线段计算曲线积分 （分数：10.00）_20.设 （分数：11.00）_21.已
5、知二次型 f(x1，x 2，x 3)-(1-a)x21+(1-a)x22+2x23+2(1+a)x1x2的秩为 2()求 a 的值；()求正交变换 x=Qy 把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形；()求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解（分数：11.00）_22.设随机变量 X 的概率密度为令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数，求：()Y 的概率密度 fY(y)；() （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为其中参数 (01)未知，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值()求参数 的矩估计量 ；()判断 （分数：11.
6、00）_考研数学一-156 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 f(x)=x-sinax，g(x)=x 2ln(1-bx)为等价无穷小，则，由洛必达法则只需 因为 ，所以， ，从而 a=1再由 ，得 故应选(A)评注 本题主要考察等价无穷小的概念、无穷小等价代换、洛必达法则及重要结论： 存在，若，则2.设函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 f(x)=ln(2+x 2)2x，
7、由于 ln(2+x2)0，因此 f(x)=0 必有 x=0可见 f(x)零点只有一个，故应选(B)3.设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是(A) 若 存在，则 f(0)=0(B) 若 存在，则 f(0)=0(C) 若 存在，则 f(0)=0(D) 若 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系由于题设条件含有自象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数 f(x)去进行判断，然后选择正确选项取 ，则 ，但 f(x)在 x=0 不可导，故选(D)事实上，在(A)，(B)两项中，因为分母的极限为 0，所以分子的极限
8、也必须为 0，则可推得 f(0)=0在(C)中，存在，则 f(0)=0，f(0)=4.设 f(x,y)与 均为可微函数，且 ，已知(x 0，y 0)是 f(x,y)在约束条件 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用拉格朗日函数 在(x 0，y 0， 0)( 0是对应 x0，y 0的参数 的值)取到极值的必要条件即可作拉格朗日函数 F(x，y，)=f(x，y)+f(x，y)，并记对应 x0，y 0的参数 的值为 0，则消去 0，得，整理得 .因为5.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则(A) 秩 r(A)=m，秩 r(B)=m (B)
9、秩 r(A)=m，秩 r(B)=n(C) 秩 r(A)=n，秩 r(B)=m (D) 秩 r(A)=n，秩 r(B)=n（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 AB=E 有 r(AB)=r(E)=m，又r(AB)r(A)m，r(AB)r(B)m所以应选(A)6.设二阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由伴随矩阵 A*秩的公式可见 若 a=b 易见 r(A)1故(A)(B)均不正确由于|A|=(a+2b)(a-b)2当 ab,a+2b=0 时，一方面 A 中有 2 阶子式7.设 f1(x)为标准正态分布的概率密度，f 2(x)为-1，3上均匀分布的概率密度，若（分
10、数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据概率密度函数的性质： 即 f1(x)为标准正态分布的概率密度，其对称中心在 x=0 处，故f2(x)为 U-1，3分布的概率密度，即 ，故所以8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U=maxX，Y，V=minX，Y，则 E(UV)=(A) EUEV (B) EXEY(C) EUEY (D) EXEV（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 方法 1 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可
11、因为 于是所求斜渐近线方程为 评注如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握这里应注意两点：1当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2若当 z时，极限10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：分析利用奇函数在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义简化计算令 x-1=t，则 应填 ）解析：11.若二阶常系数线性齐次微分方程 y+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y+ay+by=x满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=-xe x+x+2）解析：解析 由二阶常系数线性齐
12、次微分方程的通解为 y=(C1+C2x)ex，得对应特征方程的两个特征根为 1= 2=1，故 a=-2，b=1；对应非齐次微分方程为 y-2y+y=x，设其特解为 y*=Ax+B，代入得-2A+Ax+B=x，有 A=1，B=2所以特解为 y=x+2因而非齐次微分方程的通解为 y=(C1+C2x)ex+x+2，把 y(0)=2，y(0)=0 代入，得 C1=0，C 2=-1所求特解为 y=-xex+x+2评注 此题是通常二阶常系数线性微分方程解的结构和形式的考察12.设 f(u，v)是二元可微函数，z=f(x y，y x)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f 1yxy-1+f
13、2yxlny）解析：解析 本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可利用复合函数的求导公式，可直接得出13.二次型 xTAx=x21+4x22+4x23-4x1x2+4x1x3-8x2x3的规范形是 1.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y 21）解析：解析 二次型矩阵14.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-0.02）解析：解析 由于 cov(X2，Y 2)=EX2Y2-EX2EY2，其中三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明 （分数：9.00）_正确答案：(证明 令 ，则当-1x1 时，f(x)20，所以 f(x
14、)单调增加于是，当-1x0 时，f(x)f(0)=0，于是 f(x)在-1x0 上单调减少，因此有 f(x)f(0)=0，即当 0x1 上时，f(x)f(0)=0，于是 f(x)单调增加，因此有 f(x)f(0)=0，即综上所述得，当-1x1 时， )解析：16.已知曲线 （分数：10.00）_正确答案：(分析 点(x，y，z)到 xOy 面的距离为|z|，故求 C 上距离 xOy 面最远点和最近点的坐标，等价地求函数 H=z2在条件 x2+y2-2z2=0 与 x+y+3z=5 的最大值点和最小值点解 设 P(x，y，z)为曲线 C 上的任意一点，则点 P 到 xOy 平面的距离为|z|，问
15、题转化为求 x2+y2在约束条件 x2+y2-2z2=0 与 x+y+3z=5 下的最值点令拉格朗日函数为F(x，y，z，)=x 2+y2+(x 2+y2-2z2)+(x+y+3z-5)解方程组得 x=y，从而 ，得可能极值点：又 .根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求的点依次为(-5，-5，5)和(1，1，1)评注 本题考察两个约束条件 下的函数 u=(x，y，z)的条件极值问题，可类似地构造拉格朗日函数)解析：17.设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析 由于积分区域 D 关于 x 轴对称，故可
16、先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可解 积分区域 D 如右图所示因为区域 D 关于 x 轴对称，函数 是变量 y 的偶函数，函数 是变量 y 的奇函数.则)解析：18.求幂级数 （分数：11.00）_正确答案：(分析 先求收敛半径，进而可确定收敛区间而和函数可利用逐项求导得到解 因为 ，所以 x21 时原级数绝对收敛，当 x21 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(-1，1)记 ，则 ，.由于 S(0)=0，S(0)=0，所以 .又 ，从而 .评注 本题求收敛区间是基本题型，应注意收敛区间一般指开区间而幂级数求和尽
17、量将其转化为形如或 )解析：19.已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周 x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周 x2+y2=4 到点(0，2)的曲线段计算曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析 通过补线段后利用 Green 公式计算即可解 设点 O(0，0)，A(2，0)，B(0，2)，补充线段 ，且设由曲线弧 ， 围成的平面区域为 D，则由 Green 公式有)解析：20.设 （分数：11.00）_正确答案：(解 ()因为方程组 Ax=b 有 2 个不同的解，故 由于是 =1 或 =-1当 =1 时， ，方程组 Ax=b 无解，舍去当 =-1 时，对 Ax=b 的增广矩阵
18、作初等行变换可见 a=-2 时， ，；方程组 Ax=b 有无穷多解故 =1，a=-2()当 =-1，a=-2 时 所以方程组 Ax=b 的通解为)解析：21.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)-(1-a)x21+(1-a)x22+2x23+2(1+a)x1x2的秩为 2()求 a 的值；()求正交变换 x=Qy 把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形；()求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解（分数：11.00）_正确答案：(由于二次型 f 的秩为 2，即二次型矩阵的秩为 2，所以 ，得 a=0()当 a=0 时，得到矩阵 A 的特征值是 1= 2=2， 3=0对于 =2，由(2E
19、-A)x=0得特征向量 a1=(1，1，0) T，a 2=(0，0，1) T对 =0 由(OE-A)x=0得特征向量 a3=(1，-1，0) T由于 a1，a 2，a 3已两两正交，单位化有令 Q=( 1， 2， 3)则 Q 是正交矩阵那么经正交变换 x=Qy，有f(x1，x 2，x 3)=2y21+2y22()方程 f(x1，x 2，x 3)=x21+x22+2x23+2x1x2=(x1+x2)2+2x23=0即 )解析：22.设随机变量 X 的概率密度为令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数，求：()Y 的概率密度 fY(y)；() （分数：11.00）_正确答案：(
20、分析与解答 ()用定义先求 Y 的分布函数 FY(y)，进而求得 fY(y)已知 Y=X2，故 FY(y)=PX2y，当 y0 时 FY(y)=0，由题设知P-1X2=P-1X0+P0X2=1所以当 y0 时，故当 ，即 0y1(此时 )当 ，即 1Y4(此时 )当 ，即 y4(此时 )FY(y)=P-1X2=1综上得() )解析：23.设总体 X 的概率密度为其中参数 (01)未知，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值()求参数 的矩估计量 ；()判断 （分数：11.00）_正确答案：(分析与解答 ()求唯一参数 的矩估计量 ，只要令样本均值 等于总体的期望E(X)就可以求得现 ，令 ，解得 所以参数 的矩估计量 ()判断 是否为 2的无偏估计量，只要判断 是否成立?由于 ，且有所以，因此， 不是 2的元偏估计量评注 ()的计算可简化为不过这样的验证在考试中是不太容易做到的. )解析：
