1、考研数学一-155 及答案解析(总分：176.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知方程 x=aex(a0)有两个实根，则A B （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知函数 f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，则 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在的充分条件是Ag(0，0)=0B 存在C （分数：4.00）A.B.C.D.4.设有无穷级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设向量组 1， 2， s是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基
2、础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，则向量组 ，+ 1，+ 2，+ sA线性相关 B线性无关C线性相关性与 s 有关 D以上均不对（分数：4.00）A.B.C.D.6.记 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X，Y 独立同分布于 N(0，1)，则A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 XN(， 2)(0)，从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，样本均值为 ，样本方差为 S2，则A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设二阶线性微分方程 y“+p(
3、x)y+q(x)y=f(x)有三个特解 y1=ex，y 2= （分数：4.00）填空项 1:_11.设 ，D 是全平面，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.已知平面 平行于直线 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A，B 为三阶相似矩阵，A 的两个特征值为 1，2，行列式|B|=4，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从区间1，3上的均匀分布，引进事件 A=Xa)，B=Ya，若（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：120.00)15.设 f(x)在0，1上可导，且 f(0)=0，又 f(x)满足关系 （分数：10.00
4、）_16.证明： （分数：10.00）_设 ，求证：（分数：20.00）(1).对于任何自然数 n，方程*在区间*中仅有一根；（分数：10.00）_(2).设*满足*，则*（分数：10.00）_17.已知 （分数：10.00）_设 a 与 b 都是常数，且 ba0（分数：10.00）(1).试写出 yOz 平面上的圆(y-b) 2+z2=a2绕 z 轴旋转一周生成的环面 S 的方程；（分数：5.00）_(2).设 S 所围成的实心环的空间区域为 ，计算三重积分*（分数：5.00）_18.设 1， 2， 3， 4， 为四维列向量，A= 1， 2， 3， 4，已知 Ax= 的通解为 .其中, （分
5、数：10.00）_19.设 n 阶实对称矩阵 A 的 n 个特征值 i(i=1，2，n)互异，X 1为 1对应的单位特征向量，证明：方阵 （分数：10.00）_设 P(A)=p，P(B)=q，P(AB)=r 且 p，q(0,1)，记（分数：30.00）(1).求 X 和 Y 的相关系数；（分数：10.00）_(2).证明*；（分数：10.00）_(3).证明 X 和 Y 独立的充要条件为 A 与 B 独立（分数：10.00）_20.设总体 X 的概率密度为 （分数：10.00）_考研数学一-155 答案解析(总分：176.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1
6、.已知 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 由已知可得 存在，而2.已知方程 x=aex(a0)有两个实根，则A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 设 f(x)=x-aex，令 ，f“(x)=-aex0，所以 f(-lna)=-lna-ae-lna=-lna-1 是唯一的极大值，又 ，所以由零值定理可知，仅当3.已知函数 f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，则 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在的充分条件是Ag(0，0)=0B 存在C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 由偏导数的
7、定义，有所以， 存在的充要条件是 存在且均为零，所以，当 g(x，y)在点(0，0)处连续且 g(0，0)=0 时，有4.设有无穷级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 ，对级数 ，而 收敛，所以 绝对收敛；对级数 ，而 条件收敛，所以级数 条件收敛综上可知，级数5.设向量组 1， 2， s是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，则向量组 ，+ 1，+ 2，+ sA线性相关 B线性无关C线性相关性与 s 有关 D以上均不对（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 由于向量组 1， 2， s是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，则
8、1， 2， s线性无关，且满足 A i=0(i=1，2，s)；向量 不是方程组 Ax=0 的解，则 A0设存在一组常数 k，k 1，k 2，k s，使得k+k 1(+ 1)+k2(+ 2)+ks(+ s)=0， 上式两边左乘 A，则有kA+k 1A(+ 1)+k2A(+ 2)+ksA(+ s)=0，(k+k1+ks)A+k 1Aa1+k2A 2+ksA s=0，(k+k1+ks)A=06.记 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 于是7.设随机变量 X，Y 独立同分布于 N(0，1)，则A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 PminX，Y)0=PX0，Y08
9、.设 XN(， 2)(0)，从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，样本均值为 ，样本方差为 S2，则A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 因为二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e 2）解析：详解 10.设二阶线性微分方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)有三个特解 y1=ex，y 2= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 因为 y2-y1，y 3-y1是对应齐次线性微分方程的解，代入齐次方程可得11.设 ，D 是全平面，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正
10、确答案：(1-cos2) 2）解析：详解 因为所以12.已知平面 平行于直线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：或 16x+8y-16z-11=0 ）解析：详解 由题设可知平面 的法向量曲面 z=x2+y2+1 在点(x 0，y 0，z 0)处切平面的法向量为2x 0，2y 0，-1，所以 ，故所求平面 的方程为，即13.设 A，B 为三阶相似矩阵，A 的两个特征值为 1，2，行列式|B|=4，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 ，因为 A 的两个特征值为 1，2，由 A，B 相似且|B|=4 可知，|A|=4，设 A 的另一特征值为 ，则有|A|=1
11、2=4 =2，所以 A 的特征值为 1，2，2，于是A+E 的特征值为 2，3，3，所以|A+E|=233=18，且|2B| 2=64|B|2=1024，所以14.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从区间1，3上的均匀分布，引进事件 A=Xa)，B=Ya，若（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：或 ）解析：详解 =PXa+PYa-PXa，Ya=PXa+PYa-PXaPYa，显然 a1 或 a3 均不可能，所以即有 ，解之得 三、解答题(总题数：9，分数：120.00)15.设 f(x)在0，1上可导，且 f(0)=0，又 f(x)满足关系 （分数：10.00）_正确答案：(令 ， (*
12、)则 ，即 代入(*)式得，所以 )解析：16.证明： （分数：10.00）_正确答案：(先证第一个不等式再证第二个不等式由泰勒公式可得，所以 )解析：设 ，求证：（分数：20.00）(1).对于任何自然数 n，方程*在区间*中仅有一根；（分数：10.00）_正确答案：(因为 fn(x)=1-(1-cosx)n在 上连续，且 ，故由介值定理知，存在 ，使得 又因为 ，所以 fn(x)在 内严格递减因此，方程 在区间 )解析：(2).设*满足*，则*（分数：10.00）_正确答案：(因为 ，令 n，两边取极限得这说明存在正整数 N，使对于 nN 时，有 因为 fn(x)严格递减，所以，对于 nN
13、，由夹逼定理，有当 n时， ，即 )解析：17.已知 （分数：10.00）_正确答案：( ，两边对 y 求导得与 对比后得C(y)=2y+3，两边积分得C(y)=y2+3y+C，于是有 ，因此有 u=x2+xy+x+y2+3y+1令又B2-AC=-30，所以 u(x，y)在 处取得极大值 )解析：设 a 与 b 都是常数，且 ba0（分数：10.00）(1).试写出 yOz 平面上的圆(y-b) 2+z2=a2绕 z 轴旋转一周生成的环面 S 的方程；（分数：5.00）_正确答案：(环面 S 的方程为)解析：(2).设 S 所围成的实心环的空间区域为 ，计算三重积分*（分数：5.00）_正确答
14、案：(利用柱面坐标计算)解析：18.设 1， 2， 3， 4， 为四维列向量，A= 1， 2， 3， 4，已知 Ax= 的通解为 .其中, （分数：10.00）_正确答案：(由题设知：r(A)=2，且有 = 1- 2+2 3+ 4， 1+2 2+0 3+ 4=0,- 1+ 2+ 3+0 4=0于是有 3= 1- 2， 4=- 1-2 2，=2 1-5 2+0 3。可见 1， 2线性无关秩 r(B)=2，且 为By= 的特解，又由 1- 2- 3=0 知 为 By=0 的非零解，可作为基础解系，故 By= 的通解为 )解析：19.设 n 阶实对称矩阵 A 的 n 个特征值 i(i=1，2，n)互
15、异，X 1为 1对应的单位特征向量，证明：方阵 （分数：10.00）_正确答案：(设 Xi为 i(i=1，2，n)对应的单位特征向量，则当 ij 时， 于是当 j2， ，又 ，所以方阵 )解析：设 P(A)=p，P(B)=q，P(AB)=r 且 p，q(0,1)，记（分数：30.00）(1).求 X 和 Y 的相关系数；（分数：10.00）_正确答案：(由题意可知，(X，Y)的概率分布如下：)解析：(2).证明*；（分数：10.00）_正确答案：(由 )解析：(3).证明 X 和 Y 独立的充要条件为 A 与 B 独立（分数：10.00）_正确答案：(X 和 Y 相互独立 )解析：20.设总体 X 的概率密度为 （分数：10.00）_正确答案：(因为所以 ，于是()令所以 的矩估计值为()现在求最大似然估计值在给定的 8 个样本值中，属于(-1，0)的有 5 个，属于(0，1)的有 3 个，所以似然函数为取自然对数得lnL=5ln+3ln(1-)两边对 求导得故 的最大似然估计值为 )解析：
